线性空间与线性变换赵修改.ppt

课程概述 矩阵论 课程是专门为工科研究生开设的数学课程 矩阵论 的内容是根据国家教育部课程指导委员会关于工科研究生数学课程教学的基本要求编写而成 矩阵论 介绍的理论是现代数学的重要基础 矩阵论 是工科研究生必备的核心基础知识 是工科研究生的必修课 I 先修课程 矩阵论 主要以大学 线性代数 为先修课程 可以同济大学数学系编著的 线性代数 教材书为参考书 矩阵论 还以大学 高等数学 为先修课程 可以同济大学数学系编著的 高等数学 教材书为参考书 本课程假定读者已经学习过上述两门大学课程或已经掌握相关的知识 II 主要内容 课程主要包括以下六项内容 1 矩阵的标准形 2 线性空间与线性变换 3 内积空间 4 矩阵分析 5 矩阵的广义逆 6 特征值的估计 第1章 线性空间与线性变换 内容 线性空间的一般概念重点 空间结构和其中的数量关系线性变换重点 其中的矩阵处理方法特点 研究代数结构 具有线性运算的集合 看重的不是研究对象本身 而是对象之间的结构关系 研究的关注点 对象之间数量关系的矩阵处理 学习特点 具有抽象性和一般性 一 集合与映射集合集合 作为整体看的一堆东西 集合的元素 组成集合的事物 设S表示集合 a表示S的元素 记为读为a属于S 用记号a S表示a不属于S 集合的表示 1 列举法 5 1 1线性空间 LinearSpaces 例如空集合 不包含任何元素的集合 记为子集合 设表示两个集合 如果集合都是集合的元素 即由 那么就称的子集合 记为 相等 即 2 特征性质法 6 集合的交 集合的并 集合的和 例如 数域数域 是一个含0和1 且对加 减 乘 除 0不为除数 封闭的数集 7 例如 有理数域Q 实数域R 复数域C 映射映射 设S与S 是两个集合 一个法则 规则 它使S中的每个元素a都有中一个确定的元素a 与之对应 记为称为集合S到S 的映射 a 称为a在映射下的象 而a称为a 在映射 下的一个原象 8 变换 S到S自身的映射 例如 将方阵映射为数将数映射为矩阵可看成变换 其中相等 设都是集合S到的映射 如果对于都有 则称相等 记为 9 乘法 设依次是集合S到 的映射 乘积定义如下是S到的一个映射 注 是的映射 二 线性空间的概念线性空间 集合 两种运算 所成完美集合 ExampleR3 x x1 x2 x3 T xi R 空间中所有向量 定义向量的加法 数与向量的乘积 运算封闭八条运算律成立 线性空间 集合 两种运算 所成完美集合 Definition 线性空间或向量空间 要点 集合V与数域F向量的加法和数乘向量运算 运算之后的结果跑不出去 八条运算律 能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美 常见的线性空间 Fn X x1 x2 xn T x F 运算 向量加法和数乘向量Fm n A aij m n aij F 运算 矩阵的加法和数乘矩阵Rm n Cm n F t n f x a0 a1x a2x2 an 1xn 1 ai R 运算 多项式的加法和数乘C a b f x f x 在 a b 上连续 运算 函数的加法和数乘Example V R F R a b ab a a F R或C 不是线性空间的集合 V X x1 x2 1 T xi R 运算 向量加法和数乘向量要证明一个集合不是线性空间 定义中有很多漏洞可以攻击 线性空间的一般性的观点 线性空间的简单性质 共性 1 V中的零元素是惟一的 2 V中任何元素的负元素是惟一的 3 数零和零元素的性质 0 0 k0 0 k 0 0或k 0 4 1 数0 向量0 三 向量组的探讨 Review 向量的线性相关与线性无关 向量 可由 1 2 s线性表示 其工作可由多人合力完成 向量组 1 2 s线性无关任何一个向量不能由其余向量线性表示要使只有系数都为0向量组 1 2 s线性无关其中一个向量可以由其余向量线性表示要使必须有非零系数 三 向量组的探讨 Review 向量组的极大线性无关组 1 2 s为向量组A的一个部分组 精英组合 满足向量组 1 2 s线性无关 彼此工作不可替代 任意A的向量可以由 1 2 s线性表示 公司的任何人的工作可由精英组合完成 向量组的秩 rank 最大无关组中向量的个数 四 线性空间的基和维数 抽象的线性空间的元素称之为向量 vector 所有的线性空间中的向量的线性相关性定义和Rn一样 定义形式和向量空间Rn中的定义一样 