等差数列教案

1 / 32等差数列教案本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 教学设计2等差数列整体设计教学分析 本节课将探究一类特殊的数列等差数列本节课安排 2 课时，第 1 课时是在生活中具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算第 2 课时主要是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式，并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数 n 的一次型函数，使学生学会用图象与通项公式的关系解决某些问题在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究在问题探索过程中，先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳方法进行试探，提出猜想，最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想其中例 1 是巩固定义，例 2 到例 5 是等差数列通项公式的灵活运用在教学过程中，应遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激2 / 32发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化数列在整个中学数学内容中处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，而学习数列又为后面学习数列与函数的极限等内容作了铺垫教材采取将代数、几何打通的混编体系的主要目的是强化数学知识的内在联系，而数列正是在将各知识沟通方面发挥了重要作用因此本节内容是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材三维目标 1通过实例理解等差数列的概念，通过生活中的实例抽象出等差数列模型，让学生认识到这一类数列是现实世界中大量存在的数列模型同时经历由发现几个具体数列的等差关系，归纳出等差数列的定义的过程2探索并掌握等差数列的通项公式，由等差数列的概念，通过归纳或迭加或迭代的方式探索等差数列的通项公式通过与一次函数的图象类比，探索等差数列的通项公式的图象特征与一次函数之间的联系3通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般3 / 32数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣重点难点 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差中项及性质，会用公式解决一些简单的问题教学难点：概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式，并会解决一些相关的问题课时安排 2 课时教学过程第 1 课时导入新课 思路 1.(直接导入)教师引导学生先复习上节课学过的数列的概念以及通项公式，可有意识地在黑板上(或课件中)出示几个数列，如：数列 1,2,3，数列 0,0,0，数列 0,2,4,6，等，然后直接引导学生阅读教材中的实例，不知不觉中就已经进入了新课思路 2.(类比导入)教师首先引导学生复习上节课所学的数列的概念及通项公式，使学生明了我们现在要研究的就是一列数由此我们联想：在初中我们学习了实数，研究了它的一些运算与性质，那么我们能不能也像研究实数一4 / 32样，来研究它的项与项之间的关系、运算和性质呢？由此导入新课推进新课 新知探究提出问题回忆数列的概念，数列都有哪几种表示方法？阅读教科书本节内容中的3 个背景实例，熟悉生活中常见现象，写出由 3 个实例所得到的数列.观察数列，它们有什么共同特点？根据数列的特征，每人能再举出 2 个与其特征相同的数列吗？什么是等差数列？怎样理解等差数列？其中的关键字词是什么？数列存在通项公式吗？如果存在，分别是什么？等差数列的通项公式是什么？怎样推导？活动：教师引导学生回忆上节课所学的数列及其简单表示法列表法、通项公式、递推公式、图象法，这些方5 / 32法从不同角度反映了数列的特点然后引导学生阅读教材中的实例模型，指导学生写出这 3 个模型的数列：22,23,24,，；2,9,16,23,30；89,83,77,71,65,59,53,47.