第十章二元一次方程组教学案（共9课时）

1 / 34第十章二元一次方程组教学案（共 9 课时）本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲山课件 k课题二元一次方程自主空间学习目标 1、理解二元一次方程及二元一次方程的解的概念。2、学会求出某二元一次方程的几个解和检验某对数值是否为二元一次方程的解。3、学会把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的一次式来表示。4、初步学会根据给定的解求出方程中所含字母的值。学习重点二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念学习难点二元一次方程的解的不定性和相关性。即二元一次方程的解有无数个，但又不是任意两个数是它的解。教学流程 1根据篮球的比赛规则，赢一场得 2 分，输一场得 1 分，在某次中学生比赛中，一支球队赛了若干场后积 20 分，问该队赢了多少场？输了多少场？一新知探究：2 / 341、观察方程 2x+y=20 和 6x+8y=38 有哪些共同得特点？你能根据这些特点给它们起一个名称吗？二元一次方程的概念：像这样，含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程2、判断下列方程哪些是二元一次方程，哪些不是？x+3y=3z2xy+y=7x+y+12（x+y）=1-x3、请同学们编一道二元一次方程和一道不是二元一次的方程。4、下面，我们一起来讨论一下二元一次方程的解的情况。首先我们来复习一下什么是一元一次方程的解？思考一下：什么是二元一次方程的解？使一个二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫二元一次方程的解。强调：“一对”如 x=8,y=3 就是方程 2x3y=25 的一个解，记作：x=8,y=3写出一个二元一次方程，使 x=-1,y=3 为它的一个解，该二元一次方程可以为_二例题分析：例 1：已知 3y-2x=1，用含 x 的一次式来表示 y，并取x=1，-5，10，求出方程的三个解。解：移项，得：3y=1+2x（当用含 x 的一次式来表示 y 后，再请同学做游戏，3 / 34让同学体会一下计算的速度是否要快）取 x=1，得：y=1；取 x=-5，得：y=-3；取 x=10，得：y=7；是方程 3y-2x=1 的三个解。 （反过来，这三个解是否满足方程呢？）例 2：如果 x=2,y=-1 是二元一次方程 2x-y=a 的一个解，试确定 a 的数值。解：把 x=2,y=-1 代入方程，得：22-（-1）=aa=5三展示交流：1、练习：在三对数值中，哪几对是方程 2x+y=3 的解？哪几对是方程 x-2y=4的解？有没有这样的一对值，它既是方程 2x+y=3 的解，又是方程 x-2y=4 的解？并把他们的解填入表示各方程解集的圈内。2、已知 x=2 是方程 2x+ay=5 的解，则 a=_y=14、把下列方程中， （1）写成用含的代数式表示的形式；（2）写成用含的代数式表示的形式。5x+y=153x-4y=124 / 345、求下列二元一次方程的解。（1）写出 5x+3y=8 所有的正整数解。当堂达标 1.方程中是二元一次方程的有（）A1 个个个个2.下列方程组中，是二元一次方程组的是（）AB.3.给出两个问题：（1）两数之和为 6，求这两个数？（2）两个房间共住 6 人，每个房间各住几人？这两问题的解的情况是（）A都有无数解 B.有只有唯一解c.都有有限解 D.（1）无数解；（2）有限解4.二元一次方程的解的个数是个5.已知，则。6.若是同类项，则，.7、若 2x2m-1y2 与-x3yn+4 的和为 x3y2，则 m=，n=8.求出方程在正整数范围内的解。1、在方程中。如果，则。2、已知：，用含的代数式表示，得。5 / 343、若是二元一次方程，则=。4、如果方程的两组解为，则=学习反思：课题二元一次方程组（1） （列方程组）自主空间学习目标 1.使学生弄懂二元一次方程组2.学生通过实际问题，懂得二元一次方程组的必然性学习重点找相等关系学习难点找相等关系列方程教学流程预习导航一、创设情景，导入新课：1、小亮在“智力快车”竞赛中回答 10 个问题，答对一题得 4 分，答错一题扣 1 分，他共得 25 分，小亮答对几题、答错几题？2、根据篮球比赛规则：赢一场得 2 分，输一场得 1 分，在一次中学生篮球联赛中，一支球队赛完 1、2 场后得 20分。问该队赢多少场？输多少场？