N等分线段的尺规作图法及证明

精品文档 1欢迎下载 1 N 等分线段的尺规作图法及证明 崔谧 安定区风翔学区小西岔小学 甘肃定西 743000 几何学从诞生到发展 再到逐步完善 除一条线段能被 n 1 且 n 为一正整数 等分外 至今还没有一种严格的几何方法能将一条 线段进行任意 N N 3 且 N 为一正整数 等分 经过长期的探究 本人 发现有一种严格的几何方法 定点定比交轨思想及方法定点定比交轨思想及方法可以将一 条线段进行任意 N N 2 且 N 为一正整数 等分 该方法将以一条线段该方法将以一条线段 二等分的方法和思想作为主要思想和理论依据进行论述二等分的方法和思想作为主要思想和理论依据进行论述 为了简单明了起见 先详细介绍用该思想及方法将一条线段三 等分和五等分的作法及证明过程 然后以此作为主要思想和理论依 据进行论述任意 N 等分的作法及证明过程 将一条线段二等分的方法和思想是以已知线段的两个端点为定点 以 相等的两条线段为半径作圆并确定其交点轨迹就是一条直线 然后再 确定该轨迹 直线 与已知线段的交点 即已知线段的二分之一点 因为该二分线段的方法和思想在现行数学教材中已经成为公认的既 定公理 无须再述 我们可以称其为一一交轨思想 两条半径的长一一交轨思想 两条半径的长 度比为度比为1 11 1 依据以上二分线段的一一交轨 两条半径的长度比为 1 1 的思 想和方法 可以用已知线段的两个端点为定点 用长度比为 2 1 的 两条线段为半径作圆并确定其交点轨迹就是一条弧所在的圆 然后 再确定该轨迹 弧所在的圆 与已知线段的交点 即已知线段的三分 精品文档 2欢迎下载 2 之二点 我们可以称其为二一交轨思想 两条半径的长度比为二一交轨思想 两条半径的长度比为 2 12 1 具体作法和证明如下 作法 1 画线段 AB 并求其中点 C 2 用目测法目测法在点 C 和 B 之间取一点 D 使得线段 AD 的长度大于线 段 AB 的三分之二而小于线段 AB 的长度 再求线段 AD 的中点 E 3 以 A 为圆心 以 AD 为半径画弧 以 B 为圆心 以 AE 的长为 半 径画弧 使两条弧相交与点 F 以点 A 为圆心 以 AB 为半径画弧 以 B 为圆心 以 BC 为半径画弧 使两条弧相交于 G 点 确保点 F 和 G 在线段 AB 的同侧 4 连接 FG 并求其中垂线 HI 延长 HI 交 AB 的延长线于点 J 5 以 J 为圆心 以 JF 为半径画弧交 AB 于点 K 6 以 A 为起点 以 KB 为半径在 AB 上截取点 L 则点 L 和 K 将线段 AB 三等分 如下图所示 精品文档 3欢迎下载 3 LK I H J F E G CABD 证明 为了证明该作法正确 运用方程求根验证法推导证明如下 令线段 AB 的长度为单位 1 以点 A 为坐标原点 以线段 AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系 已知 点 A 0 0 B 1 0 C 为 AB 的中点 D 为 C 和 B 之间任一 点 这里取 D 0 进行验证 E 为 AD 的中点 求证 按上述作法确定的一条弧所在的圆 J 过点 K 0 证 已知 AB 的长度为单位 1 点 A 0 0 B 1 0 C 为 AB 的 中点 D 为 C 和 B 之间任一点 这里取 D 0 进行验证 E 为 AD 的 中点 精品文档 4欢迎下载 4 AE BC 以 A 为圆心 以 AD 为半径画弧 以 B 为圆心 以 AE 的长为半径画弧 使两条弧相交与点 F 则点 F 的坐标即为两 条弧的交点 即 解得 x y F 点在 x 轴的下方 F 点的 y 值取其负值根 即 F 以点 A 为圆心 以 AB 为半径画弧 以 B 为圆心 以 BC 为半径 画弧 使两条弧相交于 G 点 则点 G 的坐标即为两条弧的交点 即 解得 x y G 点在 x 轴的下方 G 点的 y 值取其负值根 即 G 连接 FG 求其中点坐标为 又 FG 的斜率 k FG 的中垂线 HI 的斜率 HI 的直线方程为 y x 代入得 Y x 精品文档 5欢迎下载 5 又 HI 和 