有关性质与定理和Rn中的结果一样 因此 要研究线性空间 只需要研究它的最大线性无关组 即为基 basis 四 线性空间的基和维数 基 basis 线性空间的极大无关组 维数 dimension 基中向量的个数 常见线性空间的基与维数 Fn 自然基 e1 e2 en dimFn nRm n 自然基 Eij dimRm n m n F t 3 自然基 1 t t2 dimF t 3 3C a b 1 x x2 x3 xn 1 C a b dimC a b 约定 本书主要研究有限维线性空间 五 坐标 坐标的来历 设 1 2 n 是空间V的一组基 V 可以由基 1 2 n唯一线性表示 x1 1 x2 2 xn n则x1 x2 xn是 在基 i 下的坐标 例1 求R2 2中向量在基 Eij 下的坐标 要点 坐标与基有关坐标的表达形式 例2设空间F x 4的两组基为 1 x x2 x3 和 1 x 1 1 x 1 2 x 1 3 求f x 2 3x 4x2 x3在这两组基下的坐标 归纳 有了基 就可以将一个抽象的线性空间中的元素和一个实际的元素对应起来 从而将抽象具体化进行研究 例3设R2 2中向量组 Ai 1讨论 Ai 的线性相关性 2求向量组的秩和极大线性无关组 3把其余的向量表示成极大线性无关组的线性组合 六 基变换和坐标变换 讨论 不同的基之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系1基变换公式设空间中有两组基 过渡矩阵C的性质 C为可逆矩阵C的第i列是 i在基 i 下的坐标 则 过渡矩阵 2坐标变换公式 已知空间中两组基 满足 讨论X和Y的关系 X CY 例已知空间R中两组基 I Eij II 求从基 I 到基 II 的过渡矩阵C 求向量在基 II 的坐标Y 线性空间V与Fn的同构 坐标关系VFnV的基 1 2 n 由此建立一个一一对应关系 V X Fn X 1 2 1 2 k k 在关系 下 线性空间V和Fn同构 同构的性质 定理1 3 V中向量 1 2 n 线性相关 它们的坐标 X1 X2 Xn 在Fn中线性相关 同构保持线性关系不变 应用 借助于空间Fn中已经有的结论和方法研究一般线性空间的线性关系 1 2子空间 概述 线性空间V中 向量集合V可以有集合的运算和关系 Wi V W1 W2 W1 W2 问题 这些关系或运算的结果是否仍然为线性空间 1 子空间的概念 定义 设非空集合W V W 如果W中的元素关于V中的线性运算为线性空间 则称W是V的子空间 判别方法 ImportantTheoremW是子空间 W对V的线性运算封闭 子空间本身就是线性空间 子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方法 子空间和非子空间的例子 V x x1 x2 0 R3 V x x1 x2 1 R3 矩阵A Rm n 齐次线性方程组AX 0的解集合 S X AX 0 Rn 非齐次线性方程的解集合 M X AX b Rn 重要的子空间 生成子空间设向量组 1 2 m V 由它们的一切线性组合生成的子空间 Span 1 2 m L 1 2 m k1 1 k2 2 km m ki 生成子空间的重要的性质 1 如果 1 2 m线性无关 则其为生成子空间Span 1 2 m 的一组基 2 如果 1 2 r是向量组 1 2 m的最大线性无关组 则 Span 1 2 m 1 2 r是Span 1 2 m 的一组基 2 子空间的 交空间 与 和空间 讨论 设W1 V W2 V 且都是子空间 则W1 W2和W1 W2是否仍然是子空间 1 交空间交集 W1 W2 W1而且 W2 Vn F W1 W2是子空间 被称为 交空间 2 和空间和的集合 W1 W2 X1 X2 X1 W1 X2 W2 W1 W2 W1 W2 W1 W2是子空间 被称为 和空间 W1 W2不一定是子空间 W1 W2 W1 W2 例设R3中的子空间W1 L e1 W2 L e2 求和空间W1 W2 比较 集合W1 W2和集合W1 W2 如果W1 Span 1 2 m W2 Span 1 2 k 则W1 W2 Span 1 2 m 1 2 k 3 维数公式 子空间的包含关系 dimW1 W2 dimWi dimW1 W2 dimVn F 维数定理 dimW1 dimW2 dim W1 W2 dim W1 W2 证明 4 子空间的直和 分析 如果dim W1 W2 0 