高中数学第一章立体几何初步1.2点、线、面之间的位置关系1.2.3.2平面与平面垂直课件新人教B版必修2.ppt

第二课时平面与平面垂直 1 理解平面与平面垂直的定义 2 通过直观感知 操作确认 归纳出空间中面面垂直的有关判定方法及性质 3 掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理 并能利用以上定理解决空间中的垂直问题 1 2 3 1 平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直 又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直 就称这两个平面互相垂直 1 2 3 2 平面与平面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线 则两个平面互相垂直 1 2 3 做一做1 1 在正方体ABCD A1B1C1D1中 与平面ACC1A1垂直的平面是 A 平面AA1B1BB 平面BCC1B1C 平面ABCDD 平面AA1D1D解析 因为BD AC 且BD A1A 所以BD 平面ACC1A1 又因为BD 平面ABCD 所以平面ABCD 平面ACC1A1 答案 C 1 2 3 做一做1 2 在空间四边形ABCD中 若AB BC AD CD E为对角线AC的中点 下列判断正确的是 A 平面ABD 平面BDCB 平面ABC 平面ABDC 平面ABC 平面ADCD 平面ABC 平面BED 1 2 3 解析 如图所示 连接BE DE BD AB BC AD CD E是AC的中点 BE AC DE AC 答案 D 1 2 3 3 平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 1 2 3 做一做2 设平面 平面 且 l 直线a 直线b 且a不与l垂直 b不与l垂直 则a与b A 可能垂直 不可能平行B 可能平行 不可能垂直C 可能垂直 也可能平行D 不可能垂直 也不可能平行解析 若a l b l 则a b 但a与b不可能垂直 答案 B 证明线面垂直 面面垂直的主要方法剖析 1 证明线面垂直的方法 利用线面垂直的定义 利用推论 a b a b 利用结论 a a 利用面面垂直的性质 l a a l a 2 证明面面垂直的方法 利用定义 利用判定定理 若一个平面经过另一个平面的垂线 则这两个平面互相垂直 归纳总结关于垂直问题的论证中要注意线线垂直 线面垂直 面面垂直的相互转化 每一种垂直的判定都是从某一种垂直开始转向另一种垂直 最终达到目的 其转化关系如下图所示 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 例1 下列命题不正确的是 A 若l m l m 则 B 若l m l m 则 C 若 则 D 若l m l m 则 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解析 借助于长方体模型找出错误的选项 如图 AB B1C1 AB 平面ABCD B1C1 平面A1B1C1D1 但是平面ABCD 平面A1B1C1D1 所以B项不正确 答案 B 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思关于位置关系的判断题 如果以选择题的形式出现 通常借助于几何模型利用排除法来解决 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练1 对于直线m n和平面 能得出 的一个条件是 A m n m n B m n m n C m n n m D m n m n 答案 C 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 分析 图形中的垂直关系较少 不妨考虑利用定义法证明 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 证明 取BD的中点为E 连接AE CE 因为CB CD AB AD 所以AE BD CE BD 则有BD 平面AEC 又因为AC a 所以AE2 CE2 AC2 所以AE CE 又因为AE CE分别是平面AEC与平面ABD 平面BCD的交线 所以平面ABD 平面BCD 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直 判定的方法是 1 证明第三个平面与两个相交平面的交线垂直 2 证明这两个相交平面与第三个平面的交线垂直 3 根据定义 这两个平面互相垂直 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练2 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求证 平面ABC1D1 平面A1B1CD 证明 如图 平面ABC1D1 平面A1B1CD MN 因为AB 平面BCC1B1 而AB MN 所以MN 平面BCC1B1 又平面ABC1D1 平面BCC1B1 BC1 平面A1B1CD 平面BCC1B1 B1C 且BC1 B1C 故平面ABC1D1 平面A1B1CD 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 例3 如图 已知PA O所在的平面 AB是 O的直径 C是 O上任意一点 求证 平面PAC 平面PBC 分析 先证明BC是平面PAC的垂线 再利用面面垂直的判定定理解决 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 证明 因为AB是 O的直径 所以AC BC 又因为PA O所在的平面 BC在 