《圆的证明与计算》 专 题

精品文档 1欢迎下载 20122012 中考数学复习中考数学复习 圆的证明与计算圆的证明与计算 专专 题题 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题 此题完成情况的好坏对解决后面问题的 发挥有重要的影响 所以解决好此题比较关键 一 考点分析 一 考点分析 1 圆中的重要定理 1 圆的定义 主要是用来证明四点共圆 2 垂径定理 主要是用来证明 弧相等 线段相等 垂直关系等等 3 三者之间的关系定理 主要是用来证明 弧相等 线段相等 圆心角相等 4 圆周角性质定理及其推轮 主要是用来证明 直角 角相等 弧相等 5 切线的性质定理 主要是用来证明 垂直关系 6 切线的判定定理 主要是用来证明直线是圆的切线 7 切线长定理 线段相等 垂直关系 角相等 2 圆中几个关键元素之间的相互转化 弧 弦 圆心角 圆周角等都可以通过相等 来互相转化 这在圆中的证明和计算中经常用到 二 考题形式分析 二 考题形式分析 主要以解答题的形式出现 圆与相似 圆与面积 圆与切线 动态圆 三 解题秘笈 三 解题秘笈 1 1 判定切线的方法 判定切线的方法 1 若切点明确 则若切点明确 则 连半径 证垂直连半径 证垂直 常见手法有 全等转化 平行转化 直径转化 中线转化等 有时可通过计算结合相 似 勾股定理证垂直 2 若切点不明确 则若切点不明确 则 作垂直 证半径作垂直 证半径 常见手法 角平分线定理 等腰三角形三线合一 隐藏角平分线 总而言之 要完成两个层次的证明 直线所垂直的是圆的半径 过圆上一点 直 线与半径的关系是互相垂直 在证明中的关键是要处理好弧 弦 角之间的相互转化 要善 于进行由此及彼的联想 要总结常添加的辅助线 2 2 与圆有关的计算 与圆有关的计算 计算圆中的线段长或线段比 通常与勾股定理 垂径定理与三角形的全等 相似等知 识的结合 形式复杂 无规律性 分析时要重点注意观察已知线段间的关系 选择定理进 行线段或者角度的转化 特别是要借助圆的相关定理进行弧 弦 角之间的相互转化 找 出所求线段与已知线段的关系 从而化未知为已知 解决问题 其中重要而常见的数学思 想方法有 1 1 构造思想 构造思想 如 构建矩形转化线段 构建 射影定理 基本图研究线段 已 知任意两条线段可求其它所有线段长 构造垂径定理模型 弦长一半 弦心距 半径 构造勾股定理模型 构造三角函数 2 2 方程思想 方程思想 设出未知数表示关键线段 通过线段之间的关系 特别是发现其中的 相等关系建立方程 解决问题 3 3 建模思想 建模思想 借助基本图形的结论发现问题中的线段关系 把问题分解为若干基本 图形的问题 通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论 进而找出隐藏的线段 之间的数量关系 精品文档 2欢迎下载 四 范例讲解 四 范例讲解 一 圆与相似 一 圆与相似 1 本小题满分 8 分 2011 山东滨州 22 8 分 如图 直线PM切 O 于点 M 直线PO交 O 于A B两点 弦 AC PM 连接OM BC 求证 1 ABC POM 2 2 2OAOP BC A 2 2 2011 山东日照 本题满分 9 分 如图 AB是 O的直径 AC是弦 CD是 O的切 线 C为切点 AD CD于点D 求证 1 AOC 2 ACD 2 AC2 AB AD 3 3 2011 山东烟台 25 12 分 已知 AB是 O的直径 弦CD AB于点G E是直线AB上一动点 不与点A B G重 合 直线DE交 O于点F 直线CF交直线AB于点P 设 O的半径为r 1 如图 1 当点E在直径AB上时 试证明 OE OP r2 2 当点E在AB 或BA 的延长线上时 以如图 2 点E的位置为例 请你画出符合 题意的图形 标注上字母 1 中的结论是否成立 请说明理由 A B C D E F P OG 图 1 A B C D E OG 图 2 精品文档 3欢迎下载 二 圆与面积 二 圆与面积 4 2011 东营 如图 已知点 A B C D 均在已知圆上 AD BC BD 平分 ABC BAD 120 四边形 ABCD 的周长为 15 1 求此圆的半径 2 求图中阴影部分的面积 5 