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高等工程流体力学 授课教师 李宝宽 内容概要 粘性流体流动现象粘性流体流动性质粘性流动的基本方程粘性流动的若干特解边界层理论湍流模型理论流动问题的数值解初步 第一章粘性流体流动现象 自然界固有的流动现象 自然的流动现象 人类的利用 第二章粘性流体的性质 2 1假设条件 流体是连续介质流体是均质不可压缩的各向同性牛顿流体流体是每一瞬时流体质量处于准热平衡态流体中的热传导过程服从傅里叶定律 2 2粘性流体不同于无粘性流体的特点 1 粘性流体运动的有旋性2 粘性流体运动机械能的耗散性3 粘性流体运动中涡旋的扩散性 第三章粘性流动的基本方程 3 1研究流体运动的两种方法 两种参考坐标系 1 拉格朗日法 跟随流体质点去研究流体运动的方法 独立变量为 t 位置向量速度向量加速度向量下标 表示是 所标志的流体质点 x x2 x1 x3 x t t t t0 2 欧拉法 着眼于从空间坐标去研究流体流动 独立变量为 t 速度向量加速度向量注意 一切流体运动的力学属性均是流体质点的属性而不是空间点的属性 流体质点位于空间点上从而流体质点的运动属性为时间和不依赖于时间的空间坐标的函数 F x t F x x t t 研究欧拉空间场中某一运动属性F的变化率必须跟踪一个固定的流体质点 F可以代表速度密度温度等流体运动的各种力学属性 称为F的物质导数或成为随体导数 它是以欧拉空间坐标所表示的流体质点的运动属性对时间的全导数 物质导数写为向量的形式 3 1 式中 1第一项为F的当地变化率 是在某一点x处F随时间t的变化率 是由流动的不恒定性引起的 2第二项为F的迁移变化率 是由流畅的不均匀性引起的 两种流动描述方法之间的关系欧拉方法在数学处理上的最大困难是方程式的非线性 而拉格朗日方法中的加速度项则为线性 直接应用拉格朗日型的基本方程解决流体力学问题是困难的 因此在处理流动问题时 常常必须用拉格朗日的观点而却应用欧拉的方法 为此引用雅可比行列式建立两种系统之间的变换关系 3 2 拉格朗日变量与欧拉变量可以互换的唯一条件是 雅可比行列式的时间导数 3 3 3 2雷诺输运方程 用欧拉导数表示一个流体系统的拉格朗日变化率 即为雷诺输运方程 取定一个系统在流动过程中t t时所占据的空间作为控制体V t 系统在t t0所占据的控制V0 V t0 作为识别这一系统的标志 令 则 3 4 系统所具有的某种运动要素对时间的全导数推导为 式中F代表该运动要素的体积分布密度 由高斯公式得 3 5 可见系统对时间的全导数 即系统的物质导数是由两部分组成的 其中是由于流场中F的不恒定性所引起的整个控制体内所含物理量在单位时间内的增量 表示在单位时间内 流体通过控制体表面S t 而引起的控制体内物理量的变化 也就是系统由一个位置流动到另一个位置时 由于流场不均匀性而引起的迁移变化率 可以看出 雷诺输运方程 3 1 与 3 5 式所表示的物质导数从本质上讲是相同的 只不过是雷诺输运方程是以系统的流动作为研究的对象而物质导数式研究流体质点的运动 因此可以说输运方程是流体质团的物质导数 3 3连续方程 连续方程是质量守恒原理在流体运动中的表现形式 系统的质量为 质量守恒要求 3 6 此即拉格朗日型的积分形式的连续方程 应用输运方程 3 7 或写为 则为欧拉形式的积分形式的连续方程 为通过控制体表面积的物质通量 此式对于流动中的任何一个体积都是适用的 即V t 时任一选取的 因此得 3 8 为微分形式的欧拉型连续方程式 3 4雷诺第二输运方程 应用输运方程时 如把 F 看作某一物理量 则 右侧第二 三两项可写为 由 3 8 式此项为零 3 9 此式即为雷诺第二输运方程 3 5动量方程 动量方程是动量守恒原理在流体运动中的表现形式 运动着的流体微团的动量可表示为 动量守恒原理要求流体系统的动量变化率等与该系统上的全部作用力 在流体运动中作用力F包括 1 体积力 包括质量力 是作用于流体质量上的非接触力 这种力可以穿透到流体的内部而作用于每一流体质点上 体积力可以表示为 其中为单位质量力 为单位体积力 2 面积力 为流体或固体通过接触面二十家在另一部分流体上的力 它是流体在运动过程中作用在流体内部假想的面积上的由于流体的变形和相互作用而在流体内部产生的各种应力 或者是流动的固体边界对流动所施加 的面积力 设单位面积上的面积力为p 它是空间坐标x 时间t 和作用面外法线方向n的函数 n为单位法线向量 令下标1 2 3分别表示在x1 x2 x3轴上的分量 流场中某一坐标点处 某一时刻t时的流体面积力 由于它是向量的一个向量函数 所以可以写为9项 3 10 一点的应力状态常用应力张量来表示 下标中I表示作用面的外法线方向 j表示面积力的方向 为空间点坐标及时间t的函数 3 11 写为张量形式为或 3 12 于是动量方程式可写为 此即为拉格朗日型积分形式的动量方程 右侧第一项为体积力 第二项为面积力 由雷诺第二输运方程 此式改为 即欧拉型积分形式的动量方程 此时也可写为 由高斯公式 右侧第二项的面积分写为体积分的形式 由于V t 是任取的一个控制体体积 可得微分形式的欧拉型动量方程为 3 13 向量形式为 3 14 3 6能量方程 