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初等代数 论方程 学号：200908140150 姓名：曾 祥 超 班级：09 级（1）班 内容提要 在高等代数中，以多项式和行列式的理论为基础研究了求解五次以下的一元方程和线性方程组的同解性和求解方法。 而在初等代数中，以初等函数的概念和解析式的运算为基础研究某些特殊形式的方程。 中国古代数学著作九章算术中有“方程”章，包含了很多关于方程的问题。“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”九章算术没有表示未知数的符号，而是用算筹将的系数和常数项排列成一个（长）方阵，这就是“方程”之一名称的来源。 16世纪最伟大的数学成就是发现了三次方程和四次方程的求根公式。1515年，费罗用代数方法求解三次方程。1535年塔塔利亚宣布自己发现了形如的三次方程代数解法。1545年，卡尔丹在大衍术中给出了三次方程和四次方程的解法，得到了卡尔丹公式。 （关键字）：方程 同解性 解法 正文： 一、方程的概念： （一）形如的等式叫做方程，其中是在它们定义域的交集内研究的两个解析式，且至少有一个不是常函数。中学数学教科书中通用的方程定义是含有未知数的等式。但是，形如之类的等式难以界定。给出一个可以取代的定义：方程是为了求未知数，在未知数和已知数之间建立的一种等式关系。好处在于：它揭示了方程这一数学思想方法的目标为了求未知数；陈述了“已知数”的存在，解方程需要充分利用已知数和未知数之间的关系；方程的本质是“关系”，而且是一个等式关系。 （二）形如的方程叫做二项方程，解此方程就是求的次方根。定理 如果，那么二项方程的根是。例3 解方程解：所以（三）形如的方程叫做三项方程，特别当时，得方程，称为双二次方程。 二、方程的分类： 三、同解性： 定义1 如果方程的任何一个解都是方程的解，并且方程的任何一个解也都是方程的解，那么方程和称为同解方程。两个无解方程认为是同解方程。定理1 如果，方程与方程的定义域都是数集，那么方程与方程同解。定理2 如果函数对于方程的定义域中的数都有意义，那么方程与方程同解。 定理3 如果函数对于方程的定义域中的数都有意义，并且不等于零，那么方程与方程同解。定理4 如果，那么方程的解集等于下列各个方程：的解集的并集，其中每一个解都属于这个方程的定义域的交集。四、解法：1、解方程=1。-1=（-1）（+1）（-1）（+1）=0，=1，=，= 。 三次方程的单位根。 2、解方程=a。方程可化为=1。于是=（i=0,1,2）是原方程的三个根。3、一般三次方程的解法： 设有一般三次方程，取，整理得到 两端除以得到 其中。 作变换，代入方程，整理得到要求，则变为则有，、是方程t2+qt+=0的根，解得， 从而.其中。从而得方程的解是（） 其中称为方程的判别式。（1）当时，则有一个实数和两个共轭虚根（2）当时，则有三个实数根，其中两个根相等（3）当时，则有三个相异 4、一元四次方程的解法一般三次方程的解法的思路是化为缺项的三次方程，再作变换转换为二次方程来求解。一般四次方程的解法也是转换为缺项的四次方程，再将缺项的四次方程转换为三次方程，解出三次方程后，再求出四次方程的根。5、五次及五次以上代数方程求无根公式，一般五次及五次以上方程不能用根式求解。 参考