高等数学-李心灿-第二章极限与连续.ppt

一 数列的概念二 数列的极限 第一节数列的极限 一 数列的概念 定义2 1按一定顺序排列起来的无穷多个数 称为数列 简记为 数列中的每个数称为数列的项 第n项称为数列通项或一般项 中的n称为数列的下标 例1数列 例2 例3数列 例4数列 数列可以理解为正整数n的函数 因此 又可以称数列为整标函数 其定义域是正整数集 单调增加的 单调增加或单调减少的数列统称为单调数列 定义2 2对于数列 若存在正数M 使得对于一切的n都有 成立 则称数列是有界的 否则称是无界的 容易验证例1 例2 例3数列是有界的 的和例4中数列是无界的 在几何上 通常用数轴上的点列来表示数列 这种表示法可以显示数列的某些性态 如单调增加的数列是自左向右依次排列的点列 表示有界数列的点列全部落在某一区间 M M 之内 表示无界数列的点列 无论区间 M M 多么长 总有落在该区间之外的点 二 数列的极限 我国古代著名的 一尺之棰 日取其半 万世不竭 的论断 就是数列极限思想的体现 数列的变化趋势 也可以通过平面直角坐标系上的图形来直观表示 例如 对于来说 当n越来越大时 没有确定的变化趋势 当n 充分大 时 无限接近于1 的图形 当n 充分大时 无限接近于0 定义2 3设有数列和常数a 如果对于任意给定的正数 不论它多么小 总存在正整数N 使得当n N时 有那么就称数列以a为极限 或者称数列收敛于a 记作或如果这样的常数a不存在 就说数列没有极限 可表示为或者说数列是发散的 数列收敛于a的几何意义如下 当我们把看成是数轴上的点列时 数列收敛于a 就是对点a的任何一个邻域 都存在一个序号N 使得点列的第N个点以后的所有点都在这个邻域之内 即点列中最多除去前N个点外 都聚集在点a的这个邻域之内 或者说至多有N个点落在区间之外 当我们把数列看成是n的整标函数 即其图形是在平面直角坐标系中的二维点列 数列收敛于a 就是对于任意给定的正数 无论其多么小 总存在正整数N 当n N时 二维点都在直线与直线形成的带状域之内 一般来说 越小 带宽小 N越大 例5用定义验证 证对于任意给定的 0 欲使 只需 因此取正整数 则当n N时 都有 从而知 当时 以0为极限 即 证当q 0时 等式显然成立 当0 q 1时 对任意给定的正数 不妨设 1 例6 证对于任意给定的正数 不妨设0 1 由于 例7 定理2 1 收敛数列的有界性 收敛数列必有界 即如果 证设数列收敛 并且以a为极限 根据数列极限的定义 对于 存在着正整数N 使得当n N时 都有 则存在M 0 使得对于一切n 都有 取 则对于一切n 都有 由定理2 1知 无界数列一定是发散的 注意 数列有界是数列收敛的必要条件 但不是充分条件 例如 数列是有界的 而却是发散数列 第二节函数的极限 一 自变量趋于无穷大时函数的极限二 自变量趋向有限值时函数的极限三 函数极限的性质 一 自变量趋于无穷大时函数的极限 有下面三种方式 表示x无限地增大时 沿x轴的正向无限远离坐标原点 对照数列极限的定义 给出下面的定义 表示x无限地减少时 沿x轴的负向无限远离坐标原点 表示x的绝对值无限地增大 即x既沿着x轴的正象 又沿x轴的负向 无限远离坐标原点 定义2 4设函数f x 在上有定义 A为一个常数 如果对于任意给定的正数 总存在正数X b 使得当 x X时 都有 成立 上述的定义的几何意义是 对无论多么小的正数总能找到正数 当x满足条件x X或x X时 曲线y f x 介于两条水平直线之间 从及其几何意义可以看出 是任意给定的 X是随 的给定而给定的 在的定义中 将 x X 换成x X可以得到的定义 若将 x X换成x X就可以得到的定义 水平渐近线 例1 证 例2用定义验证 c为常数 证对于任意给定的正数 欲使 可取任一正数X 当时 便有 从而 例3 证 二 自变量趋向有限值时函数的极限 表示x从x0的右侧无限趋近于x0 