这是由日常生活中经常遇到的实际问题中得到的数列观察这 3 个数列发现，每个数列中相邻的后项减前项都等于同一个常数当然这里我们是拿后项减前项，其实前项减后项也是一个常数，为了后面内容的学习方便，这个顺序不能颠倒至此学生会认识到，具备这个特征的数列模型在生活中有很多，如上节提到的堆放钢管的数列为100,99,98,97，某体育场一角的看台的座位排列：第一排 15 个座位，向后依次为 17,19,21,23，等等以上这些数列的共同特征是：从第 2 项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)这就是我们这节课要研究的主要内容教师先让学生试着用自己的语言描述其特征，然后给出等差数列的定义等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示6 / 32教师引导学生理解这个定义：这里公差 d 一定是由后项减前项所得，若前项减后项则为d，这就是为什么前面 3个模型的分析中总是说后项减前项而不说前项减后项的原因显然 3 个模型数列都是等差数列，公差依次为,7，6.教师进一步引导学生分析等差数列定义中的关键字是什么？(学生在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确、深入地理解和掌握概念的重要条件，这是学好数学及其他学科的重要一环因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力)这里“从第二项起”和“同一个常数”是等差数列定义中的核心部分用递推公式可以这样描述等差数列的定义：对于数列an，若 anan1d(d 是与 n 无关的常数或字母)，n2，nN*，则此数列是等差数列这是证明一个数列是等差数列的常用方法点拨学生注意这里的“n2” ，若 n 包括 1，则数列是从第 1 项向前减，显然无从减起若n 从 3 开始，则会漏掉 a2a1 的差，这也不符合定义，如数列 1,3,4,5,6，显然不是等差数列，因此要从意义上深刻理解等差数列的定义教师进一步引导学生探究数列的通项公式，学生根据已经学过的数列通项公式的定义，观察每一数列的项与序号之间的关系会很快写出：7 / 32an，an7n5，an6n95.以上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性教师点拨学生探求，对任意等差数列 a1，a2，a3，an，根据等差数列的定义都有：a2a1d，a3a2d，a4a3d，所以 a2a1d，a3a2d(a1d)da12d，a4a3d(a12d)da13d.学生很容易猜想出等差数列的通项公式 ana1(n1)d后，教师适时点明：我们归纳出的公式只是一个猜想，严格的证明需要用到后面的其他知识教师可就此进一步点拨学生：数学猜想在数学领域中是很重要的思考方法，后面还要专门探究它数学中有很多著名的猜想，如哥德巴赫猜想常被称为数学皇冠上的明珠，对于它的证明中国已处于世界领先地位很多著名的数学结论都是从猜想开始的但要注意，数学猜想仅是一种数学想象，在未得到严格的证明前不能当作正确的结论来用这里我们归纳猜想的等差数列的通项公式8 / 32ana1(n1)d 是经过严格证明了的，只是现在我们知识受限，无法证明，所以说我们先承认它鼓励学生只要创新探究，独立思考，也会有自己的新奇发现教师根据教学实际情况，也可引导学生得出等差数列通项公式的其他推导方法例如：方法一(叠加法)：an是等差数列，anan1d，an1an2d，an2an3d，a2a1d.两边分别相加得 ana1(n1)d，所以 ana1(n1)d，方法二(迭代法)：an是等差数列，则有anan1d，an2ddan22dan3d2dan33da1(n1)d.所以 ana1(n1)d.9 / 32讨论结果：(1)(4)略(5)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列其中关键词为“从第 2 项起” 、 “等于同一个常数” (6)三个数列都有通项公式，它们分别是：an，an7n5，an6n95.(7)可用叠加法和迭代法推导等差数列的通项公式：ana1(n1)d.应用示例例 1(教材本节例 2)活动：本例的目的是让学生熟悉公式，使学生从中体会公式与方程之间的联系教学时要使学生认识到等差数列的通项公式其实就是一个关于 an、a1、d、n(独立的量有 3个)的方程，以便于学生能把方程思想和通项公式相结合，解决等差数列问题本例中的(2)是判断一个数是否是某等差数列的项这个问题可以看作(1)的逆问题需要向学生说明的是，求出的项数为正整数，所给数就是已知数列中的项，否则，就不是已知数列中的项本例可由学生自己独立解决，也可做板演之用，教师只是对有困难的学生给予恰当点拨点评：在数列中，要让学生明确解方程的思路10 / 32变式训练(1)100 是不是等差数列 2,9,16，的项，如果是，是第几项？如果不是，请说明理由；(2)20 是不是等差数列 0，312，7，的项，如果是，是第几项？如果不是，请说明理由解：(1)由题意，知 a12，d927.因而通项公式为an2(n1)77n5.令 7n5100，解得 n15，所以 100 是这个数列的第15 项(2)由题意可知 a10，d312，因而此数列的通项公式为 an72n72.令72n7220，解得 n477.