工程力学教案 4.doc

10第二章 平面基本力系教学班级教研主任签字教学时间教务处长签字科 目 工程力学教学课题 第二章、平面基本力系第三节 力对点之矩 合力矩定理 第四节 平面力偶系教学目的 （一）、知识点1、掌握力对点之矩的概念与计算方法；2、掌握合力矩定理，学会使用该定理简化力矩计算；3、掌握力偶与力偶矩的概念；4、熟悉力偶的等效条件。 （二）、能力训练1、培养学生运用概念去分析问题、解决问题的能力。2、培养学生的认识能力，进一步发展学生的思维能力。（三）、德育渗透1、树立正确的辩证唯物主义观点。2、培养学生勤学好问、严谨求实、勇于探索的优秀品质。教学方法本节内容理论性强，宜采用讲授法。重点、难点、及解决方法（一）、重点1、掌握力对点之矩的概念与计算方法；2、掌握合力矩定理，学会使用该定理简化力矩计算；3、掌握力偶与力偶矩的概念。（二）、难点合力矩定理，学会使用该定理简化力矩计算。（三）、解决办法1、重点解决的办法。（1）、从概念上讲清力对点之矩的概念（2）、用解析法弄清合力矩定理，学会使用该定理简化力矩计算；（3）、用图示法讲明力偶与力偶矩的概念。2、难点解决的办法用做图和讲解的方法使学生弄懂学会使用该定理简化力矩计算。教学准备 工程力学（武汉大学出版社） 教案 挂图 ppt等其他教学工具课时安排 2课时复习旧课 力的投影和力的分量是两个不同的概念。投影是代数量，而分力是矢量；投影无所谓作用点，而分力作用点必须作用在原力的作用点上。另外仅在直角坐标系中在坐标上的投影的绝对值和力沿该轴的分量的大小相等。导入新课力不仅可以改变物体的移动状态，而且还能改变物体的转动状态。力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。讲授新课第三节 力对点之矩 合力矩定理一、力矩的概念力不仅可以改变物体的移动状态，而且还能改变物体的转动状态。力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。以扳手旋转螺母为例，如图1所示，设螺母能绕点O转动。由经验可知，螺母能否旋动，不仅取决于作用在扳手上的力F的大小，而且还与点O到F的作用线的垂直距离d有关。因此，用F与d的乘积不作为力F使螺母绕点O转动效应的量度。其中距离d称为F对O点的力臂，点O称为矩心。由于转动有逆时针和顺时针两个转向，则力F对O点之矩定义为：力的大小F与力臂d的乘积冠以适当的正负号，以符号mo(F) 表示，记为mo(F)Fh 通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。图1由图1可见，力F对O点之矩的大小，也可以用三角形OAB的面积的两倍表示，即mo(F)2ABC在国际单位制中，力矩的单位是牛顿米（Nm）或千牛顿米（kNm）。由上述分析可得力矩的性质：（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。力矩随矩心的位置变化而变化。（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变，再次说明力是滑移矢量。（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。二、合力矩定理定理：平面汇交力系的合力对其平面内任一点的矩等于所有各分力对同一点之矩的代数和。图2证明：设刚体上的A点作用着一平面汇交力系。力系的合力。在力系所在平面内任选一点O，过O作oy轴，且垂直于OA。如图32所示。则图中Ob1、Ob2、Obn分别等于力F1、F2、Fn和FR在Oy轴上的投影Y1、Y2、Yn和YR。现分别计算F1、F2、Fn和FR各分力对点O的力矩。由图2可以看出（1）根据合力投影定理YRY1Y2Yn两端乘以OA得YROAY1OAY2OAYnOA将式（1）代入得mo(FR)mo(F1) mo(F2)mo(Fn)即mo(FR)mo(F)上式称为合力矩定理。合力矩定理建立了合力对点之矩与分力对同一点之矩的关系。这个定理也适用于有合力的其它力系。例31试计算图36中力对A点之矩。图3解本题有两种解法。由力矩的定义计算力F对A点之矩。先求力臂d。由图中几何关系有：d=ADsin=(AB-DB)sin=(AB-BCctg)sin=(a-bctg)sin=asin-bcos所以mA(F)=Fd=F(asin-bcos)根据合力矩定理计算力F对A点之矩。将力F在C点分解为两个正交的分力和，由合力矩定理可得mA(F)= mA(Fx)+ mA(Fy)=Fxb+ Fya=F(bcosasin) =F(asin-bcos)本例两种解法的计算结果是相同的，当力臂不易确定时，用后一种方法较为简便。第四节 平面力偶系一、力偶、力偶矩在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、方向相反，但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如，司机转动驾驶汽车时两手作用在方向盘上的力（图4-a）；工人用丝锥攻螺纹时两手加在扳手上的力（图4-b）；以及用两个手指拧动水龙头（图4-c）所加的力等等。在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力称为力偶，用符号 ( F ,F)表示。两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂，两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。