《概率习题课》PPT课件.pptVIP

第三章习题课 例1设 X Y 的概率密度是 求 1 c的值 2 两个边缘密度 5c 24 c 24 5 解 1 故 例1设 X Y 的概率密度是 解 求 1 c的值 2 两个边缘密度 2 当时 当时 注意取值范围 综上 当时 解 2 综上 练习 解 当时 当时 故 当时 当时 故 设G是平面上的有界区域 其面积为A 若二维随机变量 X Y 具有概率密度 则称 X Y 在G上服从均匀分布 向平面上有界区域G上任投一质点 若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比 而与B的形状及位置无关 则质点的坐标 X Y 在G上服从均匀分布 例 例2设 X Y 服从如图区域G上的均匀分布 1 求 X Y 的概率密度 2 求P Y 2X 3 求F 0 5 0 5 O0 51x G 解 1 区域G的面积为1 2 Y 2X G1 y 2x y 区域G1的面积为 1 P Y 2X 3 F 0 5 0 5 P X 0 5 Y 0 5 G2 例3甲乙两人约定中午12时30分在某地会面 如果甲来到的时间在12 15到12 45之间是均匀分布 乙独立地到达 而且到达时间在12 00到13 00之间是均匀分布 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率 又甲先到的概率是多少 解设X为甲到达时刻 Y为乙到达时刻 以12时为起点 以分为单位 依题意 X U 15 45 Y U 0 60 所求为P X Y 5 甲先到的概率 由独立性 先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率 P X Y 解一 P X Y 5 P 5 X Y 5 P X Y 解二 P X Y 1 2 被积函数为常数 直接求面积 P X Y P X Y 5 类似的问题如 甲 乙两船同日欲靠同一码头 设两船各自独立地到达 并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的 若甲船需停泊1小时 乙船需停泊2小时 而该码头只能停泊一艘船 试求其中一艘船要等待码头空出的概率 定理2 3设随机变量Y是随机变量X的函数Y g X y g x 为连续函数 1 若X为离散型随机变量 其分布律为 定理3 2设 X Y 为二维随机变量 g x y 为二元连续函数 1若 X Y 为二维离散型随机变量 其联合分布律为 绝对收敛 则随机变量函数g X Y 的数学期望为 注意 若 X Y 为二维连续型随机变量 其联合概率密度为f x y 有 2若 X Y 为二维连续随机变量 其联合概率密度为f x y 且广义积分 也就是说 对于二维连续型随机变量 计算E g X 用定理3 2式比用定理2 3计算方便 但当 X Y 为二维离散型随机变量时 由于求边缘分布律不复杂 用定理2 3计算E g x 稍简洁些 例4设二维随机变量 X Y 只能取下列数值中的值 0 1 1 1 0 1 2 1 且取这些值的概率依次为0 2 0 1 0 3 0 4 求 1 E X2 2 E XY 解由题意写出 X Y 的联合分布律并计算边缘分布律如下 练习 设联合分布率如下所示 例5设 X Y 的联合概率密度为 解用定理3 2计算 例6已知 X Y 的联合分布律为 试确定常数a b 使X与Y相互独立 解先求出 X Y 关于X和Y的边缘分布律 要使X与Y相互独立 可用pij pi p j来确定a b P X 2 Y 2 P X 2 P Y 2 P X 3 Y 2 P X 3 P Y 2 即 因此 X Y 的联合分布律和边缘分布律为 经检验 此时X与Y是相互独立的 例7设二维随机变量 X Y 在矩形区域G x y 0 x 2 0 y 1 上服从均匀分布 若 试求 U V 的联合分布律 并判断U与V是否相互独立 解 X Y 在G上服从均匀分布 则联合密度函数为 O12x y 1 y x x 2y G U V 的联合分布律和边缘分布律为 经检验 U和V不是相互独立的 其中P U 0 V 0 P U 0 P V 0 中心极限定理可以解释如下 假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和 其中每个随机变量对于总和的作用都很微小 则可以认为这个随机变量实际上是服从正态分布的 在实际工作中 只要n足够大 便可把独立同分布的随机变量之和当作正态变量 一 独立同分布的中心极限定理 即列维 林德贝格 Levy Lindeberg 例8将一颗骰子连掷100次 则点数之和不少于500的概率是多少 解设Xk为第k次掷出的点数 k 1 2 100 则X1 X2 X100独立同分布 而且 由中心极限定理 二 德莫佛 拉普拉斯定理 DeMoivre Laplace 此定理表明 正态分布是二项分布的极限分布 当n充分大时 服从二项分布的随机变量的概率计算可以转化为正态随机变量的概率计算 例9在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险 每人每年付12元保险费 在一年内一个人死亡的概率为0 6 死亡时其家属可向保险公司领得1000元 问 1 保险公司亏本的概率有多大 2 其他条件不变 为使保险公司一年的利润有99 的概率不少于60000元 赔偿金至多可设为多少 解设X表示一年内死亡的人数 则X B n p 其中n 10000 p 0 6 np 60 npq 59 64设Y表示保险公司一年的利润 则Y 10000 12 1000X于是由中心极限定理 1 P Y 0 P 10000 12 1000X 0 1 P X 120 1 7 769 0 2 设赔偿金为a元 则P Y 60000 P 10000 12 aX 60000 P X 60000 a 0 99 由中心极限定理 上式等价于 标准正态分布表 例10现有一大批种子 其中良种占1 6 今从其中任意选6000粒 试问在这些种子中 良种占的比例与1 6之差小于1 的概率是多少 解选一粒良种看成是一次随机试验 因此选6000粒种子看作是6000重伯努里试验 令X表示6000粒种子中的良种数 则X服从n 6000 p 1 6的二项分布 例11