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一元二次方程的解法例析一元二次方程的解法例析 安徽省亳州市利辛县教育局 夏 飞 要点综述要点综述 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程 它是初中数学的一个重点内容 也是学 生今后学习数学的基础 在没讲一元二次方程的解法之前 先说明一下它与一元一次方程区别 根据定义可知 只含有一个未知数 且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程 一般式为 一元二次方程有三个特点 1 只含有一个未知数 2 未知数的最高次数是 2 3 是整 式方程 因此判断一个方程是否为一元二次方程 要先看它是否为整式方程 若是 再对它进 行整理 如能整理为的形式 那么这个方程就是一元二次方程 下面再讲一元二次方程的解法 解一元二次方程的基本思想方法是通过 降次 将 它化为两个一元一次方程 一元二次方程的基本解法有四种 1 直接开平方法 2 配方法 3 公式法 4 因 式分解法 如下表 方法适合方程类型注意事项 直接开平方法 0 时有解 0 时无解 配方法二次项系数若不为 1 必须先把系数化为 1 再进行配方 公式法 0 时 方程有解 0 时 方程无解 先化为一般形式再用公式 因式分解法方程的一边为 0 另一边分 解成两个一次因式的积 方程的一边必须是 0 另一边可用任何方 法分解因式 举例解析举例解析 例例 1 已知 解关于的方程 分析分析 注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程 解解 由得 或 当时 原方程为 即 解得 当时 原方程为 即 解得 说明 说明 由本题可见 只有项系数不为 0 且为最高次项时 方程才是一元二次方程 才能使用一元二次方程的解法 题中对一元二次方程的描述是不完整的 应该说明最 高次项系数不为 0 通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明 即形如的方 程叫作关于的一元二次方程 若本题不给出条件 就必须在整理后对项的字母系数分情况进行讨论 例例 2 用开平方法解下面的一元二次方程 1 2 3 4 分析 分析 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法 用直接开平方法解 形如的方程 其解为 通过观察不难发现第 1 2 两小题中的方程显然用直接开平 方法好做 第 3 题因方程左边可变为完全平方式 右边的 121 0 所以此方程也可 用直接开平方法解 第 4 小题 方程左边可利用平方差公式 然后把常数移到右边 即可利用直接开平 方法进行解答了 解 解 1 注意不要丢解 由得 由得 原方程的解为 2 由得 由得 原方程的解为 3 原方程的解为 4 即 原方程的解为 说明说明 解一元二次方程时 通常先把方程化为一般式 但如果不要求化为一般式 像本题要求用开平方
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