x 轴相交于点 J 即有公共解 解得 解得 x y 0 点 J 的坐标为 J 0 以 J 为圆心 以 JF 为半径确定的圆 J 的方程为 将点 K 0 代入圆 J 的方程 中验证得 点 K 0 就在圆 J 上 即按上述作法确定的一条弧所在的圆 J 过点 K 0 该三分线段的二一交轨思想 两条半径的长度比为二一交轨思想 两条半径的长度比为 2 12 1 及作 法正确 如下图所示 y x E 5 12 0 5 6 0 C 1 2 0 1 0 0 0 L K H I J F G AB D 依据以上二分线段的一一交轨 两条半径的长度比为 1 1 和 精品文档 6欢迎下载 6 三分线段的二一交轨 两条半径的长度比为 2 1 的思想和方法 可以用已知线段的两个端点为定点 用长度比为 4 1 的两条线段为 半径作圆并确定其交点轨迹就是一条弧所在的圆 然后再确定该轨 迹 弧所在的圆 与已知线段的交点 即已知线段的五分之四点 我 们可以称其为四一交轨思想 两条半径的长度比为四一交轨思想 两条半径的长度比为 4 14 1 具体作法 和证明如下 作法 1 画线段 AB 并求其四等分点 C D 和 E 2 用目测法目测法在点 E 和 B 之间取一点 F 使得线段 AF 的长度大于线 段 AB 的五分之四而小于线段 AB 的长度 再求线段 AF 的四等分点 G H 和 I 3 以 A 为圆心 以 AF 为半径画弧 以 B 为圆心 以 AG 的长为半 径画弧 使两条弧相交与点 J 以点 A 为圆心 以 AB 为半径画弧 以 B 为圆心 以 BE 为半径画弧 使两条弧相交于 K 点 确保点 J 和 K 在线段 AB 的同侧 4 连接 JK 并求其中垂线 LM 延长 LM 交 AB 的延长线于点 N 5 以 N 为圆心 以 NJ 为半径画弧交 AB 于点 O 6 以 A 为起点 以 OB 为半径在 AB 上分别截取点 P Q 和 R 则点 P Q R 和 O 将线段 AB 五等分 如下图所示 精品文档 7欢迎下载 7 RQP O N M L K J IH G FED C B A 证明 为了证明该作法正确 运用方程求根验证法推导证明如下 令线段 AB 的长度为单位 1 以点 A 为坐标原点 以线段 AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系 已知 点 A 0 0 B 1 0 E 为 AB 的四分之三点 F 为 E 和 B 之 间任一点 这里取 F 0 进行验证 G 为 AF 的四分之一点 求证 按上述作法确定的一条弧所在的圆 N 过点 O 0 证 已知 AB 的长度为单位 1 点 A 0 0 B 1 0 E 为 AB 的 四分之三点 F 为 E 和 B 之间任一点 这里取 F 0 进行验证 G 为 AF 的四分之一点 AG BE 以 A 为圆心 以 AF 为半径画弧 以 B 为圆心 以 AG 的长为半径画弧 使两条弧相交与点 J 则点 J 的坐标即为两 条弧的交点 即 精品文档 8欢迎下载 8 解得 x y J 点在 x 轴的下方 J 点的 y 值取其负值根 即 J 以 A 为圆心 以 AB 为半径画弧 以 B 为圆心 以 BE 为半径画 弧 使两条弧相交与点 K 则点 K 的坐标即为两条弧的交点 即 解得 x y K 点在 x 轴的下方 K 点的 y 值取其负值根 即 K 连接 JK 求其中点坐标为 又 JK 的斜率 k JK 的中垂线 LM 的斜率 LM 的直线方程为 y x 代入得 Y x 又 LM 和 x 轴相交于点 N 即有公共解 解得 x y 0 精品文档 9欢迎下载 9 点 N 的坐标为 N 0 以 N 为圆心 以 NJ 为半径确定的圆 N 的方程为 将点 O 0 代入圆 N 的方程 中验证得 点 O 0 就在圆 N 上 即按上述作法确定的一条弧所在的圆 N 过点 O 0 该五分线段的四一交轨思想 两条半径的长度比为四一交轨思想 两条半径的长度比为 4 14 1 及作 法正确 如下图所示 y x RQP O N M L K J G 11 50 0 F 22 25 0 E 3 4 0 B 1 0 A 0 0 