工科高数下册实验课第三讲.ppt

工科高等数学下册实验 东北农业大学信息与计算科学系 实验三 1 运用Mathematica计算二重积分和三重积分 2 运用Mathematica求立体的体积及曲面的面积 3 运用Mathematica计算曲线积分和曲面积分 4 绘制空间曲面的交线 二重积分 格式Integrate f x y x x1 x2 y y1 y2 例1求 例2求 其中 为曲线 所围区域 In Integrate x 2 y x 1 4 y 0 Log x Out In Plot x 2 Sqrt x x 0 2 PlotRange 1 2 AspectRatio 1 In Integrate x y x 0 1 y x 2 Sqrt x Out 三重积分 格式Integrate f x y z x x1 x2 y y1 y2 z z1 z2 例3求 其中 为 所围区域 In c1 Plot3D y 2 2 x 10 10 y 10 10 Shading False In c2 ParametricPlot3D x 4 2x 3 z x 10 10 z 10 0 Shading False In c3 ParametricPlot3D 0 y z y 10 10 z 10 0 Shading False In Show c1 c2 c3 In Clear x y z In Plot 4 2x 3 x 10 10 In Solve 4 2x 3 0 x In Integrate x 2y 3z x 0 2 y 0 4 2x 3 z y 2 2 0 Out Out 立体体积 例4求由曲面 及 所围成的 立体的体积 In a1 ParametricPlot3D u Sin v u Cos v Sqrt 2 u 2 u 0 2 v 0 2Pi In a2 ParametricPlot3D u Sin v Sqrt 2 u Cos v 6 u 2 u 0 2 v 0 2Pi In Show a1 a2 In z1 x 2 2y 2 z2 6 2x 2 y 2 Simplify z2 z1 0 Out In x r Cos t y r Sin t V Integrate z2 z1 r t 0 2Pi r 0 Sqrt 2 Out 曲面的面积 例5求球面 含在圆柱面 内的那部分的曲面的面积 In b1 ParametricPlot3D 2Sin u Cos v 2Sin u Sin v Sqrt 2 2Cos u u 0 Pi v 0 2Pi In b2 ParametricPlot3D 1 Cos u Sin u v u 0 2Pi v 2 2 In Show b1 b2 In Clear x y r t z Sqrt 4 x 2 y 2 ds Sqrt 1 D z x 2 D z y 2 x r Cos t y r Sin t Integrate 4ds r t 0 Pi 2 r 0 2Cos t Out 演示实验 例6利用二重积分的概念 从图形的角度理解 其中 曲线积分 转化为定积分 格式Integrate f x x xmin xmax 例7计算曲线积分 其中 是中心在 半径为 的上半圆周 解 的直角坐标方程为 其中 In y x Sqrt 2x x 2 dy x D y x x Integrate x 2 y x 2 Sqrt 1 dy x 2 x 0 2 Out 例8计算曲线积分 其中 是抛物线 上从 到 的一段弧 例9利用曲线积分求星形线 所围图形的面积 解 取 In Integrate 2 y 2 y 2y y 4 y 0 1 Out In ParametricPlot Cos t 3 Sin t 3 t 0 2Pi AspectRatio Automatic 利用公式 计算面积 In Clear x y dx dy x t a Cos t 3 y t a Sin t 3 dx D x t t dy D y t t s t 1 2 x t dy y t dx Integrate s t t 0 2Pi Out 空间曲面的交线 例10绘制球面 与柱面 的交线 解 柱面的参数方程为 交线必在柱面上 因此满足柱面方程 故 In Clear x y z x t 1 2 Cos t 1 y t 1 2 Sin t z t Sqrt 1 x t 2 y t 2 Simplify z t Out 该交线的参数方程为 In Clear z z t Sin t 2 ParametricPlot3D x t y t z t t 2Pi 2Pi 曲面积分 转化为二重积分 格式Integrate f x y x xmin xmax y ymin ymax 例11计算曲面积分 其中 是球面 被平面 截成的顶部 解 画出 及其在XOY面上的投影 In Clear a b c a ParametricPlot3D 2Cos u Sin v 2Cos u Cos v 2Sin u u 0 Pi 2 v 0 2Pi In b ParametricPlot3D 2Cos u Sin v 2Cos u Cos v 1 u 0 Pi 2 v 0 2Pi In c ParametricPlot3D 2Cos Pi 6 Sin v 2Cos Pi 6 Cos v 2 v 0 2Pi In Show a b c PlotRange 3 2 In ParametricPlot 2Cos Pi 6 Sin t 2Cos Pi 6 Cos t t 0 2Pi AspectRatio 1 In z x y Sqrt 4 x 2 y 2 dzx D z x y x dzy D z x y y sxy 1 z x y Sqrt 1 dzx 2 dzy 2 x r Cos t y r Sin t Integrate sxy r t 0 2Pi r 0 Sqrt 3 Out 演示实验 莫比乌斯带 莫比乌斯带的参数