3、今有鸡兔同笼，上有 35 个头，下有 94 足，问鸡兔各6 / 34有几何合作探究一新知探究：列出上面三个小问题中的每题的两个方程（1）设小亮答对 x 题，答错 y 题x+y=104x-y=25（2）设该队赢了 x 场,输了 y 场x+y=122x+y=20（3）设鸡有 x 只，兔有 y 只x+y=352x+4y=94像这样，含有两个未知数的两个一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组。小结：列二元一次方程组关键找出两个相等关系二例题分析：7 / 34（1）甲、乙两工人师傅制作某种工件，每天共制作 12件，甲比乙每天多制作 2 件，设甲每天制作 x 件，乙每天制作 y 件，列出关于 x,y 的二元一次方程组。（2）已知长方形的周长是 60cm，长比宽多 20cm，设长方形的长为 xcm，宽 ycm，列出关于 x,y 的二元一次方程组。（2）把一些图书分给某班的学生阅读，如果每人分了 3 本，则剩余 20 本，如果每人分 4 本，则还缺 25 本，设该班又 x 名学生，图书有 y 本，列出关于 x,y 的二元一次方程组。三展示交流：1、用甲，乙两种原料配制两种建筑材料，已知建筑材料按甲：乙=5：4 的比例配料，每千克 50 元；建筑材料按甲：乙=3：2 的比例配料，每千克元，设甲原料的价格每千克 x 元，乙原料的价格为每千克 y 元,列出关于 x,y 的二元一次方程组。2、国庆长假期间,某旅行社接待一日游和三日游的旅客8 / 34共 2200 人,收旅游费 200 万元,其中一日游每人收费 200 元,三日游每人收 1500 元.该旅行社的一日游和三日游旅客各有多少人?3、小丽在玩具厂劳动，做只小狗、只小猴用去分钟，做只小狗、只小猴用去分钟，平均做只小狗与只小猴各用多少时间？当堂达标 1、方程 mx2y=x+5 是二元一次方程时，m 的取值为（）A、m0B、m1c、m1D、m22 方程的公共解是（）A、B、c、D、3 若的符号为 A、同号 B、异号 c、可能同号可能异号 D、4、已知：关于的方程组的值为A、1B、c、0D、15、若方程组的值为A、4B、10c、11D、126、已知：与的和为零，则的值为A、7B、5c、3D、17、用一根绳子环绕一棵大数如果环绕大树周，那么绳子还多尺；如果环绕大树周，那么绳子少了9 / 34尺这根绳子有多长?绳子环绕大数 1 周需要多少尺?8、在方程中，如果是它的一个解，那么 a 的值为9、已知二元一次方程，若，则 y=，若 y=0，则 x=10、如果关于的方程和的解相同，则=11、已知梯形的面积为 25 平方厘米，高为 5 厘米，它的下底比上底的 2 倍多 1 厘米，则梯形的上底和下底长分别为。学习反思：课题二元一次方程组（2） （找方程组的解）自主空间学习目标 1.学生会找二元一次方程组的解。2.学生通过探索感受二元一次方程组的解学习重点二元一次方程组的解学习难点找“解”的过程教学流程预习导航一、创设情景，导入新课：（1）用多媒体展示一群鸡，文字出现某农户供养了白鸡、黑鸡 100 只，白鸡的数量是黑鸡的 3 倍，设白鸡有 x 只，黑鸡有 y 只，列出关于 x,y 的二元一次方程组。10 / 34合作探究一新知探究：1.列出方程组：（1） （2）2.二元一次方程组的解。（1）方程1的解是：方程2的解是：所以是这两个方程的一个公共解。（2）方程1的解是：方程2的解是：所以是这两个方程的一个公共解。学生讨论，做一做，有没有简单的方法？11 / 34小结：二元一次方程组的解与二元一次方程组的解的找法二例题分析：1.已知下面三对数值：(1)哪几对是方程 2x-y=7 的解；(2)哪几对是方程 x+2y=-4 的解？2下面三对数值：哪一对是二元一次方程组的解？（1） （2）3.判断是不是二元一次方程的解？三展示交流1.先解一元一次方程 2x-1=-x+2。再找二元一次方程组的解。2.写出以 x=1,y=1 为解的二元一次方程组。当堂达标 1.已知,和是方程的两组解，则下列各组未知数的值中，是这个方程的解的是（）ABcD12 / 342.已知,则式子.3.若是方程组的解，则， 。4、把方程化成含 y 的代数式表示 x 的形式 x=5、方程组的解是A.；6、6 年前，A 的年龄是 B 的 3 倍，现在 A 的年龄是 B 的2 倍，则现在的年龄是（）A、12B、18c、24D、307、设的值为A、B、c、D、课题解二元一次方程组（1） （代入消元法）自主空间学习目标 1.学生会用代入法解二元一次方程组。2、了解解二元一次方程组是的“消元思想” ；“化未知数为已知”的化归思想。3.利用小组合作探讨学习,使学生领会朴素的辩证唯物主义思想学习重点探寻用代入法解二元一次的方程组的进程。