图4实验表明，力偶对物体只能产生转动效应，且当力愈大或力偶臂愈大时，力偶使刚体转动效应就愈显著。因此，力偶对物体的转动效应取决于：力偶中力的大小、力偶的转向以及力偶臂的大小。在平面问题中，将力偶中的一个力的大小和力偶臂的乘积冠以正负号，(作为力偶对物体转动效应的量度，称为力偶矩，用m或m( F ,F)表示，如图5所示，即m(F)Fd=2ABC 图5通常规定：力偶使物体逆时针方向转动时，力偶矩为正，反之为负。在国际单位制中，力矩的单位是牛顿米（Nm）或千牛顿米（kNm）。二、力偶的性质力和力偶是静力学中两个基本要素。力偶与力具有不同的性质：（1）力偶不能简化为一个力，即力偶不能用一个力等效替代。因此力偶不能与一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。设刚体上的A和B分别作用着大小不等，指向相反的平行力F1和F2，若F1F2。由同向平行力合成的内分反比关系，来求反向平行力的合力。图39b所示，将力F1分解成两个同向平行力，使其中一个分力F2作用于点B，且F2F2，设另一个分力为FR，其作用线与AB的延长线交于C点。现将平衡力F2和F2减去，力FR就与原来两反向平行力F1和F2等效。即力FR为F1和F2的合力。（图6）图6因为F2F2FRF2FR所以FRF1F2由内分反比关系知若F1F2，则力F1和F2组成力偶，此时，FR0，于是CACA，说明合力的作用点C不存在，所以力偶不能合成为一合力。即力偶不能用一个力代替，也不能与一个力平衡，力偶只能用力偶来平衡。(2)力偶对其作在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，与矩心位置无关。图7如图7所示，力偶( F ,F)的力偶矩m(F)Fd在其作用面内任取一点O为矩心，因为力使物体转动效应用力对点之矩量度，因此力偶的转动效应可用力偶中的两个力对其作用面内任何一点的矩的代数和来量度。设O到力F的垂直距离为x，则力偶( F ,F)对于点O的矩为mo( F ,F)= mo( F )+ mo( F)= F（x+d）-Fx=Fd = m所得结果表明，不论点O选在何处，其结果都不会变，即力偶对其作用面内任一点的矩总等于力偶矩。所以力偶对物体的转动效应总取决于偶矩（包括大小和转向），而与矩心位置无关。由上述分析得到如下结论：在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的力偶的代数值相等，则这两个力偶相等。这就是平面力偶的等效条件。根据力偶的等效性，可得出下面两个推论：推论1力偶可在其作用面内任意移动和转动，而不会改变它对物体的效应。推论2只要保持力偶矩不变，可同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改变它对物体的作用效应。由力偶的等效性可知，力偶对物体的作用，完全取决于力偶矩的大小和转向。因此，力偶可以用一带箭头的弧线来表示如图3-11所求，其中箭头表示力偶的转向，m表示力偶矩的大小。图8三、平面力偶系的合成作用在物体同一平面内的各力偶组成平面力偶系。设在刚体的同一平面内作用三个力偶( F1 ,F1) ( F2 ,F2) 和( F3 ,F3)，如图312所示。各力偶矩分别为：m1F1d1，m2F2d2，m3F3d3，图9在力偶作用面内任取一线段ABd，按力偶等效条件，将这三个力偶都等效地改为以为d力偶臂的力偶( P1 ,P1) ( P2 ,P2) 和( P3 ,P3)。如图9所示。由等效条件可知P1d=F 1d1，P2dF2d2，P3d F3d3则等效变换后的三个力偶的力的大小可求出。然后移转各力偶，使它们的力偶臂都与AB重合，则原平面力偶系变换为作用于点A、B的两个共线力系（图9-b）。将这两个共线力系分别合成，得FRP1P2p3FRP1P2P3可见，力FR与FR等值、反向作用线平行但不共线，构成一新的力偶（FR，FR），如图9-c所示。为偶（FR，FR）称为原来的三个力偶的合力偶。用M表示此合力偶矩，则MFR d（P1P2P3）d= P1d+P2dP3d=F 1d1+F2d2F3d3所以 Mm1m2m3若作用在同一平面内有个力偶，则上式可以推广为Mm1m2mnm由此可得到如下结论：平面力偶系可以合成为一合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩的代数和。四、平面力偶系的平衡条件平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力偶矩等于零，则原力系必定平衡；反之若原力偶系平衡，则合力偶矩必等于零。由此可得到平面力偶系平衡的必要与充分条件：平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零。 即m0平面力偶系有一个平衡方程，可以求解一个未知量。例32如图10所示，电动机轴通过联轴器与工作轴相连，联轴器上4个螺栓A、B、C、D的孔心均匀地分布在同一圆周上，此圆的直径d150mm，电动机轴传给联轴器的力偶矩m2.5 kNm，试求每个螺栓所受的力为多少？图310解取联轴器为研究对象，作用于联轴器上的力有电动机传给联轴器的力偶，每个螺栓的反力，受力图如图所示。设4个螺栓的受力均匀，即F1F2F3F4F，则组成两个力偶并与电动机传给联轴器的力偶平衡。由m0，mFACFd0解得例33水平杆重量不计，受固定铰支座A及CD的约束，如图11所示，在杆端B受一力偶作用，已知力偶矩m100Nm，求A、C处的约束反力。图311解取AB杆为研究对象。作用于AB杆的是一个主动力偶，A、C两点的约束反力也必然组成一个力偶才能与主动力偶平衡。