体育统计(正态分布).ppt

第四章概率和概率分布 一 概率与频率 必然现象 在一定条件下一定发生的现象 必然事件 必然现象的结果 不可能事件 在一定条件必然不会发生的事情 例 1 在标准大气压下 纯水加热到100摄氏度 必然会沸腾 2 投出去的标枪必然会落到地面上 随机事件 随机现象 在一定条件下可能发生或可能不发生的现象称为随机现象 随机试验 任何一个试验 满足 1 可在相同条件下重复进行 2 每次试验得到多个结果 3 每次试验前不能肯定这次试验将得到什么结果 例 投掷硬币观察哪一面向上 要求某学生投篮并了解其投篮技术 均为做了一次试验 掷硬币投篮均为随机试验 随机事件 随机试验的结果称称为随机事件 一般以大写英文字母A B C等表示 例 1 投篮 投中 投不中 是两个随机事件 2 掷骰子 1点 2点 6点 点数大于3 点数为奇数 等等均为随机事件 随机事件的概率 频率 随机事件A在n次重复实验中发生了m次则比值m n称为随机事件A的频率 记作 W A m n 含义 反映随机事件发生的频繁程度 频率的稳定性 随着试验次数的增加 随机事件的频率逐渐稳定在某一个常数附近 这一特性称为频率的稳定性 例 数学家贝努里关于抛硬币的实验 概率 随机事件A的频率W A 随着试验次数的变化而变化 当n充分大时 频率W A 越来越接近于一个常数p则这个常数p成为随机事件A的概率 记作p A 即随机事件A的概率的取值范围 0 1 概率与频率的区别和联系 1 概率准确地反映随机现象的内在规律 往往是未知的 频率是通过随机现象反映其内在规律 试验后 便是己知的 2 概率是事件发生的可能性大小的量度 不随试验次数的变化而变化 只要条件不变 每次试验中某事件发生的概率都是一样的 而频率随试验次数的变化而变化 具有随机性 3 随着试验次数的增大 频率呈现出稳定的趋势 围绕着概率波动 并随试验次数的无限增大 频率以概率为极限 所以 当试验次数n很大时 人们往往用频率去近似代替概率P 小概率事件原则 小概率事件 概率必须很小 那么 究竟要小到什么程度 在体育统计中一般认为在0 05以下为小 小概率事件原则 小概率事件在一次试验中是不会发生的 一次试验 若多次试验 尽管是小概率事件 也很可能发生 原则 这是个原则 不是定理 有人为规定的含义 存在犯错误的风险 但是犯错误的概率又是小概率 所以人们共同遵循 二 正态分布 正态分布 靠近均数分布的频数最多 离开均数越远 分布的数据越少 左右两侧基本对称 这种中间多 两侧逐渐减少的基本对称的分布 称为正态分布 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布 正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广 所以通常称为高斯分布 身高的分布 正态分布的概率密度函数 如果随机变量X的概率密度函数则称X服从正态分布 记作X N 2 其中 为分布的均数 为分布的标准差 X 正态分布图示 x 0 1 2 3 4 f x 正态曲线 是一条中央高 两侧逐渐下降 低平 两端无限延伸 与横轴相靠而不相交 左右完全对称的钟形曲线 称为正态曲线 正态分布是对称分布 但是对称分布不一定是正态分布 正态分布曲线的性质 1 曲线在X轴上方 X轴是他的一条水渐近线 2 它的图像是由两个参数决定的 均数决定他的位置 即在图像在x 处对称 并且在该处取到最大值 标准差决定他的形状 标准差越小 图像越瘦高 标准差越大 图像越扁平 3 曲线与X轴之间的面积等于1 方差相等 均数不等的正态分布图示 均数相等 方差不等的正态分布图示 1 1 y2 y1的含义 表示x2处数据分布的密集程度大于x1处 由于均数的含义可知均数是一组数据中分布最密集的位置 所以在均数处取到最大值 2 阴影部分面积的含义 表示落入x1与x2之间的数据占总体的百分比 3 为什么标准差越小 图像越瘦高 定性分析 因为标准差越小 说明数据分布的密集程度就越大 那么落入x1和x2之间的数据就增加 那么阴影部分的面积就增加 而区间长度不变 所以图像只能向高处发展 标准正态分布 标准正态分布是均数为0 标准差为1的正态分布 记为N 0 1 标准正态分布是一条曲线 概率密度函数 u 正态分布转换为标准正态分布 若X N 2 作变换 则u服从标准正态分布 u称为标准化公式 把一般的正态分布转化成标准正态分布 或 标准正态分布的重要性 一般的正态分布取决于均值 和标准差 计算概率时 每一个正态分布都需要有自己的正态概率分布表 这种表格是无穷多的若能将一般的正态分布转化为标准正态分布 计算概率时只需要查一张表 标准正态分布表 p287 288 u0 00 0 02 0 04 0 06 0 08 3 00 00130 00130 00120 00110 0010 2 50 00620 00590 00550 00520 0049 2 00 02280 02170 02070 01970 0188 1 90 02870 02740 02620 02500 0239 1 60 05480 05260 05050 04850 0465 1 00 15870 15390 14920 14460 1401 0 50 30850 30150 29460 28770 281000 50000 49200 48400 47610 4681 0 u 例 P u 1 96 0 0250P u 1 64 0 0505 例1 求p u 0 96 查表 p u 0 96 0 8315 1 已知u值 求u落在某个区间的概率值 例2 求p u 0 96 查表 p u 0 96 1 p u 0 96 1 0 8315 0 1685 例3 已知a 0 14 b 1 52 求p 0 14 u 1 52 查表 p 0 14 u 1 52 p u 1 52 p u 0 14 0 9357 0 5557 0 38 2 已知u落在某个区间的概率p0 求u 例4 p u x 0 8315 求x 查表 已知 p u 0 96 0 8315所以 x 0 96 例5 p u x 0 7141 求x 查表可知 P u 0 56 0 7123 即p1 0 7123时 x1 0 56P u 0 57 0 7157 即p2 0 7157时 x2 0 57 插值公式 把p1 0 7123时 x1 0 56p2 0 7157时 x2 0 57带入得 3 已知x值 求x落在某个区间的概率 例6 已知x N 10 9 求p x 13 解 先标准化 查表得 4 已知x落在某个区间的概率p0 求x 例7 已知X N 10 4 P X x 0 8 求x 10 x 解 先查表得P u 0 84 0 7995 0 8 由标准化公式可知 u 0 84 所以 总结关于查表的四种情况 1 已知u值 求u落在某个区间的概率值 2 已知u落在某个区间的概率p0 求u 3 已知x值 求x落在某个区间的概率值 4 已知x落在某个区间的概率p0 求x 正态曲线下的常用面积 1 96 1 96 2 5 2 5 95 正态曲线下的常用面积 正态曲线下的常用面积 2 58 2 58 0 5 0 5 99 正态分布的应用 1 利用正态分布估计实际情况例9 某大型网球中心 每天接待的人数x服从正态分布 其均数 800人 标准差 150人 试求 每天接待人数在650 1000人之间的概率 解 先标准化 查表 2 确定参考值范围 例9 现有10000名成年男子 假定身高服从正态分布 其均数 175厘米 标准差 15厘米 估计这些人中 以均数为中心 概率为75 的身高区间是多少 x 标准化公式 解 查表得 P u 1 15