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四边形的复习 天马行空官方博客 一 知识回顾 归纳四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形关系图 天马行空官方博客 1 平行四边形的特征 1 是中心对称图形 对称中心是对角线的交点 2 对边分别平行 3 对边分别相等 4 对角线互相平分 2 平行四边形的识别方法 1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4 对角线互相平分的四边形是平行四边形 3 矩形的特征 具有平行四边形的一切特征 1 矩形是中心对称图形 对称中心是对角线的交点 矩形也是轴对称图形 对称轴是通过对边中点的直线 有两条对称轴 2 矩形的四个角都是直角 3 矩形的对角线相等且互相平分 4 识别一个四边形是矩形的方法 1 有一个内角是直角的平行四边形是矩形 2 对角线相等的平行四边形是矩形 注意 有其他的应用形式 3 有三个角是直角的四边形是矩形 4 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 5 菱形特征 具有平行四边形的一切特征 1 菱形是中心对称图形 对称中心是对角线的交点 菱形也是轴对称图形 对称轴为它的对角线所在的直线 有两条对称轴 2 菱形的四条边相等 3 菱形的对角线互相垂直平分 并且每一条对角线平分一组对角 6 菱形的识别方法 1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2 四边都相等的四边形是菱形 3 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 7 正方形的特征 1 正方形是中心对称图形 对称中心是对角线的交点 正方形又是轴对称图形 对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线 共有四条对称轴 2 正方形四条边都相等 3 正方形四个角都是直角 4 对角线互相垂直平分且相等 每条对角线平分一组对角 对角线与边的夹角等于45 8 正方形的识别方法 1 有一个角是直角的菱形是正方形 2 有一组邻边相等的矩形是正方形 注意 1 正方形概念的三个要点 1 是平行四边形 2 有一个角是直角 3 有一组邻边相等 2 要确定一个四边形是正方形 应先确定它是菱形或是矩形 然后再加上相应的条件 确定是正方形 二 复习思路 1 在解决特殊四边形的有关问题时 应首先熟悉这些四边形的特征 识别方法 如矩形的对角线相等 四个角都是直角 菱形的四条边相等 对角线互相垂直等等 其次是在解题时要认真体会运用了哪些特征 识别 还有什么方法 例如通常欲证四边形是矩形 菱形 可先证它是平行四边形 再根据矩形 菱形 的特有条件证明它是矩形 菱形 再则 要充分利用正方形的特征应用旋转方法或全等方法得全等三角形 2 新课标比较重视通过平移 旋转变换掌握特殊四边形的概念特征和识别 会应用平移 旋转解决有关问题 三 例题精析 例1 填空 两条对角线的四边形是平行四边形 两条对角线的平行四边形是矩形 两条对角线的平行四边形是菱形 两条对角线的四边形是矩形 两条对角线的四边形是菱形 互相平分 相等 垂直 相等且互相平分 互相垂直平分 例2 如图 如果四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合 那么图形所在的平面上可作为旋转中心的点共有个 3 例3 2005福州 如图 小亮拿一张矩形纸图 1 沿虚线对折一次得图 2 下将对角两顶点重合折叠得图 3 按图 4 沿折痕中点与重合顶点的连线剪开 得到三个图形 这三个图形分别是 A 都是等腰梯形B 都是等边三角形C 两个直角三角形 一个等腰三角形D 两个直角三角形 一个等腰梯形 c 例4 05浙江舟山实验区 挪威数学家阿贝尔 年轻时就利用阶梯形 发现了一个重要的恒等式 阿贝尔公式 右图是一个简单的阶梯形 可用两种方法 每一种把图形分割成为两个矩形 利用它们之间的面积关系 可以得到 a1b1 a2b2 A a1 b1 b2 a1 a2 b1B a2 b2 b1 a1 a2 b2C a1 b1 b2 a1 a2 b2D a2 b1 b2 a1 a2 b1 C 例5 2005四川泸州 如图 在平行四边形ABCD中 两条对角线相交于点O 点E F G H分别是OA OB OC OD的中点 以图中的任意四点 即点A B C D E F G H O中的任意四点 为顶点画两种不同的平行四边形 第一种 可画为平行四边形EFGH 第二种 可画为平行四边形DEBG 或画为平行四边形AHCF 例6 2005湖北黄石 已知菱形的周长为40cm 两条对角线之比为3 4 则菱形的面积为 96cm2 例7 2005深圳 如图 口ABCD中 点E在边AD上 以BE为折痕 将 ABE向上翻折 点A正好落在CD上的点F 若 FDE的周长为8 FCB的周长为22 则FC的长为 7 例8 2005苏州 如图 平行四边形纸条ABCD中 E F分别是边AD BC的中点 张老师请同学将纸条的下半部分口ABFE沿EF翻折 得到一个V字形图案 1 请你在原图中画出翻折后的图形口A B FE 用尺规作图 不写画法 保留作图痕迹 2 已知 A 630 求 B FC的大小 1 作图如图 例9 如图 菱形ABCD E F分别为BC CD上的点 且 B EAF 60 若 BAE 20 求 CEF的度数 分析 连结AC 由菱形的特征与已知条件可得 ABC为等边三角形 BAC ACD 60 由 EAF 60 可得 BAE CAF 进而可得 ACF是 ABE绕点A旋转60 得到 AE AF 得 AEF为等边三角形 从而求出 CEF 解 连结AC 菱形ABCD中 AB BC ACB ACD B 60 ABC是等边三角形 于是有 BAC ACB ACD 60 AB AC 由已知 EAF 60 可得 BAE CAF ACF是 ABE绕点A逆时针旋转60 得到的 AE AF AEF是等边三角形 AEF 60 AEC AEF CEF B BAE CEF BAE 20 说明 菱形是特殊的平行四边形 除具有平行四边形的性质外 还有以下特性 1 菱形的四条边相等 2 菱形的对角线互相垂直平分 并且每一条对角线平分一组对角 例10 已知 正方形ABCD ADE是等边三角形 求 BEC的度数 分析 本题应分两种情况考虑 1 点E在正方形ABCD的外部 2 点E在正方形ABCD的内部 然后应用正方形和等边三角形的有关特征即可求解 解 1 如图当点E在正方形ABCD的外部时 由ABCD是正方形 ADE是等边三角形 得 CDE 90 60 150 DE AD DC 因此 DEC ECD 180 150 2 15 同理可推得 ABE 15 则 BEC AED AEB DEC 60 15 15 30 2 如图当点E在正方形ABCD的内部时 由ABCD是正方形 ADE是等边三角形 得 EAB DAB DAE 90 60 30 AE AD AB 因此 AEB ABE 180 30 2 75 同理可推得 DEC 75 则 BEC 360 AEB