2012届高三数学函数的奇偶性与周期性.ppt

2 4函数的奇偶性与周期性 考点探究 挑战高考 考向瞭望 把脉高考 2 4函数的奇偶性与周期性 双基研习 面对高考 双基研习 面对高考 1 函数的奇偶性 原点 y轴 f x f x f x f x 思考感悟奇偶函数的定义域有何特点 它是函数具有奇偶性的什么条件 提示 由于定义中对任意一个x都有f x f x 或f x f x 说明定义域中任意一个x都有一个关于原点对称的 x在定义域中 即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称 它是函数具有奇偶性的必要条件 2 函数的奇偶性与单调性的关系奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 3 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在非零常数T 对定义域内的任意一个x值 都有f x T 我们就把f x 称为周期函数 T称为这个函数的周期 相反 f x 相同 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中 正数 那么这个最小正数就叫作f x 的最小正周期 存在一个最小 答案 D 答案 B 3 设函数f x 是定义在R上的奇函数 且f 3 2 则f 3 f 0 A 3B 3C 2D 7解析 选C 由题意得f 3 f 0 f 3 f 0 2 0 2 故选C 4 2011年淮北月考 若f x 2x 2 xlga是奇函数 则实数a 5 教材改编题 二次函数f x ax2 bx c为偶函数的充要条件是 答案 b 0 考点探究 挑战高考 1 判断函数的奇偶性 应该首先分析函数的定义域 在分析时 不要把函数化简 而要根据原来的结构去求解定义域 如果定义域不关于原点对称 则一定是非奇非偶函数 2 若定义域关于原点对称 则可用下述方法进行判断 1 定义判断 f x f x f x 为偶函数 f x f x f x 为奇函数 2 等价形式判断 f x f x 0 f x 为偶函数 f x f x 0 f x 为奇函数 思路点拨 判断函数的奇偶性 首先要检验其定义域是否关于原点对称 若关于原点对称 再严格按照奇偶性的定义或其等价形式进行推理判断 且f x f x f x 0 f x 既是奇函数又是偶函数 4 函数定义域为 0 0 当x0 则f x x 2 x x2 x f x 当x 0时 x 0 则f x x 2 x x2 x x2 x f x 对任意x 0 0 都有f x f x 故f x 为奇函数 失误点评 本例 4 要对定义域内的自变量分两种情况考察 如果只有x 0或x 0就说f x f x 从而判断它是奇函数是错误的 不完整的 思路点拨 1 由奇函数在原点处有定义 则f 0 0可求得b的值后再由对称性可求得f x 的解析式 2 根据f x f x 列出关于a的方程求解 解 1 f x 为定义在R上的奇函数 f 0 0 20 0 b 0 解得b 1 当x 0时 f x 2x 2x 1 当x 0时 x 0 f x f x 2 x 2x 1 2 x 2x 1 规律小结 1 利用奇偶性求解析式的一般方法是 求谁设谁 即在哪个区间求解析式 x就设在哪个区间内 要利用已知区间的解析式进行代入 利用f x 的奇偶性写出 f x 或f x 从而解出f x 2 利用奇偶性求参数值一般利用f x f x 或 f x 列出方程求解 变式训练设定义在 2 2 上的奇函数f x 在区间 0 2 上单调递减 若f m f m 1 0 求实数m的取值范围 对函数周期性的考查 主要涉及判断函数的周期 利用周期性求函数值 以及解决与周期有关的函数综合问题 充分利用题目提供的信息 迁移到有定义的范围上进行求值是解答此类问题的关键 设f x 是定义在R上的奇函数 且对任意实数x 恒有f x 2 f x 当x 0 2 时 f x 2x x2 1 求证 f x 是周期函数 2 当x 2 4 时 求f x 的解析式 3 计算f 0 f 1 f 2 f 2011 解 1 证明 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 是周期为4的周期函数 2 当x 2 0 时 x 0 2 由已知得f x 2 x x 2 2x x2 又f x 是奇函数 f x f x 2x x2 f x x2 2x 又当x 2 4 时 x 4 2 0 f x 4 x 4 2 2 x 4 又f x 是周期为4的周期函数 f x f x 4 x 4 2 2 x 4 x2 6x 8 从而求得x 2 4 时 f x x2 6x 8 3 f 0 0 f 2 0 f 1 1 f 3 1 又f x 是周期为4的周期函数 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 2008 f 2009 f 2010 f 2011 0 f 0 f 1 f 2 f 2011 0 规律小结 关于函数周期性常用的结论 1 定义在R上的函数f x 若有两条对称轴x a x b 则f x 是周期函数且2 a b 是它的一个周期 若有两个对称中心 a 0 b 0 则f x 是周期函数且2 a b 是它的一个周期 若有一个对称中心 a 0 和一条对称轴x b 则f x 是周期函数且4 a b 是它的一个周期 方法技巧1 正确理解奇函数和偶函数的定义 必须把握好两个问题 1 定义域在数轴上关于原点对称是函数f x 为奇函数或偶函数的必要非充分条件 如例1 5 2 f x f x 或f x f x 是定义域上的恒等式 如例2 2 2 奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据 为了便于判断函数的奇偶性 有时需要 3 奇函数的图像关于原点对称 偶函数的图像关于y轴对称 反之也真 利用这一性质可简化一些函数图像的画法 也可以利用它去判断函数的奇偶性 如课前热身1 4 如果奇偶性是讲函数图像的对称 那么函数的周期性就是讨论函数图像的平移 而函数图像的对称与函数的周期性也是密不可分的 比如 若函数f x 的图像关于直线x a x b a b 对称 则f x 为周期函数 其周期为T 2 b a 等 如例3 失误防范1 判断函数的奇偶性 首先应该判断函数定义域是否关于原点对称 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件 2 判断函数f x 是奇函数 必须对定义域内的每一个x 均有f x f x 而不能说存在x0使f x0 f x0 对于偶函数的判断以此类推 考向瞭望 把脉高考 函数的奇偶性 周期性是每年高考必考的内容之一 主要涉及函数奇偶性的判断 利用函数奇偶性 周期性求函数值 利用奇偶性求参数值以及求三角函数的周期等 多以选择题和填空题形式出现 与函数概念 图像 性质综合在一起考查 难度一般不大 预测2012年高考仍将以三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性与周期性为主要考点 重点考查逻辑推理与理解能力 2010年高考安徽卷 若f x 是R上周期为5的奇函数 且满足f 1 1 f 2 2 则f 3 f 4 A 1B 1C 2D 2 解析 由于函数f x 的周期为5 f 3 f 4 f 2 f 1 又f x 为R上的奇函数 f 2 f 1 f 2 f 1 2 1 1 答案 A 名师点评 1 本题易出现如下错误 不知道如何把求f 3 f 4 的值转化到求f 1 f 2 的值 这类综合应用函数性质的问题 常常由于问题涉及的知识点与面比较广 容易出现无从下手的现象 特别是抽象函数问题 这就需要考生对所学知识要烂熟于心 对所学方法会灵活运用 2 函数的奇偶性是函数的整体性质 是研究函数在其定义域上的互为相反数x和 x的函数关系式 在判断函数奇偶性的过程中 应注意以下几个方面 函数定义域影响奇偶性 若首先求得定义域不关于原点对称 则该函数为非奇非偶函数 理解函数奇偶性表达式的变形情况 如 f x f x 与 f x f x 0 等价 函数y f x 1为奇函数 等价于 f x 1 f x 1 0 熟记奇偶性的常用运算性质 如奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇等 可以快速