结晶化学课件第二章.ppt

第二章晶体的宏观对称性本章的教学目的与要求本章节内容主要通过学习对称性概论 对称元素及其组合原理 32点群的概念及其推导 点群符号 对称元素的表示方法来阐述晶体的宏观对称性 掌握有关对称性的概念 32点群的概念 对称元素 点 晶向 晶面 的表示方法 熟练运用对称元素组合原理推导32点群 32点群符号 了解单形的概念及其种类 第二章晶体的宏观对称性 第一节对称性概论对称 顾名思义就是几个物体或同一物体的各个部分相对又相称 一 基本概念P19 1 等同图形 具有对称性的物体的相应各部分叫做等同图形 2 对称动作 把对称图形中某一部分的任意点变到一个等同部分相应点上去的动作叫做对称动作 SymmetryOperation3 对称元素 进行对称动作所依据的几何元素称为对称元素 4 对称图形的阶次 对称图形中所包括的等同部分的数目称为对称图形的阶次 二 宏观对称操作及对称元素 在对称动作进行中 至少有一点不动的对称动作称为点动作 与点动作相应的对称元素称为宏观对称元素 MacroscopicSymmetryElements将晶体的多面体外形及晶体的其他宏观性质所表现出来的对称性称为宏观对称性 p20 1 反映操作及反映面 ab反映面SymmetryPlane 对称图形的阶次 2 表示法 用m或P表示 2 旋转操作及旋转轴RotationalSymmetry 若图形中可找到一直线L 绕此直线将图形旋转某一角度 可使图形复原 则此直线称为旋转轴 RotationAxis 定义 使图形复原的最小旋转角度称为该旋转轴的基转角 n 360 n表示轴次 O E F 表示法 L4 L4 4L3 L3 3L2 L2 2Ln Ln n3L44L36L2 3 倒反操作及对称中心SymmetryCentre倒反操作 反演或反伸进行倒反动作时有一点不动 表示 1 国际符号 C i表示 左右形 阶次为2 反映形成的图形左右形 倒反形成的图形有左右形 a b c 4 反轴RotoinversionAxis 1 2 6 5 c 3 8 4 7 1 5 6 9 10 7 8 11 12 3 4 2 d e 可见在晶体中有10种宏观对称元素I m 即1 2 3 4 6 i m 其中有8种是独立的 1 2 3 4 6 i m 反轴的图示符号 旋转轴的图示符号 表2 110种宏观对称元素 三 对称元素和点阵的几何配置 点阵点是对称中心 在与点阵相应的平移群中 若有平移向量T 则必然有平移向量 T 换言之 点阵固有对称中心 点阵点即是 旋转轴必然和点阵中一组直线点阵相平行 而和一组平面点阵相垂直 旋转轴必然和点阵中一组直线点阵相平行 而和一组平面点阵相垂直 四 对称性定律 实际晶体中只可能出现1 2 3 4 6次旋转轴 这称为对称性定律 如果在点阵中出现n次旋转轴 则在垂直于Ln的平面点阵中便有正n边形格子的几何形象 在晶体中有10种宏观对称元素I m 即1 2 3 4 6 i m 其中有8种是独立的 1 2 3 4 6 i m 第二节对称元素组合原理 一 反映面之间的组合定理1 两个反映面相交 其交线为旋转轴 基转角为反映面相交角的2倍 证明 Am1Em2B ALmB 推论 基转角为 的旋转轴可分解为两个反映面的连续动作 其夹角为 2 ALmB Am1Em2B 二 反映面与旋转轴的组合定理3 万花筒定理 当一个反映面穿过旋转轴Ln时必有n个反映面穿过此旋转轴 L3 m 三 旋转轴与对称中心的组合定理 如果在偶次旋转轴上有对称中心 那么必有一反映面与旋转轴垂直相交于对称中心 推论1 偶次对称轴 垂直于它的对称面和对称中心中 