能量方程是能量守恒原理在流体运动中的表现形式 令e代表单位质量流体所具内能 则为单位体积流体所具内能 代表单位体积动能 从而单位体积流体所包含的总能量 能量守恒原理可表示为 单位时间内外力作功为 由高斯公式 表面力作功可写为积分形式 式中I 1 2 3 j 1 2 3 单位时间内传入系统的热量为 1 Q表示由辐射或化学能释放等因素而产生的系统内单位体积流体热量的增量 2 q为热通量向量 负号表示热的流通与外法线方向相反 即热量进入系统 应用雷诺第二输运方程即得欧拉型能量方程的积分形式 3 15 能量方程的微分形式为 3 16 向量形式为 3 17 3 7纳维 斯托克斯方程 微分形式的动量方程为 3 18 当容积粘度 由牛顿流体本构方程式得到 3 19 将 3 19 代入 3 13 式得 3 20 此即牛顿流体的运动方程 称为纳维 斯托克斯方程 简称N S方程 这一方程于1821年由法国力学家纳维提出 1845年英国力学家斯托克斯完成最终的型式 当为常数时 3 21 对于不可压缩流动 则 3 22 对于不可压缩的理想流体 则为欧拉方程 3 23 3 8纳维 斯托克斯方程的边界条件和初始条件 3 3 1边界条件在连续介质假定下 由试验所确定的粘性流动的边界条件为 在流体与固体的交界面处流体与固体无相对滑移 当然从分子的尺度看滑移是可能的 但这种滑移只限于其厚度只有一个分子平均自由程量级的薄层内 1固定边界处如果固定边界的速度为U 则流动的边界条件为 u U 3 24 在无穷远处 流场应与未扰动流体的状态相衔接 如未扰动流体为静止状态 则当时 考虑热效应 则一般边界条件为 在边界处 温度T为常数或边界温度梯度为常数 n为边界外法线方向 2两种液体的分界面在分界面两侧其速度 压强与温度均相等 即 3 25 摩擦力和通过分界面的热传导量也相等 即 3 26 3 27 式中K1K2分别为两种液体的导热系数 3液体和气体的分界面最常见的为液体与大气的分界面 称为自由水面 其边界条件为 1 运动学条件位于自由水面上的流体质点将永远位于自由水面 所以 即 3 28 式中表示自由水面的高度 可以看出自由水面上的流体质点在平均自由面的垂直方向上的速度等于自有水面的垂直波动速度 在水面波为微幅波的假设下 与均很小 因此忽略上式最后两项可得到 3 29 气体 液体 平均自由面 x1 x2 t x1 x3 x2 2 动力学条件动力学边界条件是在两种流体的交界面处 法向应力连续 两个方向的切向应力连续对于气体和液体的交界面 自由水面 则切应力连续的条件可以忽略 法向应力 包括压强和自由表面张力而应起的液面压力则必须连续 如果忽略表面张力 则自由水面上液体的压强等于大气压强pa 有些情况下还需给定进出口断面上的速度 压强和温度的分布 3 3 2初始条件对于不恒定的粘性流动则需给出初始时刻 t t0 时流场中各有关物理量的分布 即流动的初始条件 3 9粘性流动的相似律 令V0 L0 p0 t0 0 0 g0分别代表流速 长度 压强 时间 密度 粘度 重力加速度的特征值从而组成各物理量的无量纲量如下 3 30 当质量力只考虑重力的作用 不可压缩流体二维流动的N S方程为 3 31 各项物理量改为无量纲量 然后以除各项得 3 32 式中由特征物理量组成了几个重要的无量纲量 称为斯特劳拉哈尔数 3 33 称为弗劳德数 3 34 称为雷诺数 3 35 称为欧拉数 3 36 由此 上式可改为 3 37 如果两个流动相似 则由无量纲所表示的方程式应相同 因此对于两个流动而言 只有各个无量纲数分别相等 才是相似流动 第四章粘性流动的若干特解 4 1平行流动平行流动是流动中最简单的一种情形 在平行流动中只有一个流速分量是不等于零的量 所以流体质点均沿一个方向流动 设三个坐标方向的分速度为u v w 平行流动v 0 w 0 由连续方程可知 也就是说流速分量u在x方向并不变化 N S方程在x方向的分量方程 4 1 其中三个迁移项均为零 故 4 2 为u的线性二阶偏微分方程 4 1 1库埃特流动上下两平行平板所组成的槽道内充满了粘度为 的不可压缩流体的流动 上平板以速度U相对于下平板运动 两板间距离为h 设槽道中同时存在x方向压强梯度 流动为恒定 且流动为二维 在z方向没有变化 式 4 2 可写为 4 3 4 3 式为x方向的N S方程 它说明只能是y的函数而与x无关 而由y方向的N S方程 可见压强只能是x的函数 为同时满足这两方面要求只能等于常数 积分 4 3 式得 4 4 y U x h 代入边界条件确定积分常数C1 C2后得 4 5 沿断面积分 4 4 式可得流量公式 4 6 4 1 2泊肃叶流动由压强梯度推动的管 槽中的不可压缩粘性流体的流动称为泊肃叶流动 z方向为无穷长 流动为二维的 基本方程为 4 7 边界条件为 4 8 积分可得 4 9 断面平均流速um为 4 10 单位宽度槽道流量q为 4 11 N S方程精确解中最具实际意义的流动之一是管道内部流动 特别是圆管流动 层流的圆管流动如图 采用圆柱坐标 只有x方向的流速存在 由连续方程可得N S方程可写为 a b c umax x y U y 2b 由 a b 两式可知p只与x坐标有关而与r 两坐标无关 由 c 式可知只能是常数 令 c 可改写为 积分之 