表示x从x0的左侧无限趋近于x0 表示x从x0的左 右侧无限趋近于x0 由前面两个例题可知 当时 f x 以A为极限与f x 在处有无定义无关 但当时 f x 可以无限地接近于A 也就是说 只要x充分接近 f x A 可以小于任意给定的正数 而x充分接近可以用 存在正数 描述 下面给出当时 f x 以A为极限的精确定义 定义2 5设函数f x 在x0的某去心邻域内有定义 A为一个常数 如果对于任意给定的正数 无论它多么小 总存在正数 使得当时 有 则称函数f x 当时以A为极限 记作 或 如果这样的常数不存在 则称函数f x 当时极限不存在 可表示为不存在或称函数f x 当时是发散的 注意 定义中不等式的 0 表示不要求不等式在点成立 这表明时与f x 在点的状况 有 无定义 或有定义时 是否等于A 是无关的 几何意义 对于任意给定的正数 无论其多么小 总存在点的一个去心邻域 使得函数y f x 在这个去心邻域内的图形介于两条平行直线之间 例4 证 例5用定义验证 证由例4知 当c 0时显然成立 以下设c 0 对任意给定的 只需 因此 取 在的定义中 x可以以任意方式趋向于 有时 为了讨论问题的需要 可以只考虑x从的某一侧 从小于的一侧或从大于的一侧 趋向于时f x 的变化趋势 这就引出了左极限和右极限的概念 在上面的定义中将函数f x 改为在的左侧附近有定义 即在内有定义 即将改为就得到了f x 在处的左极限为A的定义 相应地记作 左极限和右极限统称为单侧极限 根据时函数f x 的极限定义 左极限和右极限的定义 可以得到下面的结论 定理2 2又提供了讨论分段函数在分段点x0处是否存在极限的方法 定理2 2 函数f x 在点x 1处的左 右极限都存在 但不相等 由定理2 2可知极限不存在 例6设 当当 研究当时 函数f x 的极限是否存在 解当时 有 当x 1时 有 定理2 1 唯一性 若 或 存在 则其极限唯一 三 函数极限的性质 定理2 2 局部有界性 若 或 则存在正数 或正数X 当 或 时 f x 有界 定理2 3 局部保号性 若 或 则存在正数 或正数X 当 或 时 f x 恒不为零且与A有相同的符号 推论当 或 时 若f x 0 且 或 则A 0 若f x 0 则相应地有A 0 以上三条性质对数列极限也成立 第三节极限的运算 一 极限的四则运算二 基本初等函数的极限三 复合函数的极限运算法则 定理2 8设则 一 极限的四则运算 下面的定理 仅就函数极限的情形给出 所得的结论对数列极限也成立 其中自变量x的变化过程也可以是的各种情形 证 定理2 8中的 1 和 2 可以推广到有限个函数的代数和及乘积的极限情况 结论 2 还有如下常用的推论 推论1设limf x 存在 则对于常数c 有 推论2设limf x 存在 则对于正整数k 有 例1 解 例2求 解 例3求 解 例4 解把分式的分子 分母同时除以x2 得 其中k l为正整数 例5求 解把分式的分子 分母同时除以x4 得 一般地 设有多项式 有理整函数 则有 设有理分式函数 有理整函数与有理分式函数统称为有理函数 即 式 3 与式 4 说明对于有理函数求关于的极限时 如果有理函数在点有定义 其极限值就是在点处的函数值 以后可以当做公式使用 例6求极限 解 例7 解 例8 解 例9 解 例10 解 其中m n为正整数 二 基本初等函数 定理2 4设f x 是基本初等函数 并设其定义域为I 点 则有 三 复合函数的极限运算法则 定理2 5 复合函数的极限运算法则 设y f g x 是由函数f u 与函数u g x 复合而成的 f g x 在点x0的某去心邻域内有定义 若 且当时 则 定理2 6 极限记号与函数记号交换次序定理 设y f g x 是由函数f u 与函数u g x 复合而成的 f g x 在点x0的某去心邻域内有定义 若 则 其中一头一尾两式成为 