任意二者的组合必产生第三者 推论2 在有对称中心时 图形中偶次轴数目和反映面数目相等 且每一个偶次轴均垂直于一个对称面 四 旋转轴之间的组合欧拉定理 通过任意二相交对称轴之交点 必可找到第三个新轴 其作用等于前二者之积 其轴次及其与两个原始对称轴之间的夹角则取决于该二原始对称轴的轴次及他们之间的交角 简单地 两个旋转轴的适当组合产生第三个旋转轴 即 如果有两根 以 角相交 则围绕必有n个共点并呈对称分布的 同时在周围必有m个共点并呈对称分布的 并且任意两相邻 夹角也为 推论1 如有两个二次对称轴相交 交角为 2 则垂直于这两个二次对称轴所定平面 必有一基转角为 的n次对称轴 L2 L2 L2 L3 推论2 如有一个二次对称轴与一个n次对称轴垂直 相交 则必有n个二次对称轴同时垂直 并相交 于该n次对称轴 且相邻两二次轴的夹角为n次对称轴基转角的一半 定理 通过二次对称轴与对称面之交点并垂直于该二次对称轴之直线恒为一旋转反伸轴 该旋转反伸轴之基转角等于该二次轴与对称面交角之余角的两倍 推论 如有一个二次轴垂直于 或对称面包含 一n次旋转反伸轴时 当n为奇数时 恒有n个共点的二次轴垂直于此n次旋转反伸轴 同时还有n个共线的对称面包含该n次旋转反伸轴 当n为偶数时 则恒有n 2个共点的二次轴垂直于该n次旋转反伸轴 同时还有n 2个共线的对称面包含该n次旋转反伸轴 L4 Ph L4PC C L4PC 偶次对称轴 垂直于它的对称面和对称中心中 任意二者的组合必产生第三者 L3 Ph L3P L33P L3 m L3C 2 3晶体的32点群 对称变换的集合和对称元素的集合总称为对称群 相交于一点的宏观对称元素的集合所构成的对称群称为点群 2 3 1点群的概念晶体宏观观察中所具有的点对称元素的组合或宏观对称类型称为点群 2 3 1 2 举例 Aa Cc Bb O C33 1 L33P b Ba 表2 2群的乘法表 点对称操作的集合满足群的定义 任意两个操作的积还是集合内的一个操作 在点对称操作中两次操作相当于另一个对称操作 一组对称操作内所有可能出现的对称操作及其可能的组合数总是有限的 若把它们全归入一个集合 则这个集合就可能具备封闭性 对连续对称操作 f g h f g h 有结合律 组合过程不能颠倒次序 有单位元素 即恒等操作i E 且只有一个 对称操作都有逆操作 即操作的转换矩阵都有逆矩阵 对称操作组合在一起操作时 空间几乎所有点都在变动 但至少有一点 如原点 在全部对称操作过程中始终保持不变 它也是所有对称元素的一个公共点 所以把点对称操作的集合称为点群 点群 相交于一点的对称要素的集合所构成的对称群 即晶体宏观观察中所具有的点对称元素的组合或宏观对称类型称为点群 点 指所有的对称元素有一个公共点 它在全部对称操作中始终不动 通常取为原点 群 指一组对称元素或一组对称操作的集合 1 Assemblyofrotationaxis L2 L2 L3 L2 O L33L2 如有一个二次对称轴与一个n次对称轴垂直 相交 则必有n个二次对称轴同时垂直 并相交 于该n次对称轴 L1L2L2L22L2 主轴为L2L3L33L2 主轴为L3L4L44L2 主轴为L4L6L66L2 主轴为L6 高次轴 Ln n 3时3L24L3 3L44L36L2 共11种轴型 L1 L3 L2 L4 L6 L22L2 L44L2 L66L2 3L24L3 3L44L36L2L33L2 L2 Ph L2PC C L2PC 偶次对称轴 垂直于它的对称面和对称中心中 任意二者的组合必产生第三者 L22P L2 m 