当 再积分上式 当 流速分布公式为 4 12 x u r0 r 图4 4层流的圆管流动 管道中心处r 0 此处流速最大 即 4 13 沿断面积分 2 13 式可得流量Q 4 14 从而可计算断面平均流速um 4 15 这就是圆形管道粘性流动情况下N S方程的精确解 但它只是在圆管流动为层流时成立 4 2运动平板引起的流动 4 2 1突然加速平板引起的流动 斯托克斯第一问题 对于非恒定的平行流动 最简单的例子是一个在半无限空间静止的平板突然起动 沿其自身平面加速至某一固定速度U 从而带动其周围原来处于静止的不可压缩粘性流体运动 设板长为无穷 N S方程化简为线性方程 4 16 此为经典的热传导方程 两个自变量为x t 因为是平行流动 由连续方程知 且整个流场中压强为常数p p0 const 坐标系如图2 6所示 y p p0 U0 x 图4 5斯托克斯第一问题 边界条件为 4 17 令为无量纲坐标 并假设 则 4 16 变为常微分方程 边界条件变为 常微分方程的解为 4 18 erf为误差函数 erfc为补偿函数 其数值可查有关于手册 当 这说明平板突然加速至U0由于粘性而带动周围流体运动形成的流速场中 只有在的薄层流动内流速大于U0的百分之一 而在以上的流层流速只有U0的百分之一以下 可以看作没有影响或影响很小 有此可见平板通过流体粘性而带动的流体运动只发生在的薄层以内 这部分流层可称为边界层 其厚度为 图2 6表示沿 的分布 由图还可看出 对于流场中的某给定点y处 其流速随时间的增加而增大 当时该点流速可达到U0 1 0 1 0 5 2 u U0 图4 6u U0沿 分布 y 2 4 2 2振动平板引起的流动 斯托克斯第二问题 无限平板沿自身平面做简谐振动通过粘性而带动周围原来处于静止的流体所形成的流动 平板上部半无限流场内N S方程可写为 4 19 平板壁面处的流体质点由于无滑移条件而随平板振动 因而边界条件为 4 20 热传导方程 4 19 的解为 式中令 4 19 式的解也可写为 4 21 为一个按指数衰减的简谐振动 harmonicvibration 流场的振动频率与平板的频率相同 为 振幅为 在y 0处振幅最大 与平板相同为U0 随y值得增加振福按指数规律衰减 如仍以为考虑粘性影响的界限 可得 4 61 其相应的厚度即边界层厚度 4 22 斯托克斯第一问题说明粘性流动中固体壁面对流动的影响范围即边界层厚度 与流体运动粘性系数 和时间t乘积的平方根成正比 可以看出平板运动对周围流体的影响是通过流体粘性传播的 其传播要有一定的时间 斯托克斯第二问题说明平板的振动向流体内部传播也是通过流体的粘性 而且与振动频率 有关 可见 因此两个结论相同 u0cos t 图4 7斯托克斯第二问题 4 3低雷诺数流动 低雷诺数流动 以其惯性力相对粘性力而言甚小因而可近似地忽略N S方程中非线性的惯性项 从而得到线性的运动方程 流动雷诺数决定于流体的物性包括密度 和粘度 和流动的特征物理量包括特征速度U及特征长度L 低雷诺数流动一般指的流动 4 3 1斯托克斯方程最基本的低雷诺数流动的近似解法是斯托克斯近似 雷诺数表征惯性力与粘性力之比 因此在低雷诺数流动中假定惯性项可以忽略 在N S方程中如压强项考虑为流体动压强 则N S方程简化为 4 23 4 24 最后得到流速向量u为 4 29 式 4 27 和式 4 29 表示斯托克斯方程的一个基本解 它是一个位于原点的奇点 称为斯托克斯极子 式中C表示斯托克斯极子的强度 为极矩方向的单位向量 4 3 3绕过球体的均匀流动均匀来流如图绕过以O为球心 r0为半径的球体流动 将球心取为坐标远点 使用球坐标系 流动为轴对称流动 x1 r er e r0 U 图4 9绕球体的均匀流动 其边界条件为 在物面上 U为物面速度处 4 23 式称为斯托克斯方程式 与连续方程 4 24 联立共有4个分量方程式和4个未知量 流速u1 u2 u3和压强p 通过斯托克斯近似 N S方程变为线性方程 4 3 2斯托克斯的一些基本解1均匀解斯托克斯方程最简单的基本解即为均匀解 可以看出对于一个速度向量和压强均为常量的流动 4 23 式和 4 24 式必然满足 即这个速度场合压强场中不产生力和力矩的作用 这个速度场和压力场中不产生力或力矩的作用 2偶极子由于任一势流解同时也必然是N S方程的精确解 因为对于势流 N S方程中的粘性项恒等于零 在斯托克斯近似中惯性项认为等于零 粘性项相对于势流而言也为零 这时只有压强项也为零 即 也就是说N S方程的一个势流解当其为常量时同时也是斯托克斯方程的解 对于三位轴对称势流 采用球坐标 r 则位于原点的偶极子所引起的流动中 4 25 流速则为 4 26 式中是流场中点位置向量 A为偶极强度 为偶极矩方向的单位向量 这个流速厂要满足斯托克斯方程则必须压强为常数 即 偶极子同样不施加任何力或力矩于周围的流体 o x1 p 参考轴 图4 8三位轴对称势流 3斯托克斯极子流动中压强不为常数 由式 4 23 可得 其中是满足拉普拉斯方程的解 压强p是和函数 满足三位拉普拉斯方程 他的一个基本解是 这个基本解所对应的流速 u趋于零 因此这个基本解不适用 p的另一个基本解是 4 27 与此压强场所对应的流速场可通过 4 23 得到 4 