求导积分与微分方程数值解(第1次课).ppt

内容 本讲针对一元微积分学补充极限 导数 积分相关运算 介绍Funtool符号计算器目的 学习极限 导数 积分相关函数的指令实现 为学习微分方程数值解作准备要求 能够解决高等数学中的极限 导数 积分求解问题 了解并会使用Funtool符号计算器掌握极限 左 右极限 函数limit掌握导数 1阶导 高阶导 偏导 函数diff掌握积分 不定积分 定积分 数值积分 函数inttrapzquadquadlquad8 第三讲极限 导数 积分 补充 求极限 求导数与求积分 极限 导数 积分是我们在高等数学学习中接触过的最基本也是最重要的概念 一方面它们是很多数学工具的基础 比如微分方程 另一方面它们又是工程计算和科学研究直接面对的问题 微分 导数 运算比较简单 任何一个由基本初等函数经过四则及复合运算构成的函数 都可以用导数公式和求导法则算出它们的导数 积分运算则相对复杂得多 仍有许多函数 积不出来 由于它们的原函数无法由基本初等函数经过四则及复合运算构成 计算这类定积分问题我们也只能采用数值方法 借助MATLAB我们得以快速解决这些问题 基本调用格式 limit f 功能 计算limit f x a 功能 计算limit f x inf 功能 计算limit f x a right 功能 计算limit f x a left 功能 计算 求极限运算的调用格式 注意 默认x趋于0 在左 右极限不相等 或有一个不存在时 默认为求右极限 求极限运算的应用示例 应用示例 熟悉应用类型 例1求极限symsx y 1 tan x 1 sin x 1 x 3 limit y 例2求极限symsn y 1 1 n n limit y n inf 例3求极限symsx y 5 x log sin x exp sin x limit y x 3 left 求导数运算的调用格式 1 一元函数求导基本调用格式 diff f 功能 求函数f的一阶导数diff f n 功能 求函数f的n阶导数应用示例 例4求的一阶 二阶导数symsabx y a x tan 3 x 1 2 sin x cos b x d1y diff y disp pretty d1y disp d2y diff y 2 disp pretty d2y 求导数运算的调用格式 2 多项式拟合求导 表达式未知或不易求导 方法说明 先利用polyfit将函数拟合成多项式函数 然后利用多项式函数求导命令polyder求导或diff求导应用示例 例5用5阶多项式拟合函数并求x 2处的二阶导函数值x 0 1 8 y cos x log 3 x 2 exp x 2 p polyfit x y 5 y2 polyval p x plot x y b x y2 r legend y y2 2 产生数据点 拟合成5阶多项式函数 并作图比较p1 polyder p p2 polyder p1 ans1 polyval p2 2 利用多项式函数专用求导函数polyder求导 并代值y2 poly2sym p x y2d2 diff y2 2 ans2 subs y2d2 2 利用通用求导函数diff求导 并代值 求导数运算的调用格式 3 参数方程求导方法说明 对参数方程x x t y y t 先求出dy dt和dx dt然后代入公式dy dx dy dt dx dt即可应用示例 例6求参数方程symst x t 1 sin t y t cos t ezplot x y gridon dx diff x t dy diff y t dydx dy dx pretty dydx 下面在t 4 1处作出参数方程的切线 导数 holdon t 4 1 x eval x y eval y plot x y ro k eval dydx line x x 1 y y k color r 求导数运算的调用格式 4 多元函数求导方法说明 对指定变量求导 求偏导数应用示例 例7求对z的偏导数symsabxyz u a exp b x y z 2 pretty diff u z 例8对symsxy z x 3 y 2 sin x y diff z x 3 求导数运算的应用示例 例9以为例验证罗必塔法则 symsabxf a x b x g x l1 limit f g x 0 df diff f x dg diff g x l2 limit df dg x 0 ifl1 l2disp 罗必塔法则得到验证 end 求不定积分运算的调用格式 1 不定积分方法说明 int f 对默认变量积分 int f v 对指定变量积分应用示例 例10计算symsx y 1 sin x 2 cos x 2 pretty int y 例11计算symsax y 1 a 2 x 2 pretty int y x 例12计算二重不定积分symsxy F int int x exp x y x y 求定积分运算的调用格式 2 定积分 解析解法方法说明 int f x a b 依据微积分基本公式计算应用示例 例13计算symsax f sqrt x 2 a pretty int f x 2 2 例14对变上限函数求导symstx f sqrt 1 t 2 pretty diff int f t 0 x 2 求定积分运算的调用格式 3 定积分 数值解法方法说明 当定积分 符号解法失效时 必须用定积分 数值解法来近似计算定积分的值 矩形公式sum 复合梯形公式trapz 复合辛普森公式quad quad8的区别在于替代等距曲边梯形的方式不同 求定积分运算的应用示例 应用示例 sum使用一次用于求向量或矩阵每一列的和 若使用两次则先按列求和再按行求和 行列总和 例15矩形法计算在x 0与x 10之间所围面积dx 0 1 x 0 dx 10 y x 2 115 sum y 1 length x 1 dx 的近似值 求定积分运算的调用格式 trapz x y 用复合梯形公式计算定积分 x为积分变量分点向量 y为被积函数分点函数值向量quad fun a b tol trace 用复合辛普森公式计算定积分 fun为被积函数表达式字符串或m函数文件名 a b是积分下上限 tol表示精度 缺省0 001 trace 1图示积分过程 默认 0不显示 quadl采用Lobatto算法 精度和速度要优于quad quad8采用8阶NewtonCotes算法 精度优于quad 求定积分运算的应用示例 例16用两种方法求定积分x 2 1 5 y log x x 2 tt trapz x y 复合梯形公式fun inline log x x 2 x ss quad fun 2 5 复合辛普森公式 Funtool符号计算器 界面 Funtool符号计算器 功能 图形化符号函数计算器的使用 f 为图形窗口1的控制函数 其缺省值为x g 为图形窗口2的控制函数 其缺省值为1 x 为两窗口函数的自变量取值范围 缺省 2 pi 2 pi a 为常数 缺省值为1 2 df dx计算函数f对x的导法式 并赋给f intf计算函数f的积分函数 并赋给f simplef计算函数f的最简表达式 并赋给f symsx simplify cos x 2 sin x 2 simplify x 2 5 x 6 x 2 expand cos x y expand x 2 x 4 symsxy factor x 3 y 3 factor x 3 3 x 2 3 x 1 numf取表达式f的分子 并赋给f denf取表达式f的分母 并赋给f 1 f求f的倒数函数 并赋给f finv求f的反函数 并赋给f Funtool符号计算器 功能 f a计算f x a 并赋给f f a计算f x a 并赋给f f a计算f x a 并赋给f f