当一个反映面穿过旋转轴Ln时必有n个反映面穿过此旋转轴 L3 Ph L3P L33P L3 m L3C m2 Phm1 L33L24P L33L2 P 基转角为 的旋转轴可分解为两个反映面的连续动作 其夹角为 2 当一个反映面穿过旋转轴Ln时必有n个反映面穿过此旋转轴 L33L24P 3L23P 穿过主轴 平分相邻二次轴间夹角 Pd C Pd Pd L33L23PC 偶次对称轴 垂直于它的对称面和对称中心中 任意二者的组合必产生第三者 在有对称中心时 图形中偶次轴数目和反映面数目相等 且每一个偶次轴均垂直于一个对称面 表2 3晶体32点群的推导 orthorhombic2次轴或反映面之数目大于1monoclinic2次轴或反映面之数目等于1triclinic无反映面和旋转轴 2 3 2 37Crystalsystems Syngonies 7个晶系及其特征对称元素晶系特征对称元素cubic4个3次轴 tetragonal1个4次轴或4次反轴hexagonal1个6次轴或6次反轴triagnoal1个3次轴或3次反轴 2 4点阵几何元素的表示方法 坐标原点 以点阵中的任一结点为原点 坐标轴 以单位平行六面体 在晶体结构中即为晶胞 的三个互不平行的棱为坐标轴x y z 以点阵常数a b c作为相应的坐标轴单位 一 结点位置表示法 点阵的结点位置是以它们的坐标值来表示的 如图 求A B C P点的坐标 正交底心格子 求正交底心格子的结点位置 二 直线的方向 晶向 空间点阵中由结点连成的结点线和平行于结点线的方向在晶体中称为晶向 通过原点作一条直线与晶向平行 将这一直线上的任一点 除原点外 坐标化成没有公约数的整数uvw 称为晶向指数 再加上方括号就是晶向符号 uvw 正负 如 求BN的晶向指数求OM的晶向指数求ON的晶向指数求的晶向指数 晶向族由对称性联系的一系列等同晶向组成等效晶向族 用 uvw uvw为三个互质整数 表示 三 晶面的表示法 可以把点阵中的结点全部分列在一系列平行等距离的平面系上 这样的平面称为晶面 潘金生 材料科学基础 穿过晶体的原子面 平面 称为晶面 1 整数定律浩羽整数定律 晶体上任意二晶面 在三个相交且不在同一平面的晶棱上的截距之比为一简单整数比 也可叙述为 晶体上一个晶面在三个坐标轴上所截的轴截距之比是一个简单的整数比 2 晶面指数 把一个晶面在三个结晶学轴上截距的倒数之比值来表示 a轴表示为h b轴表示为k c轴表示为l h k l 称为晶面指数或米勒指数 h k l为互质的整数 h k l 称为晶面符号 正负 确定晶面指数的具体步骤如下 建立坐标系 以晶轴a b c为坐标轴 令坐标原点不在待标晶面上 各轴上的坐标单位分别是晶胞边长a b和c 找出待标晶面在a b c轴上的截距x y z 以a b c为坐标单位 取截距的倒数1 x 1 y 1 z将这些倒数化成三个互质的整数h k l 使h k l 1 x 1 y 1 z将h k l置于括号内 写成 hkl 则 hkl 就是待标晶面的米勒指数 常见晶面 100 010 001 111 110 晶面族 由特定的对称元素相联系的晶面 立方晶系 100 六方晶系六侧面指数 4 晶带 1 晶带是指晶体上彼此间交棱相互平行的一组晶面的组合 晶带可以用相互平行的晶棱方向作为代表 这个方向称为晶带轴 晶带中的每一个晶面称为晶带面 用晶带轴的晶向指数代表该晶带在空间的位置 这个符号称为晶带符号 2 晶带定律 晶体是一个封闭的几何多面体 每一个晶面与其它晶面相交 必有两个以上互不平行的晶面 任何两个晶带轴相交所形成的平面 必定是晶体上的一个可能晶面 这一定律称为晶体学的晶带定律 