因为72n7220没有正整数解，所以20 不是这个数列的项例 2 一个等差数列首项为 125，公差 d0，从第 10项起每一项都比 1 大，求公差 d 的范围活动：教师引导学生观察题意，思考条件“从第 10 项起每一项都比 1 大”的含义，应转化为什么数学条件？是否仅是 a101 呢？d0 的条件又说明什么？教师可让学生合作探究，放手让学生讨论，不要怕学生出错解：d0，设等差数列为an，则有a1a2a3a9a10a11，11 / 32由题意，得 1a10a11，a1a2a91，即a101a91125 d1，12591d1，解得 875d325.点评：本例学生很容易解得不完整，解完此题后让学生反思解题过程本题主要训练学生灵活运用等差数列的通项公式以及对公差的深刻理解变式训练在数列an中，已知 a11，1an11an13(nN*)，求 a50.解：已知条件可化为 1an11an13(nN*)，由等差数列的定义，知1an是首项为 1a11，公差为d13 的等差数列，1a501(501)13523.a50352.例 3 已知数列an的通项公式 anpnq，其中p、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？活动：要判定an是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，根据 anan1(n1)是不是一个与 n 无关的常12 / 32数这实际上给出了判断一个数列是否是等差数列的一个方法：如果一个数列的通项公式是关于正整数的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列因而把等差数列通项公式与一次函数联系了起来本例设置的“旁注” ，目的是为了揭示等差数列通项公式的结构特征：对于通项公式形如anpnq 的数列，一定是等差数列，一次项系数 p 就是这个等差数列的公差，首项是 pq.因此可以深化学生对等差数列的理解，同时还可以从多个角度去看待等差数列的通项公式，有利于以后更好地把握等差数列的性质在教学时教师要根据学生解答的情况，点明这点解：当 n2 时， 取数列an中的任意相邻两项 an1与 an(n2)anan1(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p 为常数，所以an是等差数列，首项 a1pq，公差为 p.点评：(1)若 p0，则an是公差为 0 的等差数列，即为常数列 q，q，q，.(2)若 p0，则 an 是关于 n 的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n，an)均在一次函数 ypxq 的图象上，一次项的系数是公差 p，直线在 y 轴上的截距为 q.(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项13 / 32anpnq(p、q 是常数)，称其为第 3 通项公式变式训练已知数列的通项公式 an6n1.问这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？解：an1an6(n1)1(6n1)6(常数)，an是等差数列，其首项为 a16115，公差为6.点评：该训练题的目的是进一步熟悉例 3 的内容需要向学生强调，若用 anan1d，则必须强调 n2 这一前提条件，若用 an1and，则可不对 n 进行限制知能训练1(1)求等差数列 8,5,2，的第 20 项；(2)401 是不是等差数列5，9，13，的项？如果是，是第几项？2求等差数列 3,7,11，的第 4 项与第 10 项答案：1解：(1)由 a18，d583，n20，得a208(201)(3)49.(2)由 a15，d9(5)4，得这个数列的通项公式为an54(n1)4n1.14 / 32由题意知，本题是要回答是否存在正整数 n，使得4014n1 成立解这个关于 n 的方程，得 n100，即401 是这个数列的第 100 项2解：根据题意可知 a13，d734.该数列的通项公式为 an3(n1)4，即 an4n1(n1，nN*)a444115，a10410139.课堂小结1先由学生自己总结回顾这节课都学习了哪些知识？要注意的是什么？都用到了哪些数学思想方法？你在这节课里最大的收获是什么？2教师进一步集中强调，本节学习的重点内容是等差数列的定义及通项公式，等差数列的基本性质是“等差” 这是我们研究有关等差数列的主要出发点，是判断、证明一个数列是否为等差数列和解决其他问题的一种基本方法，要注意这里的“等差”是对任意相邻两项来说的作业习题 22A 组 1、2.