28 由连续方程确定 解出 直角坐标系的x1方向 在势流中均匀流绕过球体的流动为均匀流与偶极子的叠加 由 4 26 式 设偶极矩方向为x1方向 边界条件为 于是圆球绕流的势流流场为 在斯托克斯流动中 既考虑流体粘性但雷诺数很小的流动情况 圆球绕流为均匀流 偶极子与斯托克斯极子的叠加 由 4 26 4 28 式可知流场为 边界条件为 可解出 从而圆球绕流的斯托克斯流动的流场为 其压强场由 4 27 式代入C值可得 圆球受到流体作用于它上面的力说明受力方向与来流一致 为阻力 这就是著名的斯托克斯关于均匀流中球体阻力的公式 它是在雷诺数很低的情况下成立的 如果令 为阻力系数 则斯托克斯关于均匀流中球体的阻力系数为对斯托克斯流动的众多研究成果都表明 不同形状物体的阻力都是与来流流速 流体的粘性系数以及物体的特征尺度成正比 只是正比常数各有区别 例如 半径为r0的薄圆盘所受的阻力为 当圆盘正面向前运动时当圆盘侧缘向前运动时可见尽管圆盘与圆球的形状有显著差别 但其阻力比圆球只分别低15 和43 这说明斯托克斯流动中绕流物体所受阻力对物体的形状不太敏感 因而对于与球形相差不多的沙粒 尘埃 细胞等完全可以用圆球的斯托克斯阻力公式估计其阻力 4 3 4奥辛近似 另一个低雷诺数的近似解为奥辛近似 粘性的影响往往主要表现在物体壁面附近的薄层内 随着距离物面的距离加大 粘性作用逐渐下降 以至在一定距离处粘性力项终于下降到与惯性力项相同的数量级 甚至更小 斯托克斯方程已经不能使用 为此 奥辛部分地考虑了N S方程中的惯性项 但又不使它们成为非线性项 假定 式中为无穷远处自由流速 为扰动速度 均较甚小 这一假定在很接近物面处当然不成立 于是N S方程的惯性项可以分解为两部分 其中第二部分中的等项为二阶小量 与第一部分各相比可以忽略 这样 N S方程写为 边界条件与N S方程相同 奥辛使N S方程线性化既不像斯托克斯那样使迁移速度为零 也不用当地速度u而是使用自由流速度 而自由流速度为常数 根据奥辛近似方程的解可以求得圆球绕流的阻力系数为 第五章边界层理论 5 1边界层概念边界层是粘性流动中固体壁面附近粘性起主导作用的一薄层流体层 如设一极薄平板 顺流放置于均匀平行流动中 与为受扰动的来流流速平行 粘性流体流经平板时 仅靠板面的流体质点粘附板上 其速度与平板壁面相同 此处平板静止不动 通过粘性作用 流体质点之间将存在内摩擦阻力 是平板两侧的流体逐渐减慢 形成壁面附近很大的流速梯度 这一流动区域称为边界层 如图5 1所示 通常定义当地流速u x y 等于0 99UE时的y值为边界层厚度 也叫边界层名义厚度 UE为当地壁面处的有欧拉方程解得的势流流速 5 2边界层厚度5 2 1边界层名义厚度的量级估计若将平板上各点除边界层外边缘点连接起来形成一条边界层的外边缘线如图5 1中虚线表示 边界层的厚度随距平板前缘的距离增加而增厚 说明边界层厚度沿流程逐渐发展 当来流为均匀平行流动 流动无涡 但对于粘性流动由于平板壁面的存在 在边界层内产生流速梯度 从而在平板壁面上产生涡量 涡量从壁面向外传播的范围所及就是边界层 可见粘性流动流场中的固体壁面是涡量产生的源泉 旋涡同时也被流动带向下游 旋涡向下游x方向传播的速度取决于来流流速 而旋涡向y方向扩散的速度可以由看出 但雷诺数表示为 时 可见雷诺数表示涡旋向下游传播速度的平方与y方向 传播速度的平方之比 雷诺数越大 涡旋向y方向传播速度越小于向下游传播速度 边界层厚度越薄 由此可见 大雷诺数情况下 流场可分为两部分 一部分为无涡的势流 另一部分为粘性起主导作用的有涡流动区域 即边界层流动 大雷诺数的流动绕过任何形状的物体都会发生边界层流动 在接近绕流物体的尾部 由于存在逆压强梯度 压强沿流程增加 而是边界层自物体壁面分离并在物体下游形成尾流区 粘性力与惯性力相当 则有 由此得 所以 由此可见 在高雷诺数的条件下 边界层厚度远小于被绕物体的特征长度 即这与试验结果相符 在边界层研究中有不同的雷诺数的定义 一般的作为整个流动的雷诺数为 式中为无穷远处为受扰动的来流流速 L为绕流物体的某一特征长度 如平板的长度 圆柱或圆球的直径等 对于边界层常定义 为边界层雷诺数 x为沿边界层坐标自绕流物体前缘算起的距离 边界层雷诺数还常定义为 由于 因此Rex与Re 之间又确定的数量关系 当边界层雷诺数增达到一定数值后流动可从层流转变为紊流 有层流转变为紊流的点的雷诺数称为临界雷诺数 5 2 2边界层排挤厚度在固体壁面附近的边界层中 由于流速受到壁面的阻滞而降低 使得在这个区域内所通过的流量较之理想流体流动时所能通过的流量减少 相当于边界层的固体壁面像流动内移动了一个距离 1后理想流体流动所通过的流量 这个距离 1称为边界层位移厚度 如图相当OAB面积的流量与BCD面积的流量二者相等 根据定义 即为位移厚度的定义及计算公式 o A B u U E c U y D 1 图5 2边界层位移厚度 5 2 3边界层动量损失厚度边界层内流速的降低不仅使通过的流体质量减少 而也是通过的流体动量减少了 边界层中实际通过的流体动量为 如果这些质量通量具有的动量为 则二者相差相当于将固体壁面向流动内部移动一个 2的距离 即 2即称为动量损失厚度或简称为动量厚度 图中水平阴影部分面积为位移厚度 1 