灵活地用代入法解二元一次方程组。学习难点探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程。教学流程13 / 34预习导航从学生熟悉的情景引入课题。1、根据篮球比赛规则：赢一场得 2 分，输一场得 1 分，在一次中学生篮球联赛中，某球队赛了 12 场。设赢了 x 场，输了 y 场，积 20 分，列出方程。合作探究一新知探究：（1）解方程组分析：那么怎么样解二元一次方程组呢？（引入代入消元法概念）？如何解出 x,y？设想能把二元化为一元，由学生自己讨论。 （学生自学课本）解：由1得：y=12-x3把3代入2 ，得2x+12-x=20解这个一元一次方程得x=8把 x=8 代入3 ，得14 / 34y=4所以原方程的解是（2）解方程：老师板演：解：由1得 x=10-y3把3代入2 ，得4（10-y）-y=20解这个一元一次方程，得y=4把 y=4 代入3 ，得x=6所以原方程组的解是二例题分析：1、代入法解下列方程组：（1） （2）（3） （4）（5）三展示交流：1、二元一次方程组的解中与互为相反数，求的值。点拨：互为相反数的和为零2、编写一道以（-3，1）为解的二元一次方程组。15 / 343、已知 x+3y-6=0，用含 x 的代数式表示 y 为，用含 y 的代数式表示 x 为.4、已知：，并且求：x:y 与 y:z.当堂达标 1.用代入法解下列方程组：2.二元一次方程组的解也是方程的解，那么 k 的值应为3、有一个两位数，它的十位上与个位上的数的和为 5，则符合条件的两位数有个。4 若和是同类项，则 m=，n=.5 若，则 x=，y=6 若方程 3x13y=12 的解也是 x3y=2 的解，则x=_,y=_.7 已知关于 x、y 的方程组的解相同，求 a、b 的值.8 两位同学在解方程组时，甲看错了第一个方程解得，乙看错了第二个方程解得，求的值及原方程组的解解方程组学习反思：16 / 34课题解二元一次方程组（2） （加减消元法）自主空间学习目标知识与技能：1、会用加减消元法解二元一次方程组。2、能根据方程组的特点，适当选用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。3、了解解二元一次方程组的消元方法，经历从“二元”到“一元”的转化过程，体会解二元一次方程组中化“未知”为“已知”的“转化”的思想方法。学习重点探寻用加减法解二元一次的方程组的进程。学习难点消元转化的过程，灵活得对方程进行恒等变形使之便于加减消元。教学流程预习导航对于方程组可以用代入消元法求解.这个方程组的两个方程中，y 的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？这两个方程中未知数 y 的系数相同，-可消去未知数y，得，即，把代入得 y=4.另外，由-也能消去未知数 y，得即把 x=18 代入得 y=4.17 / 34想一想联系上面的解法，想一想应怎样解方程组合作探究一、新知探究：这两个方程中未知数 y 的系数互为相反数，因此由+可消去未知数 y，从而求出未知数 x 的值.从上面两个方程组的揭发可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行加减，就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。加减消元法的概念：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。点拨这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，试一试，能否对方程变形，使得来年感个方程中某个未知数的系数相反或相同。想一想本题如果用加减法消去 x 应如何解？解得结果与上面一样吗？（由学生完成）二、例题分析：1、加减消元法，解方程组18 / 342.解方程组三、展示交流：用加减法解下列方程组（1） （2）四、提炼总结：1、本节课，我们主要是学习了二元一次方程组的另一解法加减法.通过把方程组中的两个方程进行相加减，消去一个未知数，化“二元”为“一元”.2、加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么？（加减消元法解二元一次方程组的基本思想是“消元”.）3、用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？消元解二元一次方程组的步骤：二元一次方程组一元一次方程回代解一元一次方程求另一个未知数的值写出方程组的解。