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导数的应用练习 天马行空官方博客 课本有关练习 1 把长60cm的铁丝围成矩形 长宽各为多少时矩形面积最大 x 60 2x 2 解 设宽为Xcm 则长为 60 2X 2 30 X cm 所以面积 此时S 在x 15时S 0 x 15时 S 0 结论 周长为定值的矩形中 正方形的面积最大 答 长为15cm 宽为15cm时面积最大 天马行空官方博客 2 把长为100cm的铁丝分为两段 各围成正方形 怎样分法才能使两个正方形面积之和最小 x 解 设分成一段长为4xcm 则第一个正方形面积为另一个面积为 所以面积之和为 所以4x 50 0得x 12 5 当x12 5时 s 0 故当x 12 5时s最大值为312 5平方厘米 答 当一段为4x 50cm时 面积之和最小 此时另一段也为50cm 3 同一个圆的内接矩形中 正方形的面积最大 4 同一个圆的内接三角形中 等边三角形面积最大 3 法一 设半径为R 常数 矩形长为一边长为x 则面积 此时另一边长为 因为s x 只有一个极值 x过小或过大s x 都变小所以正方形面积最大 法二 设 A B C 则 不等式当且仅当时取等号 此时矩形为正方形 当且仅当 法三 负值舍去 上式取等号 此时矩形是正方形 矩形为正方形 A B C R X 4 提示 设圆的半径为R 常数 等腰三角形的底的边心距为x 则高为R x 底边长为 等腰三角形的面积为 R 负值舍去 此时可求得AB AC BC 5 做一个容积为256升的方底无盖水箱 它的高为多少时最省材料 6 用铁皮剪一个扇形 制成一个圆锥形容器 扇形的圆心角多大时容积最大 a x 解5 设水箱的高为xdm 则它的底边长为a dm 水箱所用的材料的面积为 因为s x 只有一个极值 故高为4dm时最省料 升立方分米 6 设圆铁皮半径为R 扇形的圆心角为弧度 则圆锥底半径为 R 圆锥的高为 圆锥形容器的容积为 因过小或过大都会使V变小 故时 容器的容积最大 r R h 7 已知海岛A与海岸公路BC的距离AB为50KM B C间的距离为100KM 从A到C 先乘船 船速为25KM h 再乘车 车速为50KM h 登陆点选在何处所用时间最少 A B C D 解 设登陆点选在D处 使BD xKM 则乘船距离为 乘车距离为 100 x KM 所用时间 舍去负值 因为当x时 t 0 故当登陆点选在距离BKM处时所用时间最少 补充练习1 1 求内接于半径为R球的并且体积最大的圆柱的高 2 求内接于半径为R球的并且体积最大的圆锥的高2 一面靠墙三面用栏杆 围成一个矩形场地 如果栏杆长40cm 要使围成的场地面积最大 靠墙的边应该多长 3 一窗户的上部是半圆 下部是矩形 如果窗户的面积一定 当半圆半径与矩形的高的比为何值时 窗户的周长最小 4 一汽车以50km
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