这以为着极限记号与函数记号f可以交换次序 例11求 解 例12求 解 第四节极限存在准则及两个重要极限 一 极限存在准则二 两个重要极限 一 极限存在准则 准则I 夹逼准则 如果函数f x g x h x 在去心邻域内 或时 满足条件 则 存在 1 0 当时 有 即 由 对任意给定的 0 存在 2 0 当时 有 即 取 当 5 式与 6 式同时成立 又由条件 i 可得 即得 亦即 所以 类似地 关于的夹逼准则 如果数列满足条件 则 准则2 单调有界准则 单调有界数列必有极限 下面给出几何解释 在数轴上 对应于单调数列的点列只能从开始向一个方向排列 所以只有两种可能情况 或者点列沿数轴移向无穷远处 此时发散 或者点列无限趋近于某一个定点a 常数 也就是以a为极限 现已假定数列是有界的 因此结果只能是后者 二 两个重要极限 重要极限 则sinx BD tanx AC 两端除以sinx 有 即 另一方面 由于是偶函数 于是有 例1 解 例2 解 例3 解 例4证明圆的周长公式l 2 r 解设圆的中心为O 半径为r 圆内接正n边形的周长 圆周长l为 当时 于是令 就得到 重要极限 或 例5 解令 则当时 于是有 例6 解 例7设有本金1000元 若用连续复利计算 年利率为8 问5年末可得本利和为多少 解设复利一年计算一次 则一年未本利和为 若复利三个月为一期计算 则x年末本利和为 同理 若复利一年计算n次 则x年末本利和为 现设想n无限增大 以致复利接连不断地计算 则n当时 称之为连续复利 其极限为 第五节无穷小与无穷大 一 无穷小及其性质二 无穷小的比较三 无穷大四 无穷小与无穷大的关系 定义2 7若则称函数f x 在 或 时为无穷小 一 无穷小的性质 注意 1 要指明自变量的变化过程 如 2 在这个过程中 函数f x 以0为极限 应该注意无穷小量是在某一过程中 以零为极限的变量 而不是绝对值很小的数 0是可以作为无穷小量的唯一的一个数 定理2 7 函数有极限 可以通过无穷小来表述 的充分必要条件是 则有 常称这个定理为极限基本定理 它有相当广泛的应用 充分性 则有 设 即 x 在时为无穷小 从而有 无穷小有下列的性质 定理2 4有限个无穷小的代数和为无穷小 定理2 7有界函数与无穷小之积为无穷小 定理2 6常量与无穷小之积为无穷小 定理2 5有限个无穷小之积为无穷小 例1 证 注意 这个极限不能用极限的四则运算法则求得 因为不存在 当时 是无穷小 即 二 无穷小的比较 两个无穷小的和 差 积都是无穷小 那么 两个无穷小的商是否仍是无穷小呢 请看下面的例子 这些情形表明 同为无穷小 但它们趋于0的速度有快有慢 为了比较不同的无穷小趋于0的速度 我们引入无穷小量阶的概念 当时 都是无穷小 可是 定义2 8设 时 为无穷小 且 0 2 如果 则称 或 时 与 是等价无穷小 记作 3 如果 则称 或 时 是比 高阶的无穷小 记作 例2 例3 如果是比高阶的无穷小 也可以称是比低阶的无穷小 定理2 8设当时均是无穷小 且存在 则有 关于等价无穷小在求极限中的应用 有如下定理 证由假设 有 根据此定理 在求两个无穷小之比的极限时 若此极限不好求 可用分子 分母各自的等价无穷小来代替 如果选择适当 可简化运算 用定理2 8求极限 需要预先知道一些等价无穷小 例如常用的有下列 例4 解 例5 解 例6 解 注意 相乘 除 的无穷小都可用各自的等价无穷小代换 但是相加 减 的无穷小的项不能作等价代换 例如 定义2 9若时 必能大于任意给定的正数M 则称函数f x 在时为无穷大 记作 三 无穷大 无穷大是与无穷小相对的概念 注意 函数f x 当时为无穷大 则极限是不存在的 利用记号 记f x 是无穷大 只是为了书写的方便 同时也表明了当时f x 虽然无极限 但还是有明确趋向的 无穷大量是一个绝对值可无限增大的变量 不是绝对值很大很大的固定数 如果将定义中的 f x M改成f x