当堂达标 1.用加减法解下列方程组：19 / 34（1） （2）2.已知 xb+3a 和3x2ay24b 是同类项，那么 a,b的值是（）3.二元一次方程组的解中 x 与 y 互为相反数，求 a 的值.4.小明和小华同时解方程组,小明看错了 m，解得,小华看错了 n，解得,你能知道原方程组正确的解吗？课题用方程组解决问题（1）自主空间学习目标知识与技能：使学生读完题后会说题,找出等量关系过程与方法：鼓励学生主动探索。有了答案后，引导学生合作交流，择优。学习重点理解题意，找出数量关系学习难点找出等量关系教学流程预习导航国庆长假期间，某旅行社接待一日游和三日游的游客共 2200 人，收旅行费 200 万元，其中一日游每人收费 200元，三日游每人收费 1500 元。该旅行社接待的一日游和三20 / 34日游旅客个多少人？提出问题:（1）有几个未知数？几个已知量？（2）已知量和未知量之间的数量关系你能找到吗？（3）相等的关系是否明显？你找找。合作探究一、新知探究：分析预习导航的问题你能告诉我等量关系或方程吗？人数等量关系钱数相等关系板书：解：设接待一日游旅客 x 人，三日游旅客 y 人那么一日游共收费 200x 元，三日游共收费 1500y 元。由题意得解这个方程组得答：该旅行社接待一日游旅客 1000 人，三日游旅客 1200人。二、例题分析：为了保护环境，某学校环保小组成员收集废旧电池，第一天收集 5 节 1 号电池，6 节 5 号电池，总质量为 500g；第二天收集 3 节一号电池，4 节 5 号电池，总质量为21 / 34310g。一节一号电池和一节五号电池的质量分别是多少？三、展示交流：1.七年一班共 44 人，现分成甲、乙两组参加学校活动。由于需要，现从乙组调了 6 人到甲组后，甲乙两组人数相等。问原来甲乙各多少人？2.现有邮票一打，已知面值为一元和两元的，总面值为50 元，2 元的邮票比 1 元的邮票多 10 张，问面值为一元和两元的邮票各多少张？四、提炼总结：1、通过本节课的学习，你学会了哪些知识？请谈谈你的体会和收获。2、用二元一次方程组解实际问题的思路与用一元一次方程组解实际问题是一样的，包括：（1）审题，分析题目中的以知与未知；（2）找出数量关系；（3）设未知数列方程组；（4）求解方程组；（5）检验；（6）写出答案.当堂达22 / 34标 1.班上有男女同学 32 人，女生人数的一半比男生总数少 10 人，若设男生人数为 x 人，女生人数为 y 人，则可列方程为2.甲乙两数的和为 10，其差为 2，若设甲数为 x，乙数为y，则可列方程组为3.一个两位数，其个位与十位的数字之和为 6。现把十位数字与个位数字对调，产生的新的两位数比原来的两位数大 18。求原来的两位数。4.有甲乙两种电饭锅原来的单价之和为 200 元，现因市场销售情况的变化.甲商品单价降价 15%，乙商品单价提高了 40%，调价后，两种电饭锅的单价和比原来的单价和提高了%，求甲乙两种商品原来的单价各是多少元？课题用方程组解决问题（2）自主空间学习目标 1.借助“表格”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题。2.提高学生分析能力，解决问题能力，使学生感受方程的作用。学习重点找出等量关系学习难点找出等量关系教学流程预23 / 34习导航某厂生产甲、乙两种型号的产品，生产一个甲种产品需要时间 8s、铜 8g；生产一种乙种产品的型号需要时间6s、铜 16g.如果生产甲、乙两种产品共用 1h，用铜,甲、乙两种产品个生产多少个？提出问题：（1）已知数是什么？未知数是什么？（2）能找到几个等量关系？（3）单位是否一致？合作探究一、新知探究：探索解决问题的方法：你能告诉我等量关系或方程吗？分析：甲种产品 x 个乙种产品 y 个总计用时/s用彤/g问题：从表格中能找到等关系吗？解：设生产甲种产品 x 个，乙种产品 y 个24 / 34二、例题分析：为了加强公民的节水意识，合理利用水资源。某市采用价格调控手段达到节约水的目的。规定：每户居民每月用水不超过 6 时，按基本价格收费，该市某户居民今年 4、5月份的用水量和水费如下表所示，试求用水收费的两种价格。月份用水量/水费/元48215927三、展示交流：1.小丽买苹果和桔子，买 4 千克苹果和 2 千克桔子，花费 18 元；如果买 2 千克苹果和 4 千克桔子花费元，求苹果每千克多少元，桔子每千克多少元2.甲、乙两粮仓，甲运进 14t 粮食,乙运出 10t 粮食后，两个粮仓数量相等；甲运出 8t，乙运进 18t 后，乙是甲的6 倍。问甲、乙粮仓原来各有多少？