四川省中江县御河中学邱定芳.ppt

四川省中江县御河中学邱定芳 三角函数与圆 三角函数与圆 思想方法提炼感悟 渗透 应用课时训练 思想方法提炼 三角函数是与角密切相关的函数 而圆中常会出现与角有关的求解问题 尤其会出现一些非特殊角求其三角函数值的问题 或已知三角函数值求圆中的有关线段长等问题 三角函数与圆的综合应用也是中考中的热点问题之一 感悟 渗透 应用 例1 如图所示 已知AB为 O的直径 C为AB延长线上的点 以OC为直径的圆交 O于D 连结AD BD CD 1 求证 CD是 O的切线 2 若AB BC 2 求tan A的值 解析 1 证 CDO 90 即可 理由OC为圆的直径 2 利用 BCD DCA得到BD8DA的比值 解 1 连结OD OC为直径 CDO 90 又 OD为 O的半径 CD是 O的切线 2 由切割线定理有 CD2 CB CA 8 CD 22 BDC A BCD DCA BCD DCA AB是 O的直径 ADB 90 tan A 例2 2009年四川省 已知 如图 四边形ABCD内接于 O AB是 O的直径 CE切 O于C AE CE 交 O于D 1 求证 DC BC 2 若DC AB 3 5 求sin CAD的值 证明 连接BD AB是 O的直径 ADB 90 又 AEC 90 BD EC ECD BDC BC CD又 CAD CAB sin CAD sin CAB BC AB DC AB 3 5 例3 已知 如图Z4 3 C为半圆上一点 AC CE 过点C作直径AB的垂线CP P为垂足 弦AE分别交PC CB于点D F 1 求证 AD CD 2 若DF 5 4 tan ECB 3 4 求PB的长 分析 1 证 ACD为等腰三角形即可得 2 先证明CD AD FD 在Rt ADP中再利用勾股定理及tan DAP tan ECB 3 4 求出DP PA CP 最后利用 APC CPB求PB的长 解 1 连结AC AC CE CEA CAE CEA CBA CBA CAE AB是直径 ACB 90 CP AB CBA ACP CAE ACP AD CD 2 ACB 90 CAE ACP DCF CFD AD CD DF 5 4 ECB DAP tan ECB 3 4 tan DAP DPPA 3 4 DP2 PA2 DA2 DP 3 4PA 1 CP 2 ACB 90 CP AB APC CPB PB 4 例4 2008年 河南省 已知如图所示 在半径为4的 O中 AB CD是两条直径 M为OB的中点 CM的延长线交 O于点E 且EM MC 连结DE DE 1 求EM的长 2 求sin EOB的值 分析 1 用勾股定理求EC长 再用相交弦定理求EM的长 2 构造Rt EOF 利用三角函数求正弦值 解 1 DC为 O的直径 DE EC DC 8 DE EC 7设EM x 由于M为OB的中点 BM 2 AM 6 AM MB x 7 x 即6 2 x 7 x x2 7x 12 0 x1 3 x2 4 EM MC EM 4 2 OE EM 4 OEM为等腰三角形过E作EF OM 垂足为F 则OF 1 EF sin EOB 例5 2008年 河南省 已知 如图所示 AB是 O的直径 O为圆心 AB 20 DP与 O相切于点D DP PB 垂足为P PB与 O交于点C PD 8 1 求BC的长 2 连结DC 求tan PCD的值 3 以A为原点 直线AB为x轴建立平面直角坐标系 求直线BD的解析式 解析 1 过O作OE BC 垂足为E 则BE EC 连结OD 则OD DP又 DP PB 四边形OEPD为矩形 OE PD 8 OB 1 2 AB 1 2 20 10在Rt OEB中 EB2 OB2 OE2 102 82 36 EB 6 BC 2EB 12 2 PB PE EB DO EB 16 PC PB BC 16 12 4在Rt PCD中 DP 8 PC 4 tan PCD PD PC 2 1 如图所示 C是 O外一点 由C作 O的两条切线 切点为B D BO的延长线交 O于E 交CD的延长线于A 若AE 2 AB 23求 1 BE的长 2 sinA的值 解 1 BE AB AE 2 3 1 2 连OD 则OD 3 1 CD为 O的切线 OD CD sinA 课时训练 3 ABC中 AB 10 外接圆O的面积为25 sinA sinB是方程 m 5 x2 2m 5 x 12 0的个两根 其中m 5 1 求m的值 2 求 ABC的内切圆的半径 解 1 设 O的内切圆的半径为r O的半径为R R2 25 R 5因 O的内接 ABC的边AB 10 2R AB是 O的直径 且 ACB 90 则 ABC是直角三角形 从而 A B 90 故sinB cosA因sinA sinB是一元二次方程 m 5 x2 2m 5 x 12 0的两个根 故 2 2得 sinA cosA 2 2sinA cosA消去sinA和cosA 得m2 18m 40 0解之得m 20或m 2 2 当m 20时 方程化为 25x2 35x 12 0解之得x 3 5 x 4 5则sinA 3 5 sinB 45或sinA 4 5 sinB 3 5即 AC AB sinB 10 4 5 8BC AB sinA 10 3 5 6或AC 6 BC 8于是内切圆半径r 1 2 a b c 1 2 8 6 10 2当m 2时 方程化为x2 3x 4 0 此方程无实根 m 2应舍去 m 20 r 2 4 如图所示 抛物线y ax2 3x c交x轴正方向于A B两点 交y轴正方向于C点 过A B C三点作 D 若 D与y轴相切 1 求a c满足的关系式 2 设 ACB 求tan 3 设抛物线顶点为P 判断直线PA与 D的位置关系 并证明 解 1 A B的横坐标是方程ax2 3x c 0的两根 设为x1 x2 x2 x1 C的纵坐标为c又 y轴与 D相切 OA OB OC2 x1 x2 c2 又由方程ax2 3x c 0和已知x1 x2 c2 即ac 1 2 连结PD 交x轴于E 直线PD必为抛物线的对称轴 连结AD BD AE AB ACB ADB ADE a 0 x2 x1 AB x2 x1 AE 又ED OC c tan 3 设 PAB P点坐标为 又 a 0 在Rt PAE中 PE tan tan tan PAE ADE ADE DAE 90 PAE DAE 90 即 PAD 90 PA和 D相切 5 如图所示 已知A 5 4 A与x轴分别相交于点B C A与y轴相切于点D 1 求过D B C三点的抛物线的解析式 2 连结BD 求tan BDC的值 3 点P是抛物线顶点 线段DE是直径 直线PC与直线DE相交于点F PFD的平分线FG交DC于G 求sin CGF的值 解 1 D 0 4 B 2 0 C 8 0 解析式为 y 1 4x2 5 2x 4 y x 5 2 9 4 3 求直线PC的解析式 y 3 4x 6设I为直线PC与y轴的交点 则I的坐标为 0