随机变量的数字特征之方差概率论.ppt

2020 3 26 1 上节介绍了随机变量的数学期望 它反映了随机变量取值的平均水平 是随机变量的一个重要的数字特征 复习 五条性质 2020 3 26 2 2方差 上节的例1甲班有30名学生 他们的数学考试成绩 按五级记分 如右表所示 乙班 则该班的平均成绩也是 你认为两个班的成绩一样吗 为此需要引进另一个数字特征 用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度 这个数字特征就是我们要介绍的 数学期望体现的是随机变量取值的平均水平 是随机变量的一个重要数字特征 则该班的平均成绩 2020 3 26 3 2 方差 Variance或Dispersion 定义 设X是一随机变量 则称E X E X 2称为X的方差 记作D X 即 方差的算术平方根 称为X的标准差 记作 即 若E X E X 2存在 2020 3 26 4 注 2 方差D X 用来体现随机变量X取值分散的程度 反映了X偏离其数学期望E X 的程度 3 如果D X 值越大 小 表示X取值越分散 集中 以E X 作为随机变量X的代表性越差 好 0 1 由定义知 D X E X E X 2 2020 3 26 5 3 方差的计算 1 利用随机变量函数的数学期望公式 离散随机变量的方差 连续随机变量的方差 2020 3 26 6 解 求 例1 设随机变量X的分布列为 0 8 2020 3 26 7 2 利用方差公式 且E X2 也存在 则 证明 定理 设随机变量X的数学期望E X 存在 2020 3 26 8 求 例1 续 设随机变量X的分布列为 2020 3 26 9 解 例2 若X B n p 求方差D X 已求得 E X 其中X B n 1 p 2020 3 26 10 解 例3 若 求D X 已求得 E X 其中X P lambda 2020 3 26 11 已求得 例4 若X U a b 求D X 解 2020 3 26 12 解 例5 若 求D X 已求得 E X 其中X e 1 2020 3 26 13 指数分布 r为整数n时 n n 1 2020 3 26 14 U a b e P B n p 0 1 ppqnpnpq 常用随机变量的期望与方差 分布 分布列或密度函数 期望 方差 2020 3 26 15 二 方差的性质 证 证 2020 3 26 16 证 2020 3 26 17 例 已知随机变量X的数学期望E X 与 设随机变量 试证 证 标准化的随机变量 都存在 且 2020 3 26 18 求 解 例 设X1 X2相互独立 由X1 X2相互独立 有 2020 3 26 19 2020 3 26 20 基本内容 一 原点矩与中心矩一 协方差与相关系数 第三节原点矩与中心矩第四节协方差与相关系数 2020 3 26 21 一 原点矩与中心矩 1 k阶原点矩 2 k阶中心矩 特别地 k 1 E X 为数学期望 k 2 E X E X 2为方差 k 2 E X2 为2阶原点矩 其计算公式 特别地 k 1 E X E X 0 2020 3 26 22 1 协方差 定义 随机变量X与Y的函数 X E X Y E Y 的数学期望存在 则称其为X与Y的协方差 cov X Y 即 记作 二 协方差和相关系数 反映两个变量X和Y相关性的数字特征 2020 3 26 23 协方差的简便计算方法 2020 3 26 24 若X与Y相互独立 则X与Y一定不相关 分析 由于X与Y相互独立 则协方差cov X Y 0 证明 由X与Y相互独立 有 两个随机变量独立与不相关的关系 不一定成立 所以X与Y不相关 反之 X与Y不相关cov X Y 0 2020 3 26 25 定义 设随机变量X与Y的数学期望和方差都存在 为X与Y的相关系数 注 相关系数R X Y 仅表示X与Y之间的线性关系 则称 记作 2 相关系数 2020 3 26 26 基本内容 一 切比雪夫不等式二 大数定律 第五节切比雪夫不等式与大数定律 2020 3 26 27 对于任意的正数 设X的数学期望E X 与方差D X 存在 有 或 切比雪夫不等式 2020 3 26 28 证 仅选择连续随机变量的情形来证明 设随机变量X的密度函数为f x 则有 2020 3 26 29 注 1 切比雪夫不等式的用途 它给出了在X的分布未知的情况下 估计概率 的方法 2 说明了方差D X 的确刻画了X对E X 偏离程度 由 可知 D X 越小 即X偏离E X 程度越小 越大 表明X取值越集中在E X 的附近 3 它是大数定律的理论基础 2020 3 26 30 例 已知正常男性成人的每毫升血液中白细胞 数平均在7300 标准差是700 利用切比雪夫不等式 估计每毫升血液中白细胞数在5200 9400之间的 概率 P94 19题 解 设随机变量 设X表示每毫升血液中白细胞数 依题意得 2020 3 26 31 由切比雪夫不等式 2020 3 26 32 则对于任意的正数 1 切比雪夫定理 定理 设独立随机变量序列X1 X2 Xn 的数学期望 E X1 E X2 E Xn D X1 D X2 D Xn 都存在 与方差 并且方差是 一致有上界的 即存在常数C 使得 D Xi C i 1 2 n 有 2020 3 26 33 方差都存在 切比雪夫定理解释 若独立序列X1 X2 Xn 的数学期望和 并且方差是一致有上界的 则 n充分大时 算术平均 紧密地集中在 其数学期望 的附近 2020 3 26 34 2 伯努利定理 定理 在独立试验序列中 设事件 的概率 P A p 则对于任意的正数 有 伯努利定理解释 当试验独立重复进行多次时 随机事件A的 频率fn A 将稳定在事件A的概率的附近 2020 3 26 35 1 理解方差的定义 2 熟悉方差的性质 内容小结 2020 3 26 36 5 若E X 与D X 存在 对于任意的正数 4 对于任意实数C R 有 E X C 2 D X 当且仅当C E X 时 E X C 2取得最小值D X 有 2020 3 26 37 3 熟悉一些常见