《矩阵的运算》PPT课件.ppt

第三章矩阵的运算 矩阵运算特殊矩阵逆矩阵分块矩阵初等矩阵矩阵的秩 定义1设有两个矩阵和 那么矩阵与矩阵的和记作规定为 1 矩阵的加法 一 矩阵运算 运算规律 设 都是矩阵 其中 称为矩阵的负矩阵 1 2 3 由此可规定矩阵的减法为 定义2数与矩阵的乘积记作或 2 数与矩阵相乘 规定为 运算规律 设 都是矩阵 是数 1 2 3 4 5 当且仅当或 规定 矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵 3 矩阵的乘法 定义3设 其中 并把此乘积记作 矩阵的第行第列的元就是的第行与的第列的乘积 例1 求 解 显然 求 并问是否有意义 解 显然无意义 例2 例3 求 解 显然 总之 一般说来 不过 在有些情况下 也可能有 例如 即矩阵的乘法不满足交换律 不难验证 一般地 如果矩阵 的乘积与次序无关 即 称矩阵 可交换 结合律和分配律 1 2 3 上式称为从变量 到变量 的线性变换 的线性函数 即 例4设变量均可表示成变量 其中为常数 令 利用矩阵的乘法 则上述线性变换可写成矩阵形式 利用矩阵的乘法和矩阵乘法的结合律 可以方便地连续施行线性变换 例5已知两个线性变换 解上述两个线性变换的系数矩阵分别为 记 则上述两个线性变换可分别写成为 于是 即 即 由于矩阵的乘法适合结合律 所以方阵的幂满足 设是阶方阵 定义 显然 就是个连乘 4 方阵的幂 其中为正整数 只有是方阵时 它的幂才有意义 1 2 由于矩阵的乘法不满足交换律 所以对于同阶方阵和 一般说来 则 仍为一个阶方阵 称为方阵的多项式 n阶单位矩阵 设 为次多项式 为阶方阵 则 其中 例6设 求 解 因为 用数学归纳法 设 则 故 称为阶单位矩阵 简记作 记作 二 特殊矩阵 单位矩阵 特点 从左上角到右下角的直线 即主对角线 上 的元素都是1 其他元素都是0 即单位矩阵 结论 的阶方阵称为对角矩阵 形如 记作 特点 主对角线上以外的元素全是零 对角矩阵 性质 1 2 3 4 特别地 主对角线上元素都相等的对角矩阵称为数量矩阵 即 记作 设为任一阶方阵 为任一阶数量矩阵 即阶数量矩阵与任一阶方阵相乘可交换 则 当时 数量矩阵即为单位矩阵 解 其中 显然 定理得到 形如 的矩阵称为上三角矩阵 特点 主对角线的左下方的元素全为零 3 三角矩阵 直接验证可知 类似地 我们同样可以定义下三角矩阵 也就是 主对角线右上方的元素全为零矩阵 它具有与上三角矩阵类似性质 例如 性质 1 2 3 4 4 转置矩阵 证性质 1 3 是显然的 这里仅给出 4 的证明 设 记 于是按矩阵乘法的定义 有 所以 即 亦即 由 4 根据数学归纳法可证 因此 那么称为对称矩阵 则称为反对称矩阵 设为阶方阵 如果 特点 对称矩阵的元素以主对角线为对称轴对应相等 即有 反对称矩阵有 该矩阵主对角线上的元素全为0 如果 对称矩阵和反对称矩阵 反对称矩阵 对称矩阵 形式 例2 是对称矩阵 证明因是阶矩阵 且 故是阶对称矩阵 同理 是阶对称矩阵 是对称矩阵 且 证首先请注意 是一阶方阵 即一个数 所以是对称矩阵 基本性质 对称矩阵 其中为任意常数 都是 为对称矩阵的 充要条件是 定理设 是两个阶方阵 则 推论设均为阶方阵 则 6 方阵乘积的行列式 称为矩阵的伴随矩阵 试证 2 当时 例4阶方阵的各个元素的代数余子式所构成的如下的矩阵 1 证 1 设 则 于是 类似地 2 由 1 且根据本节定理1可知 由于 故 在数的乘法中 如果常数 则 存在的逆 使 这使得求解一元线性方程变得非常简单 对阶方阵 是否也存在着 逆 即是否存在一个阶方阵使 三 逆矩阵 则称是可逆的 并把矩阵称为的逆矩阵 如果方阵可逆 则它的逆矩阵是唯一的 使 注意 在定义中 的地位是平等的 即如果 1 成立 则也可逆 并且 例1设 解因为 所以 定理方阵可逆的充分必要条件是 且当可逆时 其中为矩阵的伴随矩阵 注 当时 称为非奇异矩阵 否则称为奇异矩阵 可逆矩阵就是非奇异矩阵 同时 定理也提供了一种求逆矩阵的方法 伴随矩阵法 因为可逆 即存在 故 所以 由本章第二节例知 因为 故有 所以 按逆矩阵的定义 即有 证必要性 使 充分性 什么条件时 方阵可逆 可逆 这时 当可逆时 求 则 1 若阶方阵可逆 则也可逆 且 2 若可逆 数 则可逆 且 推论若阶方阵 满足 运算规律 3 若 为同阶方阵且均可逆 4 若可逆 则也可逆 且 5 若可逆 且 则 例3求方阵的