M 或f x 则为f x 在时为正无穷大 或负无穷大 的定义 并且记为 类似地 也可以给出f x 在x的其他趋向下为无穷大量的定义 例如 定理2 9 四 无穷小与无穷大的关系 简言之无穷小与无穷大的关系为 在自变量的同一趋向下 无穷大的倒数是无穷小 无穷小 不等于0 的倒数是无穷大 最简单的例子为 以后 遇到类似例7的题目 可直接写出结果 例7 解 第六节函数的连续性 一 连续函数的概念二 函数的间断点及其分类 定义2 10设变量u从它的一个值u1变到另一个值u2 其差称做变量u的增量或改变量 记作 即 增量可以是正的 也可以是负的 当为正时 变量u从u1变到是增大的 当为负时 变量u从u1变到是减少的 一 连续函数的概念 例1设正方形的边长为x 当x取得增量时 问面积y相应的增量是多少 当x由2m变为2 05m时 面积改变了多少 当x由2m变到1 95m时 面积改变了多少 解 定义2 11设函数y f x 在点x0的某邻域内有定义 如果当自变量的增量趋向于零时 相应的函数增量也趋于零 即 则称函数y f x 在点x0处连续 定义2 12 设函数y f x 在点x0的某邻域内有定义 如果 则称函数y f x 在点x0处连续 并称x0为y f x 的连续点 注意 定理2 10函数f x 在点x0处连续的充分必要条件是f x 在点x0处既左连续又右连续 如果函数f x 在开区间 a b 内的每一点都连续 则称函数f x 在开区间 a b 内连续 若函数f x 在 a b 内连续 并且在左端点a处右连续 右端点b处左连续 则称函数f x 在闭区间 a b 上连续 函数在区间I上连续 称它是I上的连续函数 可以证明 基本初等函数在其定义域内为连续函数 函数f x 在点x0处连续的几何意义是 f x 的图形在点 x0 f x0 处是连结在一起的 没有断隙 函数f x 在区间I上连续 其图形是一条连接不断的曲线 例2 解 由定理2 10知f x 在x 0点连续 二 函数的间断点及其分类 因此 如果函数f x 在x0的某去心邻域内有定义 但至少满足下列情形之一 则f x 在x0不连续 这时点x0称为函数f x 的不连续点或间断点 但是极限不存在 所以x 0是函数f x 的间断点 例3 例4函数在x 1处无定义 因此x 1是该函数的间断点 在x 0是否为函数f x 的间断点 例5 解 即x 0是函数f x 的间断点 在点x 0处的连续性 故x 0是函数f x 的间断点 例6 解 例7正切函数y tanx在点处无定义 所以点是函数tanx的间断点 根据函数f x 在间断点处单侧极限的情况 常将间断点分为两类 1 若x0是f x 的间断点 并且f x 在点x0处的左极限 右极限都存在 则称x0是f x 的第一类间断点 2 若x0是f x 的间断点 但不是第一类间断点 则称x0是f x 的第二类间断点 在第一类间断点中 如果左极限与右极限相等 即存在 则称此间断点为可去间断点 如例4中x 1为y的可去间断点 例5中x 0为f x 的可去间断点 这是因为如果x0为f x 的可去间断点 我们可以补充定义f x0 或者修改f x0 的值 由f x 构造出一个在x0处连续的函数 如 例4中y在x 1处没有定义 若定义 则在x 1处y1为连续函数 在第一类间断点中 如果左极限与右极限不相等 此间断点x0可称为f x 的跳跃间断点 如例6中x 0为f x 的跳跃间断点 在第二类间断点中 如果当时 可称x0为f x 的无穷间断点 如例7中为tanx的无穷间断点 如果当时 f x 的极限不存在 呈无限振荡情形 则称x0为f x 的振荡间断点 如例3中x 0为f x 的振荡间断点 第七节连续函数的性质 定理2 11若函数f x 和函数g x 都在x0连续 则 在点x0也连续 定理2 12若函数u g x 都在x0连续 y f u 在点u0 g x0 连续 则f g x 在点x0连