设计感想本教案设计突出了重点概念的教学，突出了等差数列的定义和对通项公式的认识与应用等差数列是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性也是本质属性的准确反映和高度概括，15 / 32准确地把握定义是正确认识等差数列，解决相关问题的前提条件通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具因为等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，因此通过函数图象研究数列性质成为可能本教案设计突出了教法学法与新课程理念的接轨，引导综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学，这是一种非常重要的学习方法；在问题探索求解中，常常是先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳方法进行试探，提出猜想，最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想本教案设计突出了发散思维的训练通过一题多解，多题一解的训练，比较优劣，换个角度观察问题，这是数学发散思维的基本素质只有在学习过程中有意识地将知识迁移、组合、融合，激发好奇心，体验多样性，学懂学透，融会贯通，创新思维才能与日俱增(设计者：周长峰)第 2 课时导入新课 思路 1.(复习导入)上一节课我们研究了数列中的一个重要概念等差数列的定义，让学生回忆这个定义，并举出几个等差数列的例子接着教师引导学生探究自己所举16 / 32等差数列例子中项与项之间有什么新的发现？比如，在同一个等差数列中，与某一项“距离”相等的两项的和会是什么呢？由此展开新课思路 2.(直接导入)教师先引导学生回顾上一节所学的内容：等差数列的定义以及等差数列的通项，之后直接提出等差中项的概念让学生探究，由此而展开新课推进新课 新知探究提出问题请学生回忆上节课学习的等差数列的定义，如何证明一个数列是等差数列？等差数列的通项公式是怎样得出来的？它与一次函数有什么关系？什么是等差中项？怎样求等差中项？根据等差中项的概念，你能探究出哪些重要结论呢？活动：借助课件，教师引导学生先回忆等差数列的定义，一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即 anan1d(n2，nN*)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d”表示)再一起回顾通项公式，等差数列an有两种通项公式：anam(nm)d 或 anpnq(p、q 是常数)17 / 32由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差 d的方法：danan1；dana1n1；danamnm.对于通项公式的探究，我们用归纳、猜想得出了通项公式，后又用叠加法及迭代法推导了通项公式教师指导学生阅读课本等差中项的概念，引导学生探究：如果我们在数 a 与数 b 中间插入一个数 A，使三个数a，A，b 成等差数列，那么数 A 应满足什么样的条件呢？由定义可得 AabA，即 Aab2.反之，若 Aab2，则 AabA，由此可以得 Aab2a ，A，b 成等差数列由此我们得出等差中项的概念：如果三个数 x，A，y 组成等差数列，那么 A 叫做 x 和 y 的等差中项如果 A 是 x和 y 的等差中项，则 Axy2.根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项如数列：1,3,5,7,9,11,13中 5 是 3 与 7 的等差中项，也是 1 和 9 的等差中项9 是 7 和 11 的等差中项，也是 5 和 13 的等差中项等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住 a，A，b 成等差数列2A ab，以促成将等差数列转化为目标量间18 / 32的等量关系或直接由 a，A，b 间的关系证得 a，A，b 成等差数列根据等差中项的概念我们来探究这样一个问题：如上面的数列 1,3,5,7,9,11,13，中，我们知道2a5a3a7a1a9a2a8，那么你能发现什么规律呢？再验证一下，结果有a2a10a3a9a4a8a5a72a6.由此我们猜想这个规律可推广到一般，即在等差数列an中，若m、n、p、qN*且 mnpq，那么 amanapaq，这个猜想与上节的等差数列的通项公式的猜想方法是一样的，是我们归纳出来的，没有严格证明，不能说它就一定是正确的让学生进一步探究怎样证明它的正确性呢？只要运用通项公式加以转化即可设首项为 a1，则amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)d，apaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)d.因为我们有 mnpq，所以上面两式的右边相等，所以 amanapaq.