2011 山东莱芜 10 分 如图 AB是 O的直径 弦DE垂直平分半径OA C为垂足 DE 3 连接BD 过点E作EM BD 交BA的延长线于点M 1 求 O的半径 2 求证 EM是 O的切线 3 若弦DF与直径AB相交于点P 当 APD 45 时 求图中阴影部分的面积 6 2011 临沂 如图 以 O 为圆心的圆与 AOB 的边 AB 相切于点 C 与 OB 相交于点 D 且 OD BD 己知 sinA AC 2 521 1 求 O 的半径 2 求图中阴影部分的面枳 7 2011 山东枣庄 本题满分 8 分 如图 点在的直径的延长线上 点在上 且AC CD ACD 120 DO ABCO AM D E CO PB F 精品文档 4欢迎下载 APCOB ED 1 求证 是的切线 CDO 2 若的半径为 2 求图中阴影部分的面积 O 三 圆与切线 三 圆与切线 8 8 2011 山东菏泽 本题 10 分 如图 BD为 O的直径 AB AC AD交BC 于点E AE 2 ED 4 1 求证 ABE ADB 2 求AB的长 3 延长DB到F 使得BF BO 连接FA 试判断直线FA与 O的位置关系 并说明理由 第 18 题图 F D O C E B A 9 9 2011 山东聊城 8 分 如图 AB是半圆的直径 点O是圆心 点C是OA的中点 CD OA交半圆于点D 点E是的中点 连接AE OD 过点D作DP AE交BA的延长线于 BD 点P 1 求 AOD的度数 2 求证 PD是半圆O的切线 1010 20112011 山东淄博 山东淄博 9 分 已知 ABC 是边长为 4 的等边三角形 点 O 在边 AB 上 O 过点 B 且分别与边 AB BC 相交于点 D E EF AC 垂足为 F 1 求证 直线 EF 是 O 的切线 2 当直线 DF 与 O 相切时 求 O 的半径 四 圆与新题型 四 圆与新题型 1111 20112011 山东德州 山东德州 本题满分本题满分 1010 分分 第 23 题图 精品文档 5欢迎下载 观察计算 当 时 与的大小关系是 5a 3b 2 ab ab 当 时 与的大小关系是 4a 4b 2 ab ab 探究证明 如图所示 为圆O的内接三角形 为直径 过C作于D 设 ABC ABCDAB ADa BD b 1 分别用表示线段OC CD a b 2 探求OC与CD表达式之间存在的关系 用含a b的式子表示 归纳结论 根据上面的观察计算 探究证明 你能得出与的大小关系是 2 ab ab 实践应用 要制作面积为 1 平方米的长方形镜框 直接利用探究得出的结论 求出镜框周长的最小 值 五 圆与动点 五 圆与动点 1212 2011 山东济宁 10 分 如图 在平面直角坐标系中 顶点为 的抛物线41 交轴于点 交轴于 两点 点在点的左侧 已知点坐标为yAxBCBCA 03 1 求此抛物线的解析式 2 过点作线段的垂线交抛物线于点 如果以点为圆心的圆与直线BABDC 相切 请判断抛物线的对称轴 与 有怎样的位置关系 并给出证明 BDlC 3 已知点是抛物线上的一个动点 且位于 两点之间 问 当点运动到PACP 什么位置时 的面积最大 并求出此时点的坐标和的最大面积 PAC PPAC AB C OD 精品文档 6欢迎下载 A x y B OC D 第 23 题 1313 20112011 山东德州 山东德州 本题满分本题满分 1212 分分 在直角坐标系xoy中 已知点P是反比例函数 图象上一个动点 以P为圆心的圆始终与y轴相切 设切点为A 0 32 x x y 1 如图 1 P运动到与x轴相切 设切点为K 试判断四边形OKPA的形状 并说明 理由 2 如图 2 P运动到与x轴相交 设交点为B C 当四边形ABCP是菱形时 求出点A B C的坐标 在过A B C三点的抛物线上是否存在点M 使 MBP的面积是菱形ABCP面积 的 若存在 试求出所有满足条件的M点的坐标 若不存在 试说明理由 2 1 A P 2 3 y x x y K O 图 1 精品文档 7欢迎下载 1 答案 证明 1 直线 PM 切 O 于点 M PMO 90 1 分 弦 AB 是直径 ACB 90 2 分 ACB PMO 3 分 AC PM CAB P 4 分 ABC POM 5 分 2 