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多面体欧拉公式 球 天马行空官方博客 一 多面体欧拉公式 欧拉公式V F E 2 是描述简单多面体的顶点数 面数 棱数之间特有规律的一个公式 这个规律是简单多面体的一种拓扑不变性 V是顶点数 F是面数 E是棱数 天马行空官方博客 多面体和正多面体 棱柱和棱锥都是一些平面多边形围成的几何体 若干个平面多边形围成的几何体 叫做多面体 围成多面体的各个多边形叫做多面体的面 两个面的公共边叫做多面体的棱 若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点 把多面体的任何一个面伸展为平面 如果所有其他各面都在这个平面的同侧 这样的多面体叫做凸多面体 否则叫非凸多面体 一般的 每个面都是有相同边数的正多边形 且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体 叫正多面体 例如 正方体就是一种正多面体 一个多面体至少有四个面 多面体依照它的面数分别叫做四面体 五面体 六面体 三棱锥是四面体 三棱柱是五面体 正方体是六面体 二 球的概念和性质 1 球的概念 定义 半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面叫做球面 球面所围成的几何体叫球体 简称球 2 球的元素 球心 球中形成球的半圆的圆心叫做球心 一个球用表示它的球心的字母来表示 如球O 球的半径 连接球心和球面上的任意一点的线段叫做球的半径 如半径OA OB等 球的直径 连接球面上的两点并且经过球心的线段叫做球的直径 如直径AB 球面仅仅指球的表面 而球体不仅包括球的表面 同时还包括球面所包围的空间 用一个平面去截一个球 截面是圆面 球的截面有如下性质 性质1 球心和截面圆心的连线垂直于截面 性质2 球心到截面的距离与球的半径R及截面的半径 有如下关系式 当d 0时 截面过球心 此时截面的面积最大 此圆叫球的大圆 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆 当d R时 平面与球相切 与球心距0 d R平面与球面截得的圆 叫小圆 不过球心的截面截得的圆叫球的小圆 球面的距离 在球面上 两点之间的最短连线的长度 就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度 这个弧长叫做两点的球面距离 地球上的经纬线 当把地球看作一个球时 经线是球面上从北极到南极的半个大圆 赤道是一个大圆 其余纬线都是一个小圆 某点的经度是 经过这点的经线与地轴确定的半平面与本初子午线 00经线 和地轴确定的半平面所成的二面角度数 此角实则为二面角 某点的纬度是 经过这点的球半径与赤道面所成角的度数 此角实则为线面角 球的表面积和体积 球的表面积和体积都是球半径R的函数 1 已知一个凸多面体的各面都是四边形 求证 F V 2 2 一个简单多面体的棱数可能是7吗 试用欧拉公式进行分析 C B 6
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