依据以上二分线段的一一交轨 两条半径的长度比为 1 1 三 分线段的二一交轨 两条半径的长度比为 2 1 和五分线段的四一 交轨 两条半径的长度比为 4 1 的思想和方法 可以用已知线段 精品文档 10欢迎下载 1 0 的两个端点为定点 用长度比为 N 1 1 的两条线段为半径作圆并 确定其交点轨迹就是一条弧所在的圆 然后再确定该轨迹 弧所在的 圆 与已知线段的交点 即已知线段的 N 分之 N 1 点 我们可以称 其为 N 1 1 N 1 1 交轨思想 两条半径的长度比为交轨思想 两条半径的长度比为 N 1 1 N 1 1 具体作法 和证明如下 作法 1 画线段 AB 并求其 N 1 等分点 2 用目测法目测法在点和 B 之间取一点 使得线段 A的长度 大于线段 AB 的 N 分之 N 1 而小于线段 AB 的长度 再求线段 A 的 N 1 等分点 3 以 A 为圆心 以 A为半径画弧 以 B 为圆心 以 A的长 为 半径画弧 使两条弧相交与点 J 以点 A 为圆心 以 AB 为半径画弧 以 B 为圆心 以 B为半径画弧 使两条弧相交于 K 点 确保点 J 和 K 在线段 AB 的同侧 4 连接 JK 并求其中垂线 LM 延长 LM 交 AB 的延长线于点 N 5 以 N 为圆心 以 NJ 为半径画弧交 AB 于点 6 以 A 为起点 以B 为半径在 AB 上分别截取点 和 则点 和将线段 ABN 等分 如下图所示 精品文档 11欢迎下载 1 1 Z1 ZN 1 N M L K J Y1 XN 2YN 1 X1 B A 证明 为了证明该作法正确 运用方程求根验证法推导证明如下 令线段 AB 的长度为单位 1 以点 A 为坐标原点 以线段 AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系 已知 点 A 0 0 B 1 0 为 AB 的 N 1 分之 N 2 点 为和 B 之间任一点 这里取 0 进行验证 为 A 的 N 1 分之一点 求证 按上述作法确定的一条弧所在的圆 N 过点 0 证 已知 AB 的长度为单位 1 点 A 0 0 B 1 0 为 AB 的 N 1 分之 N 2 点 为和 B 之间任一点 这里取 0 进行验证 为 A的 N 1 分之一点 A B 以 A 为圆心 以 A为半径画弧 以 B 为圆心 以 A的长为半径画弧 使两条弧相交与点 J 则点 J 的 坐标即为两条弧的交点 即 精品文档 12欢迎下载 1 2 解得 x y J 点在 x 轴的下方 J 点的 y 值取其负值根 即 J 以 A 为圆心 以 AB 为半径画弧 以 B 为圆心 以 B为半径 画弧 使两条弧相交与点 K 则点 K 的坐标即为两条弧的交点 即 解得 x y K 点在 x 轴的下方 K 点的 y 值取其负值根 即 K 连接 JK 求其中点坐标为 又 JK 的斜率 k 精品文档 13欢迎下载 1 3 JK 的中垂线 LM 的斜率 LM 的直线方程为 y x 代入并化简得 y N N 2 x 又 LM 和 x 轴相交于点 N 即有公共解 解得 x y 0 点 N 的坐标为 N 0 以 N 为圆心 以 NJ 为半径确定的圆 N 的方程为 将点 0 代入圆 N 的方程 中验证得 点 0 就在圆 N 上 即按上述作法确定的一条弧所在的圆 N 过点 0 该 N 分线段的 N 1 1 N 1 1 交轨思想 两条半径的长度比为交轨思想 两条半径的长度比为 N 1 N 1 1 1 及作法正确 如下图所示 精品文档 14欢迎下载 1 4 x y Z1 ZN 1 N M L K J Y1XN 2YN 1X1 B A 综上全篇所述不难得出这样一个结论 用 N 1 1 N 1 1 交轨思想交轨思想 两条半径的长度比为 两条半径的长度比为 N 1 1 N 1 1 及方法可将任一条长度为单位 及方法可将任一条长度为单位 1 1 的线段的线段 N N 等分 并且等分 并且 N N 等分已知线段的一条弧所在的圆心为等分已知线段的一条弧所在的圆心为 0 0 半径为 半径为 运用定点定比交轨思想及方法进行N N 3的质数 等分线段的方法 还有 等交轨