竖向阴影部分面积为动量损失厚度 2 与和两坐标轴间所形成矩形的面积即为边界层厚度 面积比较可得 0 01 0 1 0 y u U 1 u U 1 u U u U u U U 图5 3边界层内u U 1 u U u U 1 u U 5 2 4边界层能量损失厚度边界层内的流速降低同样使流体的动能通量也减小了 能量损失厚度定义为 由能量厚度可以计算流动的水头损失 边界层外的势流区不会由能量损失 能量损失完全产生于边界层内 单宽重量流体的动能损失为流速水头损失 式中q为二位流动是单位宽度过水段面的体积流量 5 2 5举例为了形象地说明边界层几个厚度的关系 先对一个边界层内流速为线性分布的典型情况进行分析 如图5 4 设流速分布为 则定义为边界层形状参数 则此时 2 3 1 U u u o y 图5 4边界层各种厚度的比较 5 3不可压缩层流边界层基本方程和边界条件 5 3 1平壁面层流边界层基本方程 5 1 5 2 5 3 为了简化此方程组 首先对它进行无量纲化 根据边界层流动的特点 可以选取L 及U分别为x y及u的特征值 并且可知 故可取为v的特征量 当边界层中沿流动方向的压力梯度与惯性力具有相同量级时 则有于是可取为p的特征量 我们假定在边界层中 t具有L ue的量级 用这些特征量去度量各相应的物理量 则可得到量级为1的无量纲物理量 5 4 将这些无量纲量代入基本方程式得 5 5 5 6 5 7 由于式中 号的各物理量具有1的量级 因此上式各项的量级完全取决于各项无量纲系数的量级 由于我们讨论的是雷诺数Re 1的问题 因此1 Re 1 1 Re2 1 于是方程式 5 5 5 7 中带有1 Re 1 Re2系数的项可以忽略 可得 5 8 5 9 5 10 利用式 5 4 将上式还原为有量纲的形式的方程为 5 11 5 12 5 13 这就是沿平壁面的不可压缩流体平面层流边界层的基本方程组 由式 5 12 可知 压力沿y方向为常数 即p pe x t 式中pe x t 是主流在边界层外缘上的压力分布 对于边界层问题的求解来说 pe x t 是已知函数 于是上式中的可写成由此 沿平壁面的不可压缩流体二元层流边界层的基本方程为 5 14 5 15 这就是求解边界层中v u的封闭方程组 5 3 2边界层的边界条件和起始条件 边界层的边界由物面 y 0 及边界外缘 y 所组成因此 边界层的边界条件就是指物面条件和边界层外缘条件 在物面上 y 0 流体速度满足在边界层外缘 y 流体被看成是理想流体 因此或写成 5 17 5 16 根据前述的边界层中的物理的量级关系式5 4可得 因此边界层外缘条件可写成 5 18 因此边界层外缘速度条件可写成 5 19 严格说来 在y 处 而是 如下图 故准确的外缘速度条件应是 5 20 同理 边界条件式5 18的准确形式应为 5 21 边界层外缘 图5 5 对于不定常流动 还必须给出运动的初始条件 即给出时刻的速度场 5 22 5 23 至此 我们得到了不可压缩层流边界层的基本方程和边界条件 5 3 3边界层壁面阻力系数壁面阻力是边界层计算的重要课题之一 现给出它们的计算公式 在直角坐标系中 切应力公式为 若曲壁面曲率半径满足 则在边界层坐标系中 上式仍然可用 根据边界层中各物理量级特点 切应力公式可写为于是壁面切应力可写成通常用局部阻力系数表示壁面切应力 其定义为显然 与速度梯度的关系为 5 24 5 25 5 26 5 27 5 28 5 4平壁面层流边界层的勃拉修斯解 勃拉修斯精确地求解了零压梯度的定常不可压缩平壁面上的平面层流边界层 所谓零压梯度指在上述条件下 平壁面边界层方程式可写成 5 29 5 30 相应的边界条件为 5 3 2平壁面层流边界层的勃拉修斯解 勃拉修斯求解此问题的步骤如下 1 利用边界层流动的特点 将基本方程改造常微分方程 2 利用级数展开的方法 求解常微分方程 得出数值解 为把方程改造为常微分方程 引进变换式为 5 31 5 32 于是 5 33 5 34 5 35 5 36 其次在引进一函数f如下 5 37 于是有 5 38 函数f与流函数 有密切的关系 其关系式如下 5 39 由上可求出分速度v 5 40 将它们代入边界层方程组中的运动方程并利用变换关系式可得或 5 41 边界条件式可写为从上面三个边界条件可以看出他们都与 无关 即f f 于是方程式 5 28 可写成 5 42 这样平板边界层问题最后归结为求解上述三阶常微分方程的边值问题 二结果分析 一 边界层内速度分布由前知于是速度可写成 5 43 5 44 二 边界层的各种厚度 1 名义厚度 我们已经认为规定 在边界层外缘速度为由此可以求出边界层的名义厚度 由于 4 92于是由此可得 5 45 2 排挤厚度 1将变化关系式代入排挤厚度公式 得将速度公式代入可得式中 4 92 且f 3 18故平板边界层的流量排挤厚度为 5 46 3 动量损失厚度 2将变换关系式代入动量损失公式为将速度公式代入可得式中 4 92 进行积分可得平板边界层动量损失厚度 2 5 47 第六章湍流模型理论 6 1引言湍流模型理论是以雷诺平均运动方程与脉动运动方程为基础 依靠理论与经验的结合 引进一系列模型假设 建立一组描写湍流平均量的封闭方程组的理论计算方法 