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2003年全国高中数学联赛试题20031012一、 选择题1 删去正整数数列1，2，3，中的所有完全平方数，得到一个新数列.这个数列的第2003项是（A）2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 20492 设那么直线和曲线的图形是 (A) (B) (C ) (D)3 过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线. 若此直线与抛物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与轴交于P点，则线段PF的长等于 （A） (B) (C) (D) 4 若则的最大值是（A） (B) (C) (D) 5 已知在区间内，且则函数的最小值是（A） (B) (C) (D) 6 在四面体ABCD中设，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于（A） (B) (C) (D) 二、 填空题7不等式的解集是_8设是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积等于_.9. 已知 若，则实数的取值范围是_.10. 已知均为正整数，且若，则_.11. 将八个半径都为的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于_.12设是中元素的个数，是中所有元素的和，则_.三、 解答题 13 设 证明不等式 14设A,B,C分别是复数（其中都是实数）对应的不共线的三点. 证明：曲线 与中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点.15. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A, 且OA=a, 折叠纸片，使圆周上某一点刚好与A点重合. 这样的每一种折法，都留下一条直线折痕. 当取遍圆周上所有的点时，求所有折痕所在直线上点的集合.2003年全国高中数学联赛加试试题20031012一、（本题满分50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A, B. 所作割线交圆于C, D两点，C在P, D之间. 在弦CD上取一点Q, 使 求证：二、（本题满分50分）设三角形的三边长分别是整数且已知其中而表示不超过的最大整数. 求这种三角形周长的最小值.三、（本题满分50分）由n个点和这些点之间的条连线段组成一个空间四边形，其中已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有条连线段. 证明
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