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1 2一元多项式的定义和运算 一 多项式的概念 中学多项式的定义 n个单项式 不含加法或减法运算的整式 的代数和叫多项式 例 4a 3b 在多项式中 每个单项式叫做多项式的项 这是形式表达式 后来又把多项式定义为R上的函数 但对这两种定义之间有什么联系在中学代数中 并没有交代 问题 1 高等代数中采用什么观点定义多项式 定义1 设x是一个文字 或符号 n是一个非负整数 其中 称为数域F上的一元多项式 常数项或零次项 首项首项系数 称为i次项系数 高等代数中采用形式观点定义多项式 它在两方面推广了中学的多项式定义 这里x不再局限为实数而是任意的文字或符号 系数可以是任意数域 例1 2 1 是Q上多项式 是R上多项式 是C上多项式 都不是多项式 定义2 是两个多项式 除系数为0的项之外 同次项的系数都相等 多项式的表法唯一 定义3 设 最高次项 亦称为首项 例1 2 2 零次多项式 次数为0的多项式即非零常数 零多项式 系数全为0的多项式 对零多项式不 个多项式不是零多项式 首一多项式 首项系数为1的多项式 二 多项式的运算 定义4 设 是数域F上次数分别 定义次数 因此 在谈论多项式的次数时 意味着这 当m n时 取 例1 2 3 设 其中 相乘积的和作为 的系数 得 把中两个系数下标之和为k的对应项 多项式的运算 加 减 乘 满足以下运算规律 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律 下面证明多项式乘法满足结合律 证 设 现证 这只要比较两边同次项 比如t次项系数 相等即可 左 右两边同次项的系数相等 乘法满足结合律 三 多项式的次数定理 定理2 1 1 设 证 设 多项式乘法没有零因子 推论1 若 证 若f 0或g 0 则必有fg 0 反之 若 矛盾 乘法消去律成立 则 证 定义5 对多项
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