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3 4无穷维空间情况 有限维无穷维空间厄米算符 离散本征值谱可数 连续本征值谱 例动量 不可数 厄米算符完备组A 离散本征值谱 n 无穷多个 本征值连续变化 无法编号 用本征值本身给本征矢编号 连续实变量 本征方程 连续本征矢的正交归一化关系 假设本征矢量有完全性类比 连续函数 有限 说明这种本征矢同Hilbert空间中所有其它归一化矢量的内积都是有限的 QM存在这样的算符 其本征值谱在一个区间是离散 在另一区间是连续的 则 连续谱的算符离散谱的算符 一部分离散谱一部分连续谱 各种关系一一对应 作一般讨论 希望两种情况都适用 约定取和或积分是随意的 都适用 对 简洁 适于理论推导 但不具体 4表象理论 4 1矢量和算符的矩阵表示 表示 抽象 具体 例三维物理空间 x y z 坐标表示 一组数字表示 群表示 选定一组基矢 物理上 取几个有物理意义的厄米算符构成对易完备组K 算符完备组中各算符本征值序号的集合 QM 取定这样一组基矢称为取一个表象 该表象用算符完备组K命名 称K表象 空间中任意矢量 用它展开 复数 在上的分量 两矢量的内积 分量表示 1 一组数具体表示一个算符 确定A 确定数 如果把左矢 右矢和算符写成下列矩阵形式 则上述这些分量关系成为矩阵间的乘法关系 则矢量的相加 数乘和内积 算符的相加和相乘 算符对矢量的作用等都可用具体的矩阵表示 除加法以外的所有运算全部成为矩阵的乘法 例如 对两个算符乘积C AB 有 通过在矢量空间中建立基矢 找到用矩阵具体表示矢量 算符和它们之间的关系 便于具体的运算和求出具体的结果 对应 抽象右矢空间 内积 左矢空间 具体化 将抽象矢量空间与具体的新矢量空间 矩阵空间一一对比 算符 方矩阵共同算符 矩阵乘法 4 2表象变换 一个空间不同的基 矢量和算符的不同表象 表象K矢量算符基矢完全性关系 变换关系 表象L 已知矩阵表示 行 列 按序号编号 按序号编号 与一个幺正算符在某表象中的表示矩阵有所不同 是幺正矩阵 行列编号与相反 满足 矢量 表象变换 求变换关系 矢量的表象变换 已知 写成矩阵形式 反过来 矢量的表象变换 算符 反过来 算符的表象变换 表象变换改变矢量与算符的矩阵表示 但不改变的数值 实际上 数学上的表象变换 酉变换 复空间 欧式空间 正交变换 保持任意矢量的长度的线性变换 幺正变换 4 3若干矩阵运算 方矩阵 的迹定义 的性质 的行列式 性质 Proof 附 0 定理 任何厄米矩阵都可通过相似变换 实际上为幺正变换 成为对角矩阵Proof 采取直接把变换矩阵给出来的证法 4 4连续本征值性质 离散连续 表象理论有限维空间 推广 无限维 表象基矢无穷维 形式推广 在无穷维空间中取K表象 而厄米算符或对易的厄米算符完备组K具有在某一区间的连续值谱 离散表象 连续表象 数列
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