1872年布辛涅斯克就提出用涡粘性系数来模拟雷诺应力 二次世界大战前 人们发展了一系列所谓半经验理论 其中包括得到最广泛应用的普朗特混和长理论 以及G I泰勒的涡量转移理论和冯 卡门的相似性理论等 他们的基本思想都是建立关于雷诺应力的模型假设 使得雷诺平均运动方程组得以封闭 1940年周培源在世界上首次建立了一般湍流的雷诺应力所满足的输运微分方程组 其中又出现了三元速度关联等新未知量 必须引用一些假设 才能使方程组封闭 1951年原西德Rotta又发展了周培源所开创的工作 提出了完整的雷诺应力模式 他们的工作现在被认为是以二阶封闭模式为主的现代湍流模式理论的最早的奠基性工作 6 2模拟的原则根据我们对湍流现象的了解以及建立封闭方程组的基本目的 可以提出以下基本假设与原则作为建立湍流二阶封闭模式的依据 1 经平均处理的纳维 斯托克斯方程与脉动方程是我们的基本出发点 2 在二阶封闭模式的范围内 所有湍流高阶特征量都只是 u p T 与 等的函数 3 所有被模拟的项在模拟后的形式必须与其原项有相同的量纲 4 被模拟后的形式必须与原项有相同的数学特性 例如对称性 不变性 置换性 迹为零等 5 各湍流特征量的湍流扩散速度均假设与该量的梯度成正比 6 高雷诺数特性 即所有主要由大尺度涡决定的性质不受粘性影响 而小尺度涡结构在统计上则与平均运动和大尺度涡无关 是各向同性的 此假设适用于各种流动中 除了十分邻近固壁的区域外 7 湍流各种尺度或者可 k 如 特别是对于那些主要由大尺度涡决定的性质 或者可用 表示 即 后者仅用于由小尺度涡决定的性质 8 可实现性 模拟后的运输方程组不应当产生在物理上不可能的值 如负的正应力或湍流能量 关联系数大于1等 从这些假设出发 人们仍可以用各种不同的方法建立湍流模型 评判一个模型优劣的准则应该是 当将该模型用于各种不同的流动时 若不调整其中的常数值 它能以多大精确度来描写流动 同时从工程实际的观点 还要考虑其计算费用的经济性 湍流的统计平均法一时均法在湍流流场的某固定点上 与不同时可测量该处的速度 以圆管轴上某一点的轴向流速为例 每次试验的速度变化都极不规则 但是两次试验在相当长的时间内的平均值相同 显然 对于具有这种随机性质的湍流采用按时间平均的方法较为合适时均法的确切定义为应满足下列要求 平均值与平均的起始时刻t0及时间间隔 只要足够长 T无关 而且平均值本身不再是时间的函数 因此时均法只能用于讨论定常的湍流流动 二体均法湍流的随机变量不仅表现在时间上 在空间上也具有随机性 任一时刻 在轴上的速度分布都是极不规则的 但是若在距离L内求速度的平均值 则任意两次的试验结果有相同的平均值 显然 具有这种能够随机性质的湍流采用按体积平均的方法较为合适 一维体均法的确切定义是式中是在相同条件下任一次试验的速度分布 是沿x方向L段上的的平均值 同理我们可以定义空间意义上的平均 即体均法式中 为包含某空间点 x y z 在内的足够大的体积 称为 x y z 点处的体均值 因此严格说来 体均法只适用于描述对体均值而言的均匀的湍流流场 三概率平均法时均法和体均法只适用于两种特殊状态的湍流 前者适用于定常湍流 后者适用于均匀湍流 对于一般的不定常非均匀湍流 可以采用随机变量的一般平均法 即概率平均法 概率平均法的出发点是将重复多次的试验结果作算术平均 即式中为第k次试验的流畅分布函数 N为重复试验次数 脉动值与平均值的性质 1 平均值的平均仍为原平均值 2 脉动值的平均值等于零 3 脉动值乘以常数的平均值等于零 4 脉动与任一平均值乘积的平均值等于零 5 湍流值的各阶导数的平均值等于平均值的各阶导数 6 3雷诺应力模型 微分模型 RSM 先来推导湍流的动量方程 不可压流体的湍流瞬时流场的纳维 斯托克斯方程可以写成或可写成 对此方程求平均值有算出方程中各项的平均值 就可得到湍流的平均动量方程 下面逐项计算根据性质5知 利用可得于是利用性质5 可将上式右侧各项的平均值符号移入微分号内 从而可得 利用性质1和4 可得于是上式可写成将它们代入动量方程式得 上式就是著名的雷诺方程 雷诺方程中的各项的物理意义如下 单位质量流体的平均流动量的局部变化率 单位质量流体的平均流动量的迁移变化率 单位质量流体上的平均流压力的合力 单位质量流体上的平均流粘性应力的合力上述各项与层流状态中的各项对应 雷诺方程中右侧最后一项中的是一个二阶张量 通常称为雷诺应力或雷诺视应力 6 3 1雷诺应力方程与k方程的模型首先推导准确的雷诺应力方程与k方程 写出湍流脉动运动动量方程与连续方程 6 1 6 2 将Uj乘以Ui分量的动量方程加上Ui乘以Uj分量的动量方程 再求平均 便得雷诺应力的动力学方程 湍流扩散分子扩散产生耗散压力 变形 6 3 其中 其中的湍流扩散项 耗散项与压力 变形相都是新未知相 需要建立湍流模型 如在上述方程收缩指标i与j并除以2 便得湍流动能所满足的微分方程 6 4 其中 下面就依次讨论需要模拟的各项的湍流模型 1湍流扩散项的模拟根据原则 5 雷诺应力的湍流扩散速度应与雷诺应力的梯度成正比 故 3 5 在梯度前面需要一个湍流扩散系数 其量纲为 根据原则 7 这个主要由大尺度涡决定的湍流扩散性质 其各种尺度均应通过 k 表示 由量纲考虑 唯一可能的形式便是 Ck为一无量纲的待定常数 在此模型中 