ABC POM 6 分 ABBC POOM 又 AB 2OA OA OM 7 分 2OABC POOA 8 分 2 2OAOP BC A 2 2 答案 答案 本题满分 9 分 证明 1 CD是 O的切线 OCD 90 即 ACD ACO 90 2 分 OC OA ACO CAO AOC 180 2 ACO 即 AOC ACO 90 4 分 2 1 由 得 ACD AOC 0 即 AOC 2 ACD 5 分 2 1 2 如图 连接BC AB是直径 ACB 90 6 分 在 Rt ACD与 RtACD中 AOC 2 B B ACD ACD ABC 8 分 即AC2 AB AD 9 分 AC AD AB AC 3 解 1 证明 连接FO并延长交 O于Q 连接DQ FQ是 O直径 FDQ 90 QFD Q 90 CD AB P C 90 Q C QFD P FOE POF FOE POF OE OP OF2 r2 OEOF OFOP 2 解 1 中的结论成立 理由 如图 2 依题意画出图形 连接FO并延长交 O于M 连接CM FM是 O直径 FCM 90 M CFM 90 CD AB E D 90 M D CFM E POF FOE POF FOE OE OP OF2 r2 OPOF OFOE 4 解答 解 1 AD BC BAD 120 ABC 60 又 BD 平分 ABC ABD DBC ADB 30 精品文档 8欢迎下载 BCD 60 AB AD DC DBC 90 又在直角 BDC 中 BC 是圆的直径 BC 2DC BC BC 15 3 2 BC 6 此圆的半径为 3 2 设 BC 的中点为 O 由 1 可知 O 即为圆心 连接 OA OD 过 O 作 OE AD 于 E 在直角 AOE 中 AOE 30 OE OA cos30 3 3 2 S AOD 3 1 2 3 3 2 9 3 4 S阴影 S扇形 AOD S AOD 60 32 360 9 3 4 3 2 9 3 4 6 9 3 4 5 答案 解 连结 OE DE垂直平分半径OA OC 11 22 OAOE 13 22 CEDE OEC 30 3 2 3 cos303 2 EC OE 2 由 1 知 AOE 60 AA AEAD 1 30 2 BAOE BDE 60 BD ME MED BDE 60 MEO 90 EM 是 O 的切线 3 连结 OF DPA 45 EOF 2 EDF 90 90133 33 242 EOFEOF SSS 2 阴影扇形 3 360 6 解答 解 1 连接 OA 以 O 为圆心的圆与 AOB 的边 AB 相切于点 C 精品文档 9欢迎下载 CO AB sinA 2 5 AC 21 假设 CO 2x AO 5x 4x2 21 25x2 解得 x 1 CO 2 O 的半径为 2 2 O 的半径为 2 DO 2 DO DB BO 4 BC 2 3 2CO BO O BC CBO 30 COD 60 图中阴影部分的面枳为 S OCB S扇形 COD 2 2 2 1 23 60 22 3603 2 3 7 本题满分 8 分 1 证明 连结OC CDAC 120ACD 30AD 2 分 OCOA 230A 290OCDACD CD是O 的切线 4 分 2 解 A 30o 1260A 2 602 360 OBC S 扇形 6 分 2 3 在 Rt OCD中 tan602 3CDOC Rt 11 2 2 32 3 22 OCD SOCCD 图中阴影部分的面积为 32 8 分 2 3 8 8 答案 答案 解 1 证明 AB AC ABC C C D ABC D 又 BAE EAB ABE ADB 3 分 2 ABE ADB ABAE ADAB 2 24 2 12ABAD AEAEEDAE AB 6 分2 3 1 直线FA与 O相切 理由如下 连接OA BD为 O的直径 BAD 90 222 12 24 4 3BDABAD BF BO 1 2 3 2 BD 精品文档 10欢迎下载 AB 2 3 90oBFBOABOAF 可证 直线FA与 O相切 9 1 解 点 C 时 OA 的中点 OC OA OD 1 2 1 2 CD OA OCD 90 在 Rt OCD 中 cos COD 1 2 OC OD COD 