等差数列 前n项的和一.ppt

2 3 等差数列前n项和 一 复习引入 1 等差数列定义 即an an 1 d n 2 2 等差数列通项公式 1 an a1 n 1 d n 1 2 an am n m d 3 an pn q p q是常数 复习引入 3 几种计算公差d的方法 复习引入 4 等差中项 成等差数列 m n p q am an ap aq m n p q N 5 等差数列的性质 练习 Sn 1 a1 a2 a3 an 1 n 1 Sn Sn 1 an 数列的前n项和 看课本42页 思考 1 这两个例子分别是对什么数列求和 都采用了什么样的方法 有何特点 2 对于一个一般的等差数列 我们应该如何求前n项和呢 高斯出生于一个工匠家庭 幼时家境贫困 但聪敏异常 上小学四年级时 一次老师布置了一道数学习题 把从1到100的自然数加起来 和是多少 年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050 这使老师非常吃惊 那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢 高斯 1777 1855 德国数学家 物理学家和天文学家 他和牛顿 阿基米德 被誉为有史以来的三大数学家 有 数学王子 之称 高斯 神速求和 的故事 情景一 首项与末项的和 1 100 101 第2项与倒数第2项的和 2 99 101 第3项与倒数第3项的和 3 98 101 第50项与倒数第50项的和 50 51 101 于是所求的和是 求S 1 2 3 100 你知道高斯是怎么计算的吗 高斯算法 高斯算法用到了等差数列的什么性质 泰姬陵坐落于印度古都阿格 是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建 她宏伟壮观 纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷 成为世界七大奇迹之一 陵寝以宝石镶饰 图案之细致令人叫绝 传说陵寝中有一个三角形图案 以相同大小的圆宝石镶饰而成 共有100层 奢靡之程度 可见一斑 你知道这个图案一共花了多少宝石吗 情景二 这是求奇数个项和的问题 不能简单模仿偶数个项求和的办法 需要把中间项11看成首 尾两项1和21的等差中项 通过前后比较得出认识 高斯 首尾配对 的算法还得分奇 偶个项的情况求和 有简单方法吗 思考 图案中 第1层到第21层一共有多少颗宝石 借助几何图形之直观性 把这个 全等三角形 倒置 与原图补成平行四边形 思考 图案中 第1层到第21层一共有多少颗宝石 思考 图案中 第1层到第21层一共有多少颗宝石 获得算法 这种方法不需分奇 偶个项的情况就可以求和 很有创意 用数学式子表示就是 1 2 3 4 2121 20 19 18 1 探究了以上两个实际问题的求和 我们对数列求和有了一定的认识 那么能否将 倒序相加法 推广到任意一个等差数列呢 此种求和法称为倒序相加法 n个 设等差数列的前项和为 即 又 探究新知 等差数列的前n项和的公式 思考 1 公式的文字语言 2 公式的特点 可知三求一 等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半 探究新知 前n项和公式的几种形式 公式的结构特征 在等差数列 an 中 如果已知五个元素a1 an n d Sn中的任意三个 请问 能否求出其余两个量 结论 知三求二 想一想 探究新知 公式记忆 类比梯形面积公式记忆 例1 2000年11月14日教育部下发了 关于在中小学实施 校校通 工程的通知 某市据此提出了实施 校校通 工程的总目标 从2001年起用10年的时间 在全市中小学建成不同标准的校园网 据测算 2001年该市用于 校校通 工程的经费为500万元 为了保证工程的顺利实施 计划每年投入的资金都比上一年增加50万元 那么 从2001年起的未来10年内 该市在 校校通 工程中的总投入是多少 分析 找关键句 求什么 如何求 典例剖析 法一 法二 例3 在等差数列 an 中 已知 求S7 补例 练习 已知一个共有n项的等差数列前4项之和为26 末四项之和为110 且所有项的和为187 求n 分析 得 n 1时 a1 S1 12 1 2 3 2满足 式 所以an 2n 1 2 题型一 已知前n项和Sn 求通项an 1 当数列 2n 24 前n项之和取得最小值时 n 练习 2 等差数列 an a3 a9 d 0 求使它的前n项和Sn取得最大值的自然数n 5或6 11或12 3 数列 an 的前n项和Sn 32n n2 则n 时Sn有最大值 16 题型二 等差数列前n项和的最值问题 4 等差数列 an a1 0 S3 S11 则数列的前几项的和最大 7 等差数列前n项和公式的函数特征 特征 an 4n 14 Sn 2n2 12n Sn的深入认识 思考 结论 等差数列前n项和公式 倒序相加法 变形 课堂小结 1 用倒序相加法推导等差数列前n项和公式 小结 3 应用公式求和 知三求二 方程的思想 已知首项 末项用公式 已知首项 公差用公式 应