O所在的平面内 所以PA BC 线面垂直的定义 因为PA AC A 所以BC 平面PAC 线面垂直的判定 又因为BC 平面PBC 所以平面PAC 平面PBC 面面垂直的判定 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思利用面面垂直的判定定理证明面面垂直 关键是先证线面垂直 再证线在另一个平面内 最终得到面面垂直 具体方法是 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练3 如图 四边形ABCD是菱形 PC 平面ABCD E是PA的中点 求证 平面BDE 平面ABCD 证明 连接AC交BD于点O 连接OE 因为O为AC的中点 E为PA的中点 所以EO是 PAC的中位线 EO PC 因为PC 平面ABCD 所以EO 平面ABCD 又因为EO 平面BDE 所以平面BDE 平面ABCD 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 例4 如图 正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平ABCD 分析 由于已知平面ABEF 平面ABCD 它们的交线是AB 因此由面面垂直的性质定理 只须证EA AB 为此应该在平面四边形的长度 利用勾股定理的逆定理证明 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 证明 设AF EF a 则BE 2a 过A作AM BE于点M AF BE AM AF 又 AF EF AM EF 四边形AMEF是正方形 AE2 AB2 EB2 AE AB 又 平面ABCD 平面ABEF 平面ABCD 平面ABEF AB AE 平面ABEF EA 平面ABCD 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思1 当所给的题目中有面面垂直的条件时 一般要注意是否有垂直于两个平面交线的垂线 如果有 可利用性质定理将面面垂直转化为线面垂直或线线垂直 如果没有 一般需作辅助线 基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线 这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直 2 应用面面垂直的性质定理时 四个条件缺一不可 l a a l 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练4 如图 四棱锥P ABCD的侧面PAD是正三角形 且垂直于底面ABCD 底面ABCD是矩形 E是PD的中点 求证 平面ACE 平面PCD 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 证明 因为 PAD为正三角形 E为PD的中点 所以AE PD 又因为平面PAD 平面ABCD 平面PAD与平面ABCD交于AD DC AD 所以CD 平面PAD 所以CD AE 因为AE 平面PCD CD PD D 所以AE 平面PCD 又因为AE 平面ACE 所以平面ACE 平面PCD 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 易错点 不理解面面垂直的性质定理而致错 例5 如图 S为 ABC所在平面外一点 SA 平面ABC 平面SAB 平面SBC 求证 AB BC 错解 证明 SA 平面ABC 且平面SAB 平面SBC BC SA BC SB SA SB S BC 平面SAB 又 AB 平面SAB AB BC 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 错因分析 错解没有理解面面垂直的性质 误认为两个平面垂直 则一个平面内的所有直线都垂直于它们的交线 显然不正确 正解 证明 过点A作AE SB 垂足为E 平面SAB 平面SBC 且两个平面相交于SB AE 平面SBC BC AE SA 平面ABC SA BC 又SA AE A BC 平面SAB AB BC 1 2 3 4 5 1 给出以下四种说法 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的一个平面和这个平面相交 那么这条直线和交线平行 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线垂直于这个平面 如果两条直线都平行于一个平面 那么这两条直线互相平行 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 其中正确的个数是 A 4B 3C 2D 1解析 根据空间中线面平行 垂直的有关性质与判定定理易知 错 正确 故选B 答案 B 1 2 3 4 5 2 下列结论中 正确的是 垂直于同一条直线的两条直线平行 垂直于同一条直线的两个平面平行 垂直于同一个平面的两条直线平行 垂直于同一个平面的两个平面平行 A B C D 答案 C 1 2 3 4 5 3 已知平面 平面 l 则下列命题中错误的是 A 如果直线a 那么直线a必垂直于平面 内的无数条直线B 如果直线a 那么直线a不可能与平面 平行C 如果直线a a l 那么直线a 平面 D 平面 内一定存在无数多条直线都垂直于平面 内的所有直线答案 B 1 2 3 4 5 4 经过平面 外一点和平面 内一点与平面 垂直的平面有 解析 当 外一点和 内一点的连线垂直于平面 时 有无数个 否则 只有1个 答案 1个或无数个 1 2 3 4 5 5 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 O是