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文档简介

直线及其方程 定义 空间直线可看成两平面的交线 空间直线的一般方程 一 空间直线的一般方程 方向向量的定义 如果一非零向量平行于一条已知直线 这个向量称为这条直线的方向向量 二 空间直线的对称式方程与参数方程 直线的对称式方程 令 方向向量的余弦称为直线的方向余弦 直线的参数方程 例1 解 由点向式即得所求直线的方程为 直线的两点式方程 例2用对称式方程及参数方程表示直线 解一 用点向式 在直线上任取一点 取 解得 点坐标 因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 对称式方程 参数方程 解二 用两点式 已求出一点 再求出一点 解得 点坐标 所求直线方程为 参数方程 解三 由 两式相加得 代入方程组得 即 称为投影方程 实际上这就是所求直线的参数方程 对称式方程 解 所以交点为 所求直线方程 由以上几例可见 求直线方程的思路 步骤 两定 定点 定向 例4 解 设所求平面的法向量为 其方向向量 由于所求平面通过点A及L 由点法式得所求平面方程为 即 例5 解 所给直线的参数方程为 代入平面方程 得 解得 所求交点的坐标为 即交点为 定义 直线 直线 两直线的方向向量的夹角称之 锐角 两直线的夹角公式 三 两直线的夹角 两直线的位置关系 直线 直线 例如 解 设所求直线的方向向量为 根据题意知 取 所求直线的方程 解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点N 令 代入平面方程得 交点 取所求直线的方向向量为 所求直线方程为 定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角 四 直线与平面的夹角 直线与平面的夹角公式 直线与平面的位置关系 解 为所求夹角 五 平面束 设有直线 考虑 其中 故 不全为0 从而 表示一个平面 满足和的方程 因而 表示过的平面 对于的不同值 表示过的所有平面 过的平面束 一般在具体应用时 常取 而考虑缺或的平面束 例9 分析 过所给直线作一平面与已知平面垂直 两平面的交线即位所求 解 过所给直线的平面束方程为 即 这平面与已知平面垂直的条件是 所求平面方程为 它与已知平面的交线 即为所求的投影直线的方程 空间直线的一般方程 空间直线的对称式方程与参数方程 两直线的夹角 直线与平面的夹角
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