湍流扩散系数是一与方向无关的标量 即是一个各向同性的扩散系数 2耗散项的模拟考虑到耗散主要决定于小尺度涡运动 而根据原则 6 小尺度涡是各向同性的 于是雷诺应力的耗散项可表示成 3 6 3压力 变形项的模拟模拟此项最为困难 主要是因为其中包含了脉动压力项 不仅因为我们对脉动压力的特性知之甚少 而且至今还没有一种仪器能测量压力与变形速度的关联 没有实验数据可供比较 首先要找出压力通过速度来表示的关系式 对脉动运动方程3 1取散度 得到关于压力的泊松方程 3 7 如果计算压力的点离开固壁或自由面很远 则根据格林定理 泊松方程的解可表示成一个在很大的区域上的积分其中r是从计算压力的点到积分区域上任一点之间的距离 上式两边乘以 再求平均 便得压力 变形项的表示式 3 7 其中带 的项表示与积分区域的点有关的量 不带 的项则属于压力 变形项所在的点 被积函数由两部分之和组成 其中第一部分的积分记为 3 8 其中只包含与脉动速度有关的项 它的模型中也应只包含如等量 假设考虑一各向异性的均匀湍流场 其中平均速度梯度为零 对它 雷诺应力方程可简化为的 3 9 其中的项将决定湍流是否会趋向各向同性 我们定义一个无量纲的表示雷诺应力的各向异性程度的量从上一方程可导出在高雷诺湍流中 耗散项主要来自小尺度涡 而小尺度涡可认为是各向同性的 因而 于是有由于与一样都是迹为零的二阶对称张量 而且当零时 也必须为零 于是 对的最简单的近似是如Rotta 1951 所提出的让它直接与成正比 3 10 于是 3 11 由此方程可见 各向异性程度随时间的增减将取决于常系数是小于1还是大于1 而许多实验表明 高雷诺数时 湍流的确是趋向各项同性的 故应取 Launder认为最有利的值大约为的1 8 而陈景仁教授则建议取 对于压力 变形项3 7式的第二部分有 3 12 在数学上 它也是迹为零的二阶对称张量 在物理上 它反应了平均运动变形速度与脉动速度间的相互作用 对它的模拟必须通过在数学上 它也是迹为零的二阶对称张量 在物理上 它反应了平均运动变形速度与脉动速度间的相互作用 对它的模拟必须通过和表示 除了邻近如固壁或自由面这类边界的区域以外 对这些情形 方程3 7并不适用 通常认为平均变形速度在整个积分区域上可近似地当作均匀的 因而可将它提到积分号外面 3 13 剩下的积分只与脉动速度有关 且具有与一样的量纲 1 准各向同性模型 Quasi isotropicModel 这是最广为人知的模型 最简单的推导是假设式3 20中的积分可表示成的线性组合 并具有与积分本身相同的对称性质 结果是 3 14 其中 对于各向同性的雷诺应力可以证明不管的值如何选取 恒有 3 15 常数C2的值通常是根据对剪切湍流的计算与实验数据的匹配来选择 Launder 1975 给出的最佳近似值为0 4 2 产生项的各向同性化模型 Isotropizationofproductionmodel Naot Reynolds 1970 提出 根据直觉 的作用应使平均变形所引起的的产生率趋向各向同性化 由此假设 3 16 此式也可理解为式3 14的截断形式 只保留了其中的第一项 在各向同性的雷诺应力情形 如取 也能得到准确的形式3 15 Launder等人 1975 对一些剪切流的计算结果表明 如取 似乎给出更好的总体结果 但陈景仁建议的值 由于式3 16的简单性 在实际应用中比式3 14更有吸引力 到此 雷诺应力方程中的所有新未知项都已有了至少一种湍流模型 汇总以上结果 按照其中最简单的 事实上也是最常用的模型模拟以后的雷诺应力方程可写成 3 17 模拟后的湍流动能则为 3 18 其中的经验常数可取为 3 3 2 方程的模型 在雷诺应力的模型方程3 17中还包含着一个未知量 须建立一个 的方程 在这里实质上需要的只是一个标量的湍流长度尺度或时间尺度 我们现在已经有了一个可以用k表示的湍流速度尺度 即 如再给一个长度尺度 就可推出时间尺度 或者如有了时间尺度T 就可得到长度尺度 当然还可以选择其他变量 只要由此能决定湍流的长度尺度或时间尺度 例如kl或湍流 频率 当然最普遍的选择是湍动能耗散率 因为 本身在雷应力方程中作为未知量出现 而且 有确切的物理意义 并可直接测量 其他量则没有这些优点 首先要推导准确的 的方程 如将ui分量的动量方程3 1对xj求偏微商 乘以 再求平均 便得如下的 方程湍流扩散分子扩散产生I 3 19 产生 小涡拉伸产生粘性破坏这个方程极其复杂 几乎方程右边的每一个项都是新未知项 都需要建立模型 在逐项模拟以前 首先估计一下各项的量极 以便预先舍去可忽略的项 我们取U作为平均速度的尺度 L作为一切平均量变化的长度尺度 并认为它就是湍流中的大涡尺度 对于不在微分号内的脉动速度 认为主要贡献来自含能涡 取作为速度尺度 对于脉动速度的微商则认为主要贡献来自于平衡范围的小涡 取柯尔莫戈洛夫的尺度与作为其速度尺度与长度尺度 对于由脉动速度与其微商组成的关联 如 考虑到含能涡与小尺度涡之间的相关程度随湍流雷诺数的增长而减小 因而其数量级应减小一个的因子 其中的幂指数n可如下确定 因为 做两边的量级估计 由此得 这里利用了湍流统计理论中的结论 与是同级的 表3 1给出方程3 19中各项的量级估计情况 表中最后一行是在用对流项的量级进行正规化后各项的量级比较 