由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列an的各项中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和另外，在等差数列中，若 mnpq，则上面两式的右边相等，所以 amanapaq.同样地，我们还有：若mn2p，则 aman2ap.这也是等差中项的内容19 / 32我们自然会想到由 amanapaq 能不能推出mnpq 呢？举个反例，这里举个常数列就可以说明结论不成立这说明在等差数列中，amanapaq 是 mnpq 成立的必要不充分条件由此我们还进一步推出an1andan2an1，即 2an1anan2，这也是证明等差数列的常用方法同时我们通过这个探究过程明白：若要说明一个猜想正确，必须经过严格的证明，若要说明一个猜想不正确，仅举一个反例即可讨论结果：(1)(2)略(3)如果三个数 x，A，y 成等差数列，那么 A 叫做 x 和 y的等差中项，且 Axy2.(4)得到两个重要结论：在数列an中，若2an1anan2(nN*)，则an是等差数列在等差数列中，若 mnpq(m、n、p、qN*)，则amanapaq.应用示例例 1 在等差数列an中，若 a1a69，a47，求a3，a9.活动：本例是一道基本量运算题，运用方程思想可由已知条件求出 a1，d，进而求出通项公式 an，则 a3，a9 不难20 / 32求出应要求学生掌握这种解题方法，理解数列与方程的关系解：由已知，得 a1a15d9，a13d7，解得a18，d5.通项公式为 ana1(n1)d85(n1)5n13.a32，a932.点评：本例解法是数列问题的基本运算，应要求学生熟练掌握，当然对学有余力的同学来说，教师可引导探究一些其他解法，如 a1a6a4a39.a39a4972.由此可得 da4a3725a9a45d32.点评：这种解法巧妙，技巧性大，需对等差数列的定义及重要结论有深刻的理解变式训练已知数列an对任意的 p，qN*满足apqapaq，且 a26，那么 a10 等于()A165B33c30D21答案：c解析：依题意知，a2a1a12a1，a112a23，an1ana1an21 / 323，可知数列an是等差数列，a10a19d39330.例 2(教材本节例 5)活动：本例是等差数列通项公式的灵活运用正如边注所说，相当于已知直线过点(1,17)，斜率为，求直线在x 轴下方的点的横坐标的取值范围可放手让学生完成本例变式训练等差数列an的公差 d0，且a2a412，a2a48，则数列an的通项公式是()Aan2n2(nN*)Ban2n4(nN*)can2n12(nN*)Dan2n10(nN*)答案：D解析：由题意知a2a412a2a48d0a2 6a42a1 8，d2，所以由 ana1(n1)d，得 an8(n1)(2)2n10.22 / 32例 3 已知 a、b、c 成等差数列，那么 a2(bc)，b2(ca)，c2(ab)是否成等差数列？活动：教师引导学生思考 a、b、c 成等差数列可转化为什么形式的等式？本题的关键是考察在 ac2b 的条件下，是否有以下结果：a2(bc)c2(ab)2b2(ac)教师可让学生自己探究完成，必要时给予恰当的点拨解：a、b、c 成等差数列，ac2b.又a2(bc)c2(ab)2b2(ca)a2ba2cac2bc22b2c2ab2(a2b2ab2)(bc22b2c)(a2cac2)ab(a2b)bc(c2b)ac(ac)abcabc2abc0，a2(bc)c2(ab)2b2(ac)a2(bc)，b2(ca)，c2(ab)成等差数列点评：如果 a、b、c 成等差数列，常转化为 ac2b 的形式，反之，如果求证 a、b、c 成等差数列，常改证ac2b.有时还需运用一些等价变形技巧，才能获得成功例 4 在1 与 7 之间顺次插入三个数 a、b、c，使这五个数成等差数列，求此数列23 / 32活动：教师引导学生从不同角度加以考虑：一是利用等差数列的定义与通项；一是利用等差中项加以处理让学生自己去探究，教师一般不要给予提示，对个别探究有困难的学生可适时地给以点拨、提示解：(方法一)设这些数组成的等差数列为an，由已知，a11，a57，71(51)d，即 d2.所求的数列为1,1,3,5,7.(方法二)1，a，b，c,7 成等差数列，b 是1,7 的等差中项，a 是1，b 的等差中项，c 是b,7 的等差中项，即b1723，a1b21，cb725.所求数列为1,1,3,5,7.点评：通过此题可以看出，应多角度思考，多角度观察，正像前面所提出的那样，尽量换个角度看问题，以开阔视野，培养自己求异发散的思维能力变式训练数列an中，a32，a71，且数列1an1是等差数列，则 a11 等于()A25D5答案：B24 / 32解析：设 bn1an1，则 b313，b712，因为1an1是等差数列，可求得公差 d124，所以 b11b7(117)d23，即 a111b11112.