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2009:二、求证不等式:, 2008:三、(本题满分50分)设,。证明:当且仅当时,存在数列满足以下条件:(),;()存在;(),。证 必要性:假设存在满足(),(),(iii)注意到()中式子可化为 , 其中将上式从第1项加到第项,并注意到得 10分由()可设,将上式取极限得 ,因此 20分充分性:假设定义多项式函数如下:,则在0,1上是递增函数,且,因此方程在0,1内有唯一的根,且,即 30分下取数列为,则明显地满足题设条件(),且 因,故,因此,即的极限存在,满足() 40分最后验证满足(),因,即,从而 综上,存在数列满足(),(),() 50分2006:在此记号系统下,原方程组的第一个方程为 (3.1) 于是2005:2004:2002:二、(本题满分50分)实数和正数使得有三个实根,且满足:;。求证:。解: f(x)=f(x)-f(x3)=(x-x3)x2+(a+x3)x+x32+ax3+b x1,x2是方程x2+(a+x3)x+x32+ax3+b的两个根 x2-x1=l (a+x)2-4(x32+ax3+b)= l23x32+2ax3+l2+4b-a2=0x3(x1+x2) () 且 4a2-12b-3l20 () 10分 f(x)=x3+ax2+bx+c = 20分 f(x3)=0 () 由()得 记p=,由() 和()可知p且 令 y=,则y0且 30分 =0 40分 取a=2,b=2,c=0,l=2,则f(x)=x3+ax2+bx+c有根,0 显然假设条件成立,且 综上所述,的最大值是 50分2001:二、设(),且,求的最大值与最小值。解:先求最小值,因为1等号成立当且仅当存在i使得xi1,xj0,ji 最小值为1 10分再求最大值,令 设, 令 则 30分 令0,则 由
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