在此量级估计中 第一个产生项虽然有与对流项相同的量级 但利用小涡的各向同性性质可以证明该项实际上接近于零 从各向同性湍流的统计理论我们知道因而因此方程中的两个产生项均可忽略不计 由上表中可见 方程中最后两项要比其他各项大得多 鉴于方程必须平衡 这两个大项必定有相反的符号 粘性破坏项恒为负 相当于一个汇项 由小涡拉伸引起的产生项必为正 相当于一个源项 而且两项大体相抵 其差至多为1的量级 可见粘性耗散率 随时间的增减主要取决于这个大项的差 但非常遗憾的是 这两项都是由极高波数的小尺度涡决定的 在现在和可预见将来都是不可测量的量 我们对这两个相项几乎一无所知 因而想要比较严格地模拟方程 是不可能的 坦率地说 下面要做的模拟主要是根据了量纲分析 直觉和类比 并没有多少逻辑推理 而且最重要的只是要对两个大项之差做出比较合理的模拟 而不在乎每项本身 3 3 2 1湍流扩散项的模拟虽然这项的量级很小 我们还是给出它的模型 根据第5与第7条原则与量纲上的考虑 很容易给出如下模型 3 20 3 3 2 2小涡拉伸引起的产生项与粘性破坏项的模拟如前所述这两项必须同时考虑 重要的是模拟好它们的差 前有一项相当于的一个源项 对它的假设是源项应正比于湍能产生项 理由是如因的增加引起湍能的增加 则耗散率也应相应地增加 再考虑量纲 便有 3 21 粘性破坏项的模型应使网格后的均匀湍流在能量衰减时 也衰减得足够快 以防止湍流能量变成负值 最广泛采用的形式为 3 22 这两个式子都是Davydov 1961 最早提出的 Lumley从另一个角度考虑也得到同样的模型 他认为在局部平衡的湍流中 即当时 应保持守恒 即 的增长速度为零 由此他假设这两项之差应与成正比 为了与实验数据更好的符合 又让两个常数独立 以增加调整的自由度 综合以上结果 最广泛采用的模拟后的 的方程为 3 23 其中的经验常数由陈景仁推荐的值为 3 3 3方程的模型在涉及传热或其他标量输运问题中 在平均温度或标量的对流扩散方程中出现了湍流交换项 这里 可理解为脉动温度或脉动标量 在二阶封闭模型的范围内还必须建立的模型方程 准确的方程可以如下导出 将 乘以ui分量的动量方程与ui乘以 的微分方程相加 并求平均 便得湍流扩散分子扩散 3 24 产生耗散压力 温度摩擦方程右边各新未知项可参照对雷诺应力方程的模拟建立模型 3 3 3 1扩散项的模拟3 3 3 2耗散项的模拟因为耗散主要来自各向同性的小尺度涡 如让i方向坐标反向 此项就改号 由各向同性此项必为零 3 3 3 3压力 温度项的模拟3 3 3 4摩擦项的模拟因为与其他项相比这一项的量级是很小的 最后可得模拟后的方程 3 25 其中的经验常数由实验确定 于是得到了完整的雷诺应力模型 包括 由平均运动的1个连续方程和3个动量方程 雷诺应力的6个方程 k方程与 方程 总共包含12个未知量的12个微分方程组成的封闭方程组 如还要计算温度或其它标量的分布 则还要加上1个平均温度方程与3个的方程 总共有16个方程 对于一般工程中的湍流流动问题 这个方程组实在是太庞大了 计算所需的计算机时间和费用太多了 为减少计算工作量 又提出了许多种简化的模型 3 4代数应力的模型 模型 ASM 雷诺应力模型的计算工作量之所以很大是因为雷诺应力的方程 3 17 都是偏微分方程 其实 的微分只包含在对流与扩散两项中 如果在某些条件下可将对流与扩散消去 则方程就化为代数方程 计算工作量必能大幅度减少 有两种情况可考虑消去对流与扩散项 一种情况是高剪切的流动 其中雷诺应力的产生项很大 而对流项与扩散项相对很小 另一种情况是所谓局部平衡的湍流 产生项与耗散项基本相抵 对流项也与扩散项大体相等 雷诺应力方程3 17在消去了对流项与扩散项之后 便化为6个代数方程 3 26 在必须考虑温度或其他标量输运的问题里 如果流动是有高温度 或其他标量 梯度的高剪切流或局部平衡的湍流 在的方程中可近似地忽略对流项与扩散 方程 3 25 也化简为代数方程 3 27 在以上代数模型中要将对流项与扩散项完全略去 这对流动的限制很苛刻 所做的近似也过于粗糙 Rodi 1972 提出了另一种代数模型 它部分地保留了对流项与扩散项的效应 他假设了与 成正比 于是将雷诺应力方程3 17中的对流项与扩散项放在一起 利用 方程3 18 可化为代数形式 因此 雷诺应力方程3 17就简化为代数方程 3 28 在必须考虑温度或标量输运的问题里 也假设正比于 于是 类似地有 3 29 这一组代数应力方程要比上面的方程3 26与3 27有改进 但在有对称平面或对称轴线的流动中 如射流 尾流等 就不合适 对这些流动 在中心线上 湍流剪应力应为零 而 值很高 不与k成正比 而且对流与扩散项都是主要项 用这代数应力方程3 26与3 27 或者3 28与3 29 分别代替微分应力方程3 17与3 25 再加上平均运动的连续方程 动量方程与平均标量方程 还要加上 方程3 18与方程3 23 就构成了封闭的方程组 3 5二方程模型 涡粘性模型 模型 在进一步简化的模型中 人们干脆放弃了给雷诺应力或建立方程的企图 而将它们直接用推广的Boussnesq的涡粘性模型来表示 3 30 3 31 其中涡粘性系数与涡传热系数要用 和 来表示 根据量纲分析