例 5 某市出租车的计价标准为元/km，起步价为 10元，即最初的 4 千米(不含 4 千米)计费 10 元如果某人乘坐该市的出租车前往 14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为 0，需要支付多少元的车费？活动：教师引导学生从实际问题中建立数学模型在这里也就是建立等差数列的数学模型引导学生找出首项和公差，利用等差数列通项公式的知识解决实际问题解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于 4km 时，每增加 1km，乘客需要支付元所以，我们可以建立一个等差数列an来计算车费令 a1表示 4km 处的车费，公差 d，那么，当出租车行至 14km 处时，n11，此时需要支付车费 a11(111)(元)答：需要支付车费元点评：本例中令 a1，这点要引起学生注意，这样一来，前往 14km 处的目的地就相当于 n11，这点极容易弄错知能训练1已知等差数列an中，a1a3a5a74，则25 / 32a2a4a6 等于()A3B4c5D62在等差数列an中，已知 a12，a2a313，则a4a5a6 等于()A40B42c43D45答案：1解析：由 a1a3a5a74，知 4a44，即 a41.a2a4a63a43.答案：A2解析：a2a313，2a13d13.a12，d3.而 a4a5a63a53(a14d)42.答案：B课堂小结1先由学生自己总结回顾这节课都学习了哪些知识？要注意的是什么？都用到了哪些数学思想方法？你是如何通过旧知识来获取新知识的？你在这节课里最大的收获是什么？2教师进一步画龙点睛，本节课我们在上节课的基础上又推出了两个很重要的结论，一个是等差数列的证明方法，一个是等差数列的性质，要注意这些重要结论的灵活运26 / 32用作业课本习题 22A 组 5、6、7.设计感想本教案是根据课程标准、学生的认知特点而设计的，设计的活动主要都是学生自己完成的特别是上节课通项公式的归纳、猜想给学生留下了很深的记忆；本节课只是继续对等差数列进行这方面的探究本教案除了安排教材上的两个例题外，还针对性地选择了既具有典型性又具有启发性的几道例题及变式训练为了学生的课外进一步探究，在备课资料中摘选了部分备用例题及备用习题，目的是让学生对等差数列的有关知识作进一步拓展探究，以开阔学生的视野本教案的设计意图还在于，加强数列与函数的联系这不仅有利于知识的融会贯通，加深对数列的理解，运用函数的观点和方法解决有关数列的问题，而且反过来可使学生对函数的认识深化一步，让学生体会到数学是有趣的，探究是愉悦的，归纳猜想是令人振奋的，借此激发学生的数学学习兴趣备课资料一、备用例题【例 1】梯子最高一级宽 33cm，最低一级宽为 110cm，中27 / 32间还有 10 级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度解：设an表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知 a133，a12110，n12，所以a12a1(121)d，即得 1103311d，解之，得 d7.因此a233740，a340747，a454，a561，a668，a775，a882，a989，a1096，a11103.答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.【例 2】已知 1a，1b，1c 成等差数列，求证：bca，cab，abc 也成等差数列证明：因为 1a，1b，1c 成等差数列，所以 2b1a1c，化简得 2acb(ac)，所以有bcaabcbcc2a2abacbaca2c2ac2aca2c2ac2ac22acb.因而 bca，cab，abc 也成等差数列【例 3】设数列anbn都是等差数列，且28 / 32a135，b175，a2b2100，求数列anbn的第 37项的值分析：由数列anbn都是等差数列，可得anbn是等差数列，故可求出数列anbn的公差和通项解：设数列anbn的公差分别为 d1，d2，则(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2 为常数，所以可得anbn是等差数列设其公差为 d，则公差 d(a2b2)(a1b1)100(3575)10.因而 a37b3711010(371)250.所以数列anbn的第 37 项的值为250.点评：若一个数列未告诉我们是等差数列时，应先由定义法判定它是等差数列后，方可使用通项公式ana1(n1)d.但对客观试题则可以直接运用某些重要结论，直接判定数列是否为等差数列二、备用习题1已知等差数列an中，a7a916，a41，则 a12的值是()A15B30c31D642在数列an中 3an13an2(nN*)，且a2a4a7a920，则 a10 为()A5B7c8D103在等差数列an中，a13a8a15120，则29 / 323a9a11 的值为()A6B12c24D484已知方程(x22xm)(x