韩金钟整理第二章第2.3-2.4节课件.ppt

量子力学教程 2013 2 2013 6 讲授人 韩金钟 曾谨言著 2 3 势 2 3 1 势的穿透 2 3 2 势阱中的束缚态 2 3 3 势与方势的关系 波函数微商的跃变条件 2 3 1 势的穿透 其中 常数 设有质量为m的粒子 能量E 0 从左入射 碰到势垒 目的 求反射系数和透射系数 对方程积分 可得 3 式称为势中的跃变条件 1 Schr dinger方程表示为 解仍为 但边条件有所不同 根据x 0点连续以及跃变条件有 在处方程化为 2 消去R 得 而 由于入射波的波幅已取为1 所以 透射系数 反射系数 a 如势垒换为势阱 透射及反射系数的值不变 仍如式和所示 讨论 透射系数 反射系数 b 势的特征长度为 特征能量为 透射系数只依赖于 即特征能量与入射粒子能量之比 当 时 即高能极限下粒子将完全穿透势垒 透射系数 反射系数 2 3 2势阱中的束缚态 考虑粒子在势阱 目的 求能级和波函数 1 时 能量本征方程为 积分 可得出的跃变条件 2 方程的解的形式为 考虑到 要求束缚能量本征态 不简并 具有确定宇称 以下分别讨论 在区域 方程化为 2 考虑到束缚态条件 偶宇称态波函数应表示为 按式 可得粒子的能量本征值 a 偶宇称态 为归一化常数 按跃变条件 3 可得 由归一化条件 在区域中的概率为 奇宇称波函数在x 0点必为零 而 势又恰好只在x 0点起作用 所以 势对奇宇称态没有影响 不可能形成束缚态 连续条件 由波函数的 x 0点 可得出A 0 所以不可能存在奇宇称束缚能量本征态 从物理上考虑 b 奇宇称态 波函数为 事实上 所有涉及势的问题 原则上均可以从方势情况下的解取极限而得以解决 2 3 3势与方势的关系 波函数微商的跃变条件 势可以看成方势的一种极限情况 但直接用势来求解 往往要简捷得多 考虑粒子对于方势垒 的散射 考虑粒子能量的情况 在势垒内部 波函数表为 而 当不难得 即 现在让但保持 常数 则方势垒将趋于势垒 利用 自然界广泛碰到简谐振动 任何体系在平衡位置附近的小振动 例如分子振动 晶格振动 原子核表面振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动 简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似 所以简谐振动的研究 无论在理论上还是在应用上都是很重要的 2 4一维谐振子 选线性谐振子的平衡位置为坐标原点 并选原点为势能零点 则一维线性谐振子的势能为 m是粒子的质量k是谐振子的劲度系数 是经典谐振子的自然频率 一 谐振子势函数 1 2 一维谐振子的能量本征方程为 则方程进化为 二 薛定谔方程及解 目的 求本征值和波函数 不难证明时 但不满足束缚条件 弃之 当时 方程近似表示为 因为 代入 7 成立 8 7 因此 6 的解可表示为 代入式可求的满足方程 这就是所谓的Hermite方程 计算表明 附录A3 一般情况下解为无穷级数 当时 无穷级数解的渐进行为是 代入方程 9 为了保证束缚态边界条件 必须要求中断为一个多项式 可以证明 当方程满足如下条件 时 才有一个多项式解 记为 上述要求就是对谐振子的能量E有一定限制 即 此即谐振子的能量本征值 本征函数 厄密多项式的微分形式 几个厄密多项式 利用正交性公式 附录A3 式 12 可以证明 正交归一的谐振子能量本征函数 实 为 最低的三条能级上的谐振子波函数如下 偶宇称 奇宇称 偶宇称 线性谐振子波函数和位置概率密度 线性谐振子n 11时的概率密度分布 虚线代表经典结果 经典谐振子在原点速度最大 停留时间短粒子出现的概率小 在两端速度为零 出现的概率最大 三 讨论 微观一维谐振子能量量子化 能量特点 1 量子化 等间距 2 有零点能分布特点 E V区有隧道效应 零点能不等于零是量子力学中特有的 是微观粒子波粒二相性的表现 能量为零的 静止的 波是没有意义的 零点能是量子效应 已被绝对零点情况下电子的晶体散射实验所证实 基态能量 基态本征函数 基态的性质 在处的势能 在范围内动能 由几率密度 不难算出在经典禁区的概率为 看出 粒子