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第九章 第七节 一 方向导数 二 梯度 方向导数与梯度 三 数量场和向量场 一 方向导数 讨论函数沿某个方向的变化率 函数 在点沿方向 的方向导数 是函数z f x y 在点M0 x0 y0 沿方向 对 的变化率 或者说它是曲面z f x y 在点M0 x0 y0 沿方向l倾斜程度 坡度 方向导数与偏导数 若偏导数存在 则 其中 X轴正向 其中 Y轴正向 方向导数是单向导数 因为 0 类似于一元函数的单侧导数 偏导数是双向导数 因为 x可正负 因此 在一点处沿x轴或y轴方向的方向导数存在 并不能保证该点的偏导数存在 例求函数在原点沿任何方向的方向导数 解 设方向向量为 即函数 圆锥面 在原点沿任何方向的方向导数都为1 即函数 圆锥面 在原点沿任何方向的方向导数都为1 但是函数在原点的偏导数不存在 是上半圆锥面 圆锥面在顶点无切平面 证明 由于函数可微 则增量可表示为 两边同除以 得到 利用偏导数计算方向导数的公式 故有方向导数 解 解 由方向导数的计算公式知 故 推广可得三元函数方向导数的定义 例3 设 是曲面 在点P 1 1 1 处 指向外侧的法向量 解 方向余弦为 而 同理得 方向 的方向导数 在点P处沿 求函数 二 梯度 其中 称为向量微分算子或Nabla算子 因此梯度向量是使函数在一点的方向导数达到最大值的方向 在几何上表示一个曲面 曲面被平面所截得 所得曲线在xoy面上投影如图2 梯度的几何解释 所得曲线在xoy面上投影为平面曲线 称为函数的等值线 方程两边微分 或者说 梯度的方向就是等值线在这点的法线方向 等值线 梯度为等值线上的法向量 类似于二元函数 此梯度也是一个向量 其方向与取得最大方向导数的方向一致 其模为方向导数的最大值 梯度的概念可以推广到三元函数 三元函数梯度的几何解释 三元函数的等值面 由切平面的讨论 知梯度 是等值面 在点 x y z 处的法向量 故梯度向量 在任何点都垂直于函数的等值面 并且从函数值较小的等值面指向函数值较大的等值面 梯度的运算律类似于导数的运算律 P108 题9 其中C为常数 解 由梯度计算公式得 故 例5 设函数 解 1 点P处切平面的法向量为 在点P 1 1 1 处的切平面方程 故所求切平面方程为 即 2 求函数f在点P 1 1 1 沿增加最快方向的方向导数 求等值面 2 函数f在点P处增加最快的方向为 沿此方向的方向导数为 思考 f在点P处沿什么方向变化率为0 注意 对三元函数 与垂直的方向有无穷多 向量场 VectorFields 1 方向导数的概念 注意方向导数与一般所说偏导数的区别 三 小结 三元函数 在点 沿方向l 方向角 的方向导数为 二元函数 在点 的方向导数为 沿方向l 方向角为 2 梯度的概念 注意梯度是一个向量 三元函数 在点 处的梯度为 二元函数 在点 处的梯度为 方向 f变化率最大的方向 模 f的最大变化率之值 梯度的特点 3 方向导数与梯度的关系 方
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