四、提炼总结：1、解决实际问题，关键是理解题意，找出相等关系，建25 / 34立方程。2、想一想：你还有什么想法？当堂达标 1.学校购买 35 张电影票共用 250 元，其中甲种票每张8 元，乙种票每张 6 元，设甲种票 x 张，乙种票 y 张，则列方程组，方程组的解是2.一根木棒长 8 米，分成两段，其中一段比另一段长 1米，求这两段的长时，设其中一段为 x 米，另一段为 y 米，那么列的二元一次方程组为.3.一个矩形周长为 20cm，且长比宽大 2cm，则矩形的长为 cm，宽为 cm.枚 1 角与 5 角的硬币，共是 5 元 3 角，其中 1 角与 5 角的硬币各是多少？5.班级买票看电影，票分为甲乙两种，甲种票买了 5 张，乙种票买了 35 张，花费 125 元。现在班里有人不去看电影，于是乙种票退了 5 张，这时实际花了 110 元，问甲乙票价各是多少？26 / 34课题用方程组解决问题(3)自主空间学习目标 1、借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题。2、提高学生分析能力，解决问题能力，使学生感受方程的作用。学习重点找出等量关系学习难点找出等量关系教学流程预习导航问题：用正方形和长方形的两种硬纸片制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒（如图） 。如果长方形的宽与正方形的边长相等，150 张正方形硬纸片和 300 张长方形硬纸片可以制作甲、乙两种纸盒各多少个？硬纸片甲种纸盒乙种纸盒合作探究一、新知探究：27 / 34提出问题：（1）每个甲种纸盒要正方形硬纸片几张？（2）每个乙种纸盒要正方形硬纸片几张？（3）每个甲种纸盒要长方形硬纸片几张？（4）每个乙种纸盒要正方形硬纸片几张？解：设可制作甲种纸盒 x 个，乙种纸盒 y 个由题意得，解这个方程得答：可制作甲种纸盒 30 个，乙种纸盒 60 个.二、例题分析：某铁路桥长 1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了 1min，整列火车完全在桥上的时间共 40s.求火车的速度和长度。三、展示交流：1.小红和爷爷在 400 米环形跑道上跑步。他们从某处同时出发，如果相向而行，那么经过 200s 小红追上爷爷；如果背向而行，那么经过 40s 两人相遇，求他们的跑步速度。2.现有 100 元和 20 元的人民币共 33 张，总面额 1620 元。这两种人民币各多少元？四、提炼总结：28 / 341、解决实际问题，关键是理解题意，找出相等关系，建立方程。2、想一想：你还有什么想法？当堂达标 1.已知梯形的高是 4m,面积是 18m,梯形的上底比下底的多 1cm,求梯形上、下底的长度。2.甲乙两人一起检修一条 1000m 的煤气管道。如果甲乙合作，需要 4h。现在已突然有事，甲一人工作，共花费 10h 完成。问甲乙的检修速度各为多少？3.某人爬山，沿着相同路径，上山下山。先以 5km/h走平路，再以 3km/h 爬坡，用了 6h；返回，以 4km/h 下山，再以 2km/h 走平路，用了 8 小时。问平路和山路多长？学习反思：课题第十章的小结与思考自主空间学习目标知识与技能：29 / 34这一章的学习,使学生掌握二元一次方程组的解法.过程与方法：学会解决实际问题,体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.情感、态度与价值观：培养分析、解决问题的能力，体会方程组的应用价值，感受数学文化。学习重点这一章的知识点,数学方法思想.学习难点实际应用问题中的等量关系.教学流程预习导航 1下列各组 x,y 的值是不是二元一次方程组的解？（1） （2） （3）2.根据下表中所给的 x 值以及 x 与 y 的关系式，求出相应的 y 值，然后填入表内：x12345678910y=4xy=10-x30 / 34根据上表找出二元一次方程组的的解。3.解二元一次方程:（1）(2)4.已知二元一次方程组的解求 a,b 的值。合作探究一、新知探究：知识结构2.例题分析：例 1.对于代数式 y=kx+b,当 x=3 时，y=5；当 x=-4 时，y=-9,求当 x=-1 时 y 的值.例 2.已知方程组有相同的解，求 a、b 的值。例 3.小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数是两位数；1h 后看到里程碑上的数与第一次看到的两位数恰好颠倒了数字顺序；再过 1h 后，第三次看到的里程碑上的数字又恰好是第一次见到的数字的两位数的数字之