三角函数化简求值证明技巧

精品文档 1欢迎下载 第三讲 1 三角函数的化简 计算 证明的恒等变形的应用技巧 1 网络 精品文档 2欢迎下载 2 2 三角函数变换的方法总结 三角函数变换的方法总结 1 1 变换函数名 变换函数名 对于含同角的三角函数式 通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导 公式 通过 切割化弦 切割互化 正余互化 等途径来减少或统一 所需变换的式子中函数的种类 这就是变换函数名法 它实质上是 归一 思 想 通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径 例例 1 1 已知 同时满足和 且 a b 均不为 0 求 a b 的关系 练习 已知 sin cos 求的值 2 2 变换角的形式 变换角的形式 对于含不同角的三角函数式 通常利用各种角之间的数值关系 将它们互 相表示 改变原角的形式 从而运用有关的公式进行变形 这种方法主要是角 的拆变 它应用广泛 方式灵活 如 可变为 2 可变为 精品文档 3欢迎下载 2 可变为 2 可看作 4 的倍角 45 可看成 90 2 的半角等等 例例 2 2 求 sin 75 cos 45 cos 15 的 值 练习 已知 求的值 例例 3 3 已知 sin sin 其中 cos A 试证明 tan 提示 sin sin 3 3 以式代值 以式代值 利用特殊角的三角函数值以及含有 1 的三角公式 将原式中的 1 或其他特 殊值用式子代换 往往有助于问题得到简便地解决 这其中以 1 的变换为最 常见且最灵活 1 可以看作是 sin2x cos2x sec2x tan2x csc2x 精品文档 4欢迎下载 cot2x tanxcotx secxcosx tan45 等 根据解题的需要 适时地将 1 作某种变形 常能获得较理想的解题方法 例例 4 4 化简 4 4 和积互化 和积互化 积与和差的互化往往可以使问题得到解决 升幂和降次实际上就是和积互 化的特殊情形 这往往用到倍 半角公式 例例 5 5 解三角方程 sin2x sin22x sin23x 5 5 添补法 添补法 精品文档 5欢迎下载 与代数恒等变换一样 在三角变换中有时应用添补法对原式作一定的添项 裂项会使某些问题很便利地得以解决 将原式 配 上一个因子 同时除以这 个式子也是添补法的一种特殊情形 例例 6 6 求证 6 6 代数方法 代数方法 三角问题有时稍作置换 用各种代数方法对三角函数式作因式分解 等量 置换等的变形 从而将三角问题转换成代数问题来解 而且更加简捷 这其中 有设元转化 利用不等式等方法 例例 7 7 锐角 满足条件 则下列结论中正确的是 A B C D 精品文档 6欢迎下载 7 7 数形结合 数形结合 有的三角变换问题蕴含着丰富的几何直观 此时若能以数思形 数形渗透 两者交融 则可开辟解题捷径 利用单位圆 构造三角形 利用直线 曲线的 方程等方法都是数形结合的思想 例例 9 9 已知 求的值 5 5 非特殊角的化简 求值问题的解题方法探究非特殊角的化简 求值问题的解题方法探究 非特殊角的化简求值是给角求值中一类常见的三角求值类型 对于此类求 值问题 由于涉及到的三角公式及其变形灵活多样 因而如何利用三角公式迅 速准确的求值应是解决这类问题的重点 现在我们通过一个题目的解法探寻 体会非特殊角三角函数的求法 题目题目 求求的值 的值 练习 1 若 则的值为 A B C D 精品文档 7欢迎下载 2 函数的值域是 A B C D 3 已知等腰三角形顶角的余弦值等于 则这个三角形底角的正弦值为 A B C D 4 等于 A 1 B 1 C 2 D 2 2 辅助角公式及其应用 辅助角公式 对于形如 y asinx bcosx 的三角式 可变形如下 y asinx bcosx abx a ab x b ab 22 2222 sincos 1 1 求周期求周期 例例 1 1 求函数的最小正周期 yxxx 2 44 32cos cos sin 精品文档 8欢迎下载 2 2 求最值求最值 例例 2 2 已知函数 f x cos4x 2sinxcosx sin4x 若 求 f x 的最大值和最小值 x 0 2 3 3 求值域求值域 例例 4 4 求函数f x k x k xx cos cos sin 61 3 2 61 3 22 3 3 2 的值域 xR kZ 4 4 图象对称问题图象对称问题 例例 6 6 如果函数 y sin2x acos2x 的图象关于直线 x 对称 那么 a 8 A B C 1 D 12 2 5 5 图象变换图象变换 例例 7 7 已知函数该函数的图象可由的 Rx 1xcosxsin 2 3 cos 2 1 y 2 yx xR sin 图象经过怎样的平移和伸缩变换得到 精品文档 9欢迎下载 6 6 求值求值 例例 8 8 已知函数 f x sinxcosx 设 0 f 求xsin3 2 2 2 3 4 1 sin 的值 7 7 求系数求系数 例例 9 9 若函数 f x 的最大值为 2 试确定常数 a 的值 2 x cos 2 x sina x 2 sin 4 x2cos1 8 8 解三角不等式解三角不等式 例例 10 10 已知函数 f x s