数列Sn、an的求法.doc

数列的求法一、的求法类型一 分组转化法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，再分别求和.(教材P61.4)1.(教材P61.4)求和 (1)； (2).2.(2010重庆文)已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和. （）求通项及；（）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.类型二 裂项相消法 题型：适用于为分式型或无理式型(有理化). 方法：把分成两项差的形式，再求和，可消去中间项. 裂项的规则(1)：为等差数列，公差为.；1.(教材P47.4)求数列的前项和.2.(2010山东文理)已知等差数列满足：，.的前n项和为. ()求 及； ()令,求数列的前n项和.【解析】（）设等差数列的公差为d，因为，所以有，解得，所以；=。（）由（）知，所以bn=，所以=，即数列的前n项和=。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。3.(2010安徽理)设数列中的每一项都不为0。 证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有。4.求数列的前项和.裂项规则(2) ；5.求数列的前项和.裂项规则(3)：6.求数列的前项和.裂项规则(4)：7.求数列的前项和.类型三 错位相减法题型：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项乘机构成的数列求和. 是的前项和，等差，等比.求.步骤：1.写出 ； 2.写出 （为等比数列的公比）； 注意：1) 式右侧不要化简； 2) 式和式右侧“错位对齐”. 3.作差 -得，； 4.化简求. 注意：若为字母时，需要讨论和的情况.1.(教材P61.4)求和 .2.(2010新课标卷理)设数列满足，. () 求数列的通项公式； () 令，求数列的前项和. 解：由第()问得，知 （等差，等比，公比为） 所以 ， ， -得， ， 所以3.(2010安徽文)设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列.()证明：为等比数列； （）设，求数列的前项和. 【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.【解题指导】（1）求直线倾斜角的正弦，设的圆心为，得，同理得，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即中与的关系，证明为等比数列；（2）利用（1）的结论求的通项公式，代入数列，然后用错位相减法求和.【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项与之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用前n项和乘以公比，然后错位相减解决.4.(2010四川文数)已知等差数列的前3项和为6，前8项和为。（）求数列的通项公式； （）设，求数列的前n项和二、的求法类型一 已知或与的关系，求. 方法： 注意：的情况，要先求.1.(2010江苏卷)设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列.()求数列的通项公式（用表示）；()设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立.求证：的最大值为.解析 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。（1）由题意知：， ，化简，得：，当时，适合情形。故所求（2）（方法一）， 恒成立。 又，故，即的最大值为。（方法二）由及，得，。于是，对满足题设的，有。所以的最大值。另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条件，且。于是，只要，即当时，。所以满足条件的，从而。因此的最大值为。2.(2009年广东卷文) 已知点（1，）是函数且）的图象上一点,等比数列的前项和为,数列的首项为,且前项和满足=+（）.()求数列和的通项公式；()若数列前项和为，问的最小正整数是多少? 解（1）, , .又数列成等比数列， ，所以 ；又公比，所以 ； 又, ；数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， 当， ；()；（2） ； 由得，满足的最小正整数为112.3.(2009山东卷理)等比数列的前n项和为,已知对任意的,点,均在函数且均为常数)的图像上.()求r的值； ()当b=2时，记 证明：对任意的 ，不等式成立.解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,当时,又因为为等比数列,所以,公比为,（2）当b=2时，, 则,所以 下面用数学归纳法证明不等式成立. 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立. 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=所以当时,不等式也成立. 由、可得不等式恒成立.【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.4.(2009浙江文)设为数列的前项和，其中是常数. () 求及； () 若对于任意的成等比数列，求的值.5.(2009安徽文)已知数列的前项和，数列的前项和. () 求数列与的通项公式；() 设，证明：当且仅当时，.类型二 已知，求. (累加法-等差数列通项公式推到方法) 特点：(1)相邻两项差； (2)与的系数相同，且幂次相同； (3)可求. 方法：累加法1.(2010新课标卷理)设数列满足，. () 求数列的通项公式； () 令，求数列的前项和.2.(2009杭州)数列中，其中，是函数的一个极点.()证明：数列是等比数列；()求.(5.3P121A组6)3.(2009山东英雄山)已知数列中，点在直线上，其中. ()令，求证数列 是等比数列；()求数列的通项公式. (5.3P121A组7)类型三 已知，求.(累乘法-等比数列通项公式推到方法) 方法：累乘法1. 已知数列满足：，求数列的通项公式.类型四 已知，求.(差比数列型) 方法：待定系数法 步骤：(1)数列方程 ； (2)待定系数； (3)求.,； (4) ； (5)为等比数列.1. 已知数列满足：，求数列的通项公式.2.(2008江苏盐城六校)已知，数列满足对任意有且 ，. ()求；()若，当取何值时，数列取最大值，并求出最大值.类型五 已知，求. 方法：待定系数法，两边同时加上，待定，则有 令于是是等比数列，公比为.1.(2008东北三校) 已知数列满足：，对一切都有，求.2.类型二 3 直接做第()问. 类型六 已知，求. 方法：取倒数，有，再接类型四.1.已知数列满足：，求数列的通项公式.类型七 已知，求.特点：与的幂次不同.方法：取对数，则有，再接类型四. 特别地，若，则是等比数列.1.已知数列满足：，求数列的通项公式.类型八 已知，求.方法：同时除以的