高等数学第七章第5节平面与直线方程.ppt

1 第五节平面与直线方程 一平面方程的各种形式二直线方程的各种形式三平面直线间的夹角及相互关系 2 如果一非零向量垂直于一平面 这向量就叫做该平面的法向量 法向量的特征 垂直于平面内的任一向量 已知平面的法向量为 设平面上的任一点为 必有 1平面方程的点法式 且过点 一平面方程的各种形式 3 平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程 不在平面上的点都不满足上方程 上方程称为平面的方程 平面称为方程的图形 其中法向量 已知点 4 解 所求平面方程为 化简得 例1求过三点 和 的平面方程 5 由平面的点法式方程 平面的一般方程 法向量 6 取法向量 化简得 所求平面方程为 解 例2求过点 且垂直于平面 和 的平面方程 7 平面一般方程的几种特殊情况 平面通过坐标原点 平面通过轴 平面平行于轴 平面平行于坐标面 类似地可讨论情形 类似地可讨论情形 8 设平面为 由平面过原点知 所求平面方程为 解 例3设平面过原点及点 且与平面 垂直 求此平面方程 9 设平面为 将三点坐标代入得 解 例4设平面与 三轴分别交于 其中 求此平面方程 代入所设方程得 平面的截距式方程 轴上截距 轴上截距 轴上截距 10 设平面为 由所求平面与已知平面平行得 解 例5求平行于平面 坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程 而与三个 代入体积式 所求平面方程为 11 空间直线可看成不平行两平面的交线 空间直线的一般方程 1空间直线的一般方程 二直线方程的各种形式 12 如果一非零向量平行于一条已知直线 这个向量称为这条直线的方向向量 2空间直线的对称式方程与参数方程 设直线过点 方向向量为 为直线上任意一点 直线的对称式方程 点向式 标准式 13 令 方向向量的余弦称为直线的方向余弦 直线的参数方程 解 所求直线的方向向量为 所求直线方程为 直线两点式方程 14 例7用对称式方程及参数方程表示直线 解 在直线上任取一点 取 解得 点坐标 因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 对称式方程 参数方程 15 解 所以交点为 所求直线方程 例8一直线过点 且和 轴垂直相交 求其方程 或 16 定义 通常取锐角 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角 1两平面间的夹角 三平面直线间的夹角及相互关系 17 按照两向量夹角余弦公式有 两平面夹角余弦公式 两平面位置特征 18 例9研究以下各组里两平面的位置关系 解 两平面相交 夹角 19 两平面平行但不重合 两平面重合 解 解 20 解 例9设 是平面 外一点 求 到平面的距离 21 点到平面距离公式 22 直线 直线 两直线的夹角为两直线的方向向量的夹角 锐角 两直线的夹角公式 2两直线的夹角 23 两直线的位置关系 直线 直线 例如 24 解 设所求直线的方向向量为 根据题意知 取 所求直线的方程 例10求过点 且与两平面 和 的交线平行的直线方程 25 3直线与平面的夹角 26 直线与平面的夹角公式 直线与平面的位置关系 27 解 为所求夹角 例11设直线 平面 求直线与平面的夹角 28 解 令 例12求过点 且与直线 垂直相交的直线方程 并求点 到直线 的距离 再求已知直线与该平面的交点 29 代入平面方程得 交点 取所求直线的方向向量为 所求直线方程为 30 建立三元一次方程 或 4平面束方程 31 因此方程 3 表示一个平面 32 例13 求过直线 和点 的 平面方程 解法一 将直线方程化为标准式 所以已知直线的方向向量为 且过点 因此所求平面的法向量为 33 所以所求平面方程为 即 解法二 过已知直线的平面束方程为 所求平面过点 所以 所求平面方程为 34 例14 求直线 在平面 上的投影直线方程