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文档简介
平面向量的数量积 浙江省安吉县昌硕高中姚秀梅 定义 一般地 实数 与向量的积是一个向量 这种运算叫做向量的数乘运算 记作 它的长度和方向规定如下 1 2 当 0时 的方向与方向相同 当 0时 的方向与方向相反 特别地 当 0或 时 向量的加 减 数乘运算统称为向量的线形运算 对于任意的向量以及任意实数恒有 已知两个非零向量a和b 作OA a OB b 则 AOB 0 180 叫做向量a与b的夹角 O B A 向量的夹角 我们学过功的概念 即一个物体在力F的作用下产生位移s 如图 F S 力F所做的功W可用下式计算W F S cos 其中 是F与S的夹角 从力所做的功出发 我们引入向量 数量积 的概念 定义 注意 向量的数量积是一个数量 叫做向量在方向上 或向量在方向上 的投影 思考 重要性质 特别地 解 a b a b cos 5 4 cos120 5 4 1 2 10 例1已知 a 5 b 4 a与b的夹角 120 求a b 例2已知a 1 1 b 2 0 求a b 解 a 2 b 2 45 a b a b cos 2 2 cos45 2 a b的几何意义 练习 1 若a 0 则对任一向量b 有a b 0 2 若a 0 则对任一非零向量b 有a b 0 3 若a 0 a b 0 则b 0 4 若a b 0 则a b中至少有一个为0 5 若a 0 a b b c 则a c 6 若a b a c 则b c 当且仅当a 0时成立 7 对任意向量a有 二 平面向量的数量积的运算律 数量积的运算律 注 则 a b c ON c OM MN c OM c MN c a c b c O N M a b b a c 向量a b a b在c上的射影的数量分别是OM MN ON 证明运算律 3 例3 求证 1 a b 2 a2 2a b b2 2 a b a b a2 b2 证明 1 a b 2 a b a b a b a a b b a a b a a b b b a2 2a b b2 证明 2 a b a b a b a a b b a a b a a b b b a2 b2 例4 的夹角为 变式 求 变式 当且仅当k为何值时 垂直 思考 用向量方法证明 直径所对的圆周角为直角 如图所示 已知 O AB为直径 C为 O上任意一点 求证 ACB 90 分析 要证 ACB 90 只须证向量 即 解 设则 由此可得 即 ACB 90 小结 作业
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