5 面间距 指面列中相邻两平面之间的垂直距离 立方晶系 d 四 六方晶系三轴定向 a1 a2 c晶向 UVW 晶面 hkl 四轴定向 a1 a2 a3 c晶向 uvtw 晶面 hkil 如侧面晶面 hkl 晶面 hkil a1 a2 a3h k i优点是同一晶面族具有相似指数 100 晶向 UVW 晶向 uvtw 2 晶向指数 1 国际符号 旋转轴 反轴 镜面 对称中心 旋转轴和与之垂直的反映面 晶系第一位第二位第三位高立方四方中六方三方正交低单斜三斜只有一个符号如 立方23 m 43 3m m3m 表2 4 国际符号中三个字符位置所代表的轴向 每个点群都包含有一个或一个以上的对称元素 a c b 全称 mm点群 C L4 m1 m1 m2 C 4P L4 m2 晶系全称简称立方m3mmm3m四方mm六方mm正交mmm三方m 2 圣佛里斯符号SchoenfliessymbolsCn 仅有一个旋转轴的点群即旋转群 cyclicgroup n表示旋转轴的轴次 有几个旋转轴由二次轴组合产生的点群用Dn表示 称为二面体群 dihedralgroup n表示主轴的轴次 有几个高次轴时 轴的组合相当于正四面体时称为四面体群 tetrahedralgroup 用T表示 轴的组合相当于正八面体的称为八面体群 octahedralgroup 用O表示 在有反映面的情况 反映面单独出现时用Cs表示 否则如下 反映面穿过主轴又平分相邻二次轴间夹角时以下标d diagonal 表示 反映面与主轴平行 即穿过主轴 这时反映面是直立的 以下标v vertical 表示 在反映面垂直于主轴时 反映面是水平的 以下标h horizontal 表示 另外 4次反轴以S4表示 各符号含义如下 Cn 有一个n次轴 C表示旋转Cnh 有一个n次轴及垂直于该轴的水平镜面Cnv 有一个n次轴及含有此轴的垂直镜面Dn 有一个n次轴及n个垂直于该轴的二次轴 D表示两面体 D3 D4D3d 有一个3次轴 3个垂直于该轴的二次轴 及穿过3次轴又平分相邻二次轴间夹角的反映面 D2h C4h C3h D3h D2 S4 Sn 有一个n次旋转反映轴 S表示反映 在圣佛里斯符号中用旋转反映轴代替国际符号中的旋转反演 T 有四个3次轴及三个2次轴 T表示四面体O 有三个4次轴 四个3次轴及六个2次轴 O表示八面体E 表示恒等i 对称中心 对称中心单独出现时用Ci表示 有时把i加在对称轴轴次下标之后 晶系劳埃点群点群符号个数三斜CiC1 Ci2单斜C2hC2 Cs C2h3正交D2hD2 C2v D2h3四方D4hC4hC4 S4 C4h C4v7D4hD4 D2d D4h六方D6hC6hC3h C6 C6v C6h7D6hD3h D6 D6h三方D3dC3iC3 C3i C3v5D3dD3 D3d立方OhThT Th Td5OhO Oh 二 晶体的定向对称性是晶体的基本特性 对称元素 对称特点 特征对称元素4L3 同时在平行于立方体晶棱方向 即面法线方向 有三个相互垂直的L4或四次反轴 或有三个相互垂直的L2 原点 任意结点 坐标轴 三个相互垂直的L2或L4 S4 为a b c 国际符号的三个方向 a a b c a b 如 m3m 3L44L36L29PC C6h C3h C6 C6v C6hD6h D3h D6 D6h国际符号的三个方向 c a 2a bc轴 6次轴 6次反轴3次轴 6次反轴三个L2或对称面的法线或在垂直于c轴平面内的相互成120的棱为a1 a2 a3 例2 六方晶系7个点群 晶面 hkl 晶面 hkil h k i晶向 UV