60 即 AOD 60 2 证明 连结 OE 点E是的中点 BD AA DEBE BOE DOE DOB 180 COD 180 60 60 1 2 1 2 1 2 OA OE EAO AEO 又 EAO AEO EOB 60 EAO 30 PD AE P EAO 30 由 1 知 AOD 60 PDO 180 P POD 180 30 60 90 PD 是半圆 O 的切线 10 10 答案答案 解 1 证明 连接 OE 则 OB OE ABC 是等边三角形 ABC C 60 OBE 是等边三角形 OEB C 60 OE AC EF AC EFC 90 OEF EFC 90 EF 是 O 的切线 2 连接 DF DF 是 O 的切线 ADF 90 设 O 的半径为 r 则 BE r EC AD 4r 42r 在 Rt ADF 中 A 60 AF 2AD 84r FC 48444rr 在 Rt CEF 中 C 60 EC 2FC 2 4r 44r 解得 O 的半径是 4 3 r 4 3 1111 本题满分 本题满分 1010 分 分 观察计算 2 分 2 ab ab 2 ab ab 探究证明 1 2ABADBDOC 3 分 2 ab OC AB 为 O直径 90ACB 精品文档 11欢迎下载 90AACD 90ACDBCD A BCD 4 分ACDCBD ADCD CDBD 即 2 CDAD BDab 5 分CDab 2 当时 ab OCCD 2 ab ab 时 6 分ab OCCD 2 ab ab 结论归纳 7 分 2 ab ab 实践应用 设长方形一边长为米 则另一边长为米 设镜框周长为l米 则x 1 x 9 分 1 2 lx x 1 44x x 当 即 米 时 镜框周长最小 1 x x 1x 此时四边形为正方形时 周长最小为 4 米 10 分 12 1 解 设抛物线为 2 4 1ya x 抛物线经过点 0 3 A 2 3 04 1a 1 4 a 抛物线为 3 分 22 11 4 123 44 yxxx 2 答 与 相交 4 分lC 证明 当时 2 1 4 10 4 x 1 2x 2 6x 为 2 0 为 6 0 BC 22 3213AB 设 与相切于点 连接 则 CBDECE90BECAOB 90ABD 90CBEABO 又 90BAOABO BAOCBE AOB BEC 6 分 CEBC OBAB 62 213 CE 8 2 13 CE 抛物线的对称轴 为 点到 的距离为 2 l4x Cl 抛物线的对称轴 与 相交 7 分lC 3 解 如图 过点作平行于轴的直线交于点 PyACQ 可求出的解析式为 8AC 1 3 2 yx 精品文档 12欢迎下载 分 设点的坐标为 则点的坐标为Pm 2 1 23 4 mm Q m 1 3 2 m 22 1113 3 23 2442 PQmmmmm 22 113327 6 3 24244 PACPAQPCQ SSSmmm 当时 的面积最大为 3m PAC 27 4 此时 点的坐标为 3 10P 3 4 分 1313 本题满分 本题满分 1212 分 分 解 1 P分别与两坐标轴相切 PA OA PK OK PAO OKP 90 又 AOK 90 PAO OKP AOK 90 四边形OKPA是矩形 又 OA OK 四边形OKPA是正方形 2 分 2 连接PB 设点P的横坐标为x 则其纵坐标为 x 32 过点P作PG BC于G 四边形ABCP为菱形 BC PA PB PC PBC为等边三角形 在 Rt PBG中 PBG 60 PB PA x PG x 32 sin PBG 即 PB PG 2 3 3 2 x x 解之得 x 2 负值舍去 PG PA BC 2 4 分3 A x y B O htt p w w w gz sx w ne t C D 第 23 题 E P Q O A P 2 3 y x x y BC 图 2 G M 精品文档 13欢迎下载 易知四边形OGPA是矩形 PA OG 2 BG CG 1 OB OG BG 1 OC OG GC 3 A 0 B 1 0 C 3 0 6 分3 设二次函数解析式为 y ax2 bx c 据题意得 解之得 a b c 0 930 3 abc abc c 3 3 4 3 3 3 二次函数关系式为