江苏专转本高等数学第八章第七节方向导数与梯度.ppt

1 29 三 梯度的概念 一 问题的提出 二 方向导数的定义 四 小结思考题 第七节方向导数与梯度 2 29 一 问题的提出 回顾 一元函数 函数值在点x0处沿x轴方向增大 二元函数 函数值在点P x0 y0 处沿x轴方向增大 函数值在点P x0 y0 处沿x轴方向减小 函数值在点x0处沿x轴方向减小 3 29 函数值在点P x0 y0 处沿y轴方向增大 函数值在点P x0 y0 处沿y轴方向减小 二元函数 问题 二元函数在点P x0 y0 处沿其它射线方向的变化率如何 4 29 讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题 二 方向导数的定义 如图 l的参数方程 5 29 记为 1 定义 6 29 2 说明 1 对方向导数 以下两种定义方式等价 7 29 自己推导 综上 可知 若某点偏导数存在 能保证该点沿x y轴的四个射线方向的方向导数分别存在 其它方向的方向导数是否存在不能保证 反例 8 29 2 方向导数的存在及计算 方向导数何时存在 以及与偏导数有何关系 有如下定理 证明 由假设 则 9 29 2 推广可得三元函数方向导数的定义 或 同理当函数在该点可微时 函数在该点沿任意方向的方向导数都存在且有 10 29 解 11 29 例2 教材习题8 7P51第3题 思考 取正号可否 解 12 29 13 29 解 令 故 方向余弦为 14 29 故 15 29 三 梯度的概念 问题 实例 一块长方形的金属板 四个顶点的坐标分别是 1 1 5 1 1 3 5 3 在坐标原点处有一个火焰 它使金属板受热 假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比 在 3 2 处有一个蚂蚁 问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点 问题的实质 应沿由热变冷变化最骤烈的方向 即梯度方向 爬行 16 29 注 梯度是定义域所在空间 坐标系 内的一个向量 17 29 其中 18 29 结论 函数在某点的梯度是个向量 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向 它的模等于方向导数的最大值 梯度的模为 19 29 在几何上表示一个曲面 曲面被平面所截得 所得曲线在xoy面上投影如图 等值线 梯度为等值线上的法向量 2 梯度的几何意义 20 29 事实上 若 不同时为零 则等值线 可视为 则法向量为 与梯度方向相同 21 29 等值线的画法 22 29 例如 23 29 梯度与等值线的关系 即梯度的几何意义 24 29 类似于二元函数 此梯度也是一个向量 其方向的方向导数取得最大值 其模为方向导数的最大值 梯度的概念可以推广到三元函数 25 29 26 29 解 由梯度计算公式得 故 27 29 1 方向导数的概念 2 梯度的概念 3 方向导数与梯度的关系 注意方向导数与一般所说偏导数的区别 注意梯度是一个向量 四 小结 即该点方向导数取最大值的方向 28 29 思考题 思考题解答 29 29 返回 30 29 等值线的画法 31 29 等值线的画法 32 29 等值线的画法 33 29 等值线的画