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文档简介
1 量子力学 光电子科学与工程学院王可嘉第六讲算符的运算规则厄米算符 2 第6讲目录 一 算符引入的回顾二 力学量在坐标表象下算符的形式三 算符的运算规则四 算符的对易关系五 厄米算符六 例题 3 一 算符引入的回顾 为了在坐标表象中计算动量的平均值 引入了动量算符 从而 动量平均值可以表示为 4 二 力学量在坐标表象下算符的形式 动能 动能算符 其中 动能平均值 角动量 角动量算符 角动量平均值 5 三 算符的运算规则 1 1 线性算符 则称为线性算符 如 2 单位算符 则称为单位算符 并记为 3 算符相等 对算符和 若 则称两个算符相等 记为 6 三 算符的运算规则 2 4 算符之和 5 算符之和的交换律和结合律 7 三 算符的运算规则 3 6 算符之积 一般说来 算符之积不满足交换律 即 由此导致量子力学中的一个基本问题 对易关系 8 四 算符的对易关系 1 1 对易式 简记为 通常情况 动量算符在坐标表象中 以为例 坐标表象中 计算 2 坐标动量对易关系 最基本对易关系 9 四 算符的对易关系 2 同理 但是 即 归纳起来 得到 10 四 算符的对易关系 3 3 角动量的对易式 角动量 所以角动量算符 在坐标表象中 顺时针 正号逆时针 负号 11 四 算符的对易关系 4 角动量算符和坐标算符的对易关系 12 四 算符的对易关系 5 同理可得 同样可证明 13 四 算符的对易关系 6 令 称为角动量平方算符 有 同理证明 即 14 四 算符的对易关系 7 4 对易恒等式 同理可得 15 五 厄米算符 1 1 逆算符 已知算符和任意波函数 若存在唯一的 使得 则可将表示为 其中 16 五 厄米算符 2 束缚态条件 2 转置算符 17 五 厄米算符 3 3 共轭算符 4 厄米共轭 18 五 厄米算符 4 5 厄米算符 19 五 厄米算符 5 6 厄米算符的平均值 1 定理 体系的任何状态下 厄米算符的平均值为实数 逆定理 在任何状态下平均值均为实的算符必为厄米算符 20 五 厄米算符 6 6 厄米算符的平均值 2 为什么等都是厄米算符 因为它们都是实验上的可观察量 因此 它们在任何状态下的平均值都应该是实数 因而 它们应该都是厄米算符 推论 厄米算符平方的平均值大于等于零 21 六 例题 1 例1 设势场为证明阱口刚好出现一个束缚态能级 即 的条件为其中 证明 当时 能量本征值方程为 解得 当时 能量本征值方程为 由束缚态条件 解得 22 六 例题 2 当时 能量本征值方程为 由束缚态条件解得 因为阱口刚好出现一个束缚态 即 所以 所以 根据 在和连续 可知 势阱刚好出现束缚态的条件为 23 六 例题 3 例2 证明 动量表象当中 坐标表象中坐标平均值计算公式为
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