概率论第三章(课件1).ppt

第3章多维随机向量及其分布 能不能将上述r v 单独分别进行研究 由于同一对象的不同指标之间往往是有一定联系的 所以应该把它们作为一个整体来看待 多维随机变量的实际背景 在实际应用中 考察对象的指标往往不止一个 例 人的身高与体重 某地区的气温 气压与湿度 导弹落点的横向偏差与纵向偏差 分析 一个试验产生的二维r v 可视为向二维平面 投掷 一个 随机点 二维随机变量的概念 设为样本空间 记 是定义在上的两个r v 注 几何意义 定义 表示落入阴影部分的概率 直观上可以看为面积 1 联合分布函数 x x2 y2 x2 y2 y x1 y1 y1 x1 3 二维离散型随机向量 1 定义 如果二维随机向量 X Y 的全部取值 数对 为有限个或至多可列个 则称随机向量 X Y 为离散型的 易见 二维随机向量 X Y 为离散型的等价于它的每个分量X与Y分别都是一维离散型的 X x1x2 xi y1y2 yj p11p12 p1j p21p22 p2j pi1pi2 pij Y pij 1 P X Y D 联合概率分布性质 pij 0 i j 1 2 称pij P X xi Y yj i j 1 2 为 X Y 的概率分布 其中E xi yj i j 1 2 为 X Y 的取值集合 表格形式如下 2 联合概率分布及其性质 例3 1 1 将一枚均匀的硬币抛掷4次 X表示正面向上的次数 Y表示反面朝上次数 求 X Y 的联合概率分布 解 X的所有可能取值为0 1 2 3 4 Y的所有可能取值为0 1 2 3 4 因为X Y 4 所以 X Y 概率非零的数值对为 P X 0 Y 4 P X 2 Y 2 1 4 6 16 P X 3 Y 1 1 4 P X 4 Y 0 0 54 1 16 X01234 Y01234 联合概率分布表为 00001 160001 40006 160001 40001 160000 P X 1 Y 3 0 54 1 16 二维离散型随机变量联合概率分布确定方法 1 找出随机变量X和Y的所有取值结果 得到 X Y 的所有取值数对 2 利用古典概型或概率的性质计算每个数值对的概率 3 列出联合概率分布表 例3 1 3二维随机变量 X Y 的联合概率分布为 求 1 常数a的取值 2 P X 0 Y 1 3 P X 1 Y 1 解 1 由 pij 1得 a 0 1 2 由P X Y D 得P X 0 Y 1 P X 0 Y 0 P X 0 Y 1 P X 1 Y 0 P X 1 Y 1 0 1 0 2 0 1 0 2 0 6 3 P X 1 Y 1 P X 1 Y 0 P X 1 Y 1 P X 0 Y 0 P X 0 Y 1 P X 1 Y 0 P X 1 Y 1 0 75 结合下页概率分布图 X Y 二维联合概率分布区域图 1 0 1 2 1 P X 0 Y 1 P X 1 Y 1 4 二维连续型随机变量 1 f x y 0 x y R2 或 2 性质 注意 满足上述性质 1 2 的二元函数为某随机向量的联合概率密度 例3 1 4 若 X Y 试求 1 常数A 2 P X 2 Y 1 3 P X x Y y 解 1 所以 A 6 A 6 1 4 P X Y D 其中D为2x 3y 6 所以 P X 2 Y 1 2 1 x 2 y 1 3 x y 所以 当x 0 y 0时 即