则dim W1 W2 dimW1 dimW2所以 dim W1 W2 dimW1 dimW2 dim W1 W2 0 W1 W2 0 直和的定义 若dim W1 W2 0 则和为直和W W1 W2 W1 W2 子空间的 和 为 直和 的充要 条件 Theorem设W W1 W2 则下列各条等价 1 W W1 W2 2 X W X X1 X2的表是惟一的 3 W中零向量的表示是惟一的 4 dimW dimW1 dimW2 例设在Rn n中 子空间W1 A AT A W2 B BT B 证明Rn n W1 W2 1 3线性变换 LinearTransformations 一 线性变换的概念线性变换的来历 Definition i T是V上的映射 T V V ii T具有线性性 T T T 保持加法的三角形法则 T k kT 保持比例关系 2线性变换的性质 i T 0 0 ii T T iii 3线性变换的象空间和零空间设线性变换T V V 象空间Im T V T 零空间Ker T V T 0 定义 T的秩 dimR T T的零度 dimN T 线性变换保持线性相关性不变 例 P018 Rn中的变换T 设A Rn n是一个给定的矩阵 X Rn T X AX 1 T是线性变换 2 Ker T 是AX 0的解空间 3 Im T Span a1 a2 an 其中a1是矩阵A的列向量 4 dimKer T dimIm T n 4线性变换的运算设T1 T2都是空间V中的线性变换 常见的用它们构成的新的变换 i T1 T2 V T1 T2 T1 T2 ii T1T2 V T1T2 T1 T2 iii kT V kT k T iv 若T 1是可逆变换 T 1 T 1 当且仅当T 定义 二 线性变换的矩阵 1线性变换的矩阵与变换的坐标式Purpose 将抽象的线性变换与矩阵对应起来 T的矩阵 二 线性变换的矩阵 1线性变换的矩阵与变换的坐标式V上线性变换的特点分析 定义变换T 确定基中向量的象T i 定义T i 确定它在基下 i 的坐标Ai 定义变换T 确定矩阵A A1 A2 An 例已知定义映射T 1 证明T是V上的线性变换 2 求V的一组基 并求T在这组基下的矩阵 2线性变换运算的矩阵对应 设V上的线性变换T1 T2 它们在同一组基下的矩阵 T1 A1 T2 A2 i T1 T2 A1 A2 ii T1T2 A1A2 iii kT kA iv T 1 A 1 3不同基下的变换矩阵两组基 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n CT 1 2 n 1 2 n AT 1 2 n 1 2 n B 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的 B C 1AC 1 2 3 例 P025 例1 4 6 例设单位向量u 2 3 2 3 1 3 定R3上的线性变换P x x x u u 求P在自然基 e1 e2 e3 下的变换矩阵 求P在标准正交基 u u2 u3 下的变换矩阵 2 1内积与欧氏空间InnerProduct EuclidianSpaces 内积的作用 研究高维空间中的几何问题 1Example R3上的内积定义2内积的公理化定义Definition 要点 内积 是二元运算 V V R 的公理性质 是任何满足定义的运算 讨论 1 2 k 3常见的内积空间 Rn Remark 对于同一个线性空间 可以定义不同的内积成为不同的欧氏空间Rm n 4向量的长度定义 5欧氏空间中向量的夹角 定义 0 0 夹角 定义为 cos 性质 k k 三角不等式 Cauchy不等式 V 和 正交 0 6线性空间的内积及其计算 设 1 2 n 是内积空间V的基 V 则有 x1 1 x2 2 xn n 1 2 n X y1 1 y2 2 yn n 1 2 n Y YHAX 定义内积 在一个基 1 2 n 中定义内积 定义一个度量矩阵A 度量矩阵A 度量矩阵的性质 2 2标准正交基OrthogonalBasis 1正交的向量组 定义 1 2 n 为正交组 i j 0性质 不含零向量的正交向量组线性无关 2标准正交基基 1 2 n 是标准正交基 i j 要点 是基 两两正交 每一个向量是单位向量 标准正交基的优点 度量矩阵是单位矩阵 即A I 1 2 n X 1 2 n Y YHX x1 1 x2 2 xn n xi i 和 正交 其坐标X和Y