《固定收益证券计算》PPT课件.ppt

第3章固定收益证券计算 3 1收益计算3 2其它计算3 3绩效衡量3 4二叉树定价模型3 5习题 定义3 1净现值是指投资方案所产生的现金净流量以资金成本为贴现率折现之后与原始投资额现值的差额 定义3 2投资项目各年现金流量的折现值之和为项目的净现值 净现值为零时的折现率就是项目的内部收益率 内部收益率可以作为度量投资方案优劣的一种工具 但是只是对同一个投资项目 内部收益率简介 内部收益率又称财务内部收益率 FIRR 是资金流入现值总额与资金流出现值总额相等 净现值等于零时的折现率 它是一项投资可望达到的报酬率 该指标越大越好 一般情况下 内部收益率大于等于基准收益率时 该项目是可行的 投资项目各年现金流量的折现值之和为项目的净现值 净现值为零时的折现率就是项目的内部收益率 优缺点 内部收益率法的优点是能够把项目寿命期内的收益与其投资总额联系起来 指出这个项目的收益率 便于将它同行业基准投资收益率对比 确定这个项目是否值得建设 使用借款进行建设 在借款条件 主要是利率 还不很明确时 内部收益率法可以避开借款条件 先求得内部收益率 作为可以接受借款利率的高限 但内部收益率表现的是比率 不是绝对值 一个内部收益率较低的方案 可能由于其规模较大而有较大的净现值 因而更值得建设 所以在各个方案选比时 必须将内部收益率与净现值结合起来考虑 分析 内部收益率就是在考虑了时间价值的情况下 使一项投资在未来产生的现金流量现值 刚好等于投资成本时的收益率 而不是你所想的 不论高低净现值都是零 所以高低都无所谓 这是一个本末倒置的想法了 因为计算内部收益率的前提本来就是使净现值等于零 内部收益率越高 说明你投入的成本相对地少 但获得的收益却相对地多 比如A B两项投资 成本都是10万 经营期都是5年 A每年可获净现金流量3万 B可获4万 通过计算 可以得出A的内部收益率约等于15 B的约等于28 这些 其实通过年金现值系数表就可以看得出来的 指标意义 内部收益率是进行盈利能力分析时采用的主要方法一 从经济意义上 内部收益率IRR的取值范围应是 1 IRR 大多数情况下的取值范围是0 IRR 求得的内部收益率IRR要与项目的设定基准收益率i0相比较 当IRR i0时 则表明项目的收益率已达到或超过设定折现率水平 项目可行 可以考虑接受 内部收益率可通过方程求得 但该式是一个高次方程 通常采用 试算内插法 求IRR的近似解 内部收益率指标的突出优点就是在计算时不需事先给定基准折现率 避开了这一既困难又易引起争论的问题 当基准折现率入不易确定其准确取值 而只知其大致的取值区间时 则使用内部收益率指标就较容易判断项目的取舍 IRR优越性是显而易见的 内部收益率的存在性讨论 由内部收益率的定义式知 它对应于一个一元高次多项式 IRR的定义式 的根 该一元高次多项式的根的问题 也就是内部收益率的多解或无解问题 是内部收益率指标一个突出的缺陷 收益计算 内生收益率计算公式如下 其中 P为价格 为第i期现金流 y为内生收益率 n为期数 已知P 可以用试错法求内生收益率 试错法计算内生收益率步骤 二分法 具体办法可以重新设计 1 给出一个收益率 2 用步骤1给出的收益率计算每笔现金流的现值 3 加总步骤2得出的现金流现值 4 将步骤3得出的现金流总现值与金融工具的价格作比较 当步骤3得出的现金流总现值比金融工具的价格大时 选择一个比步骤1大的收益率重复以上步骤 反之 选择一个更小的收益率进行重复 例3 1假定一种金融工具有如表3 1的年金支付 金融工具的价格为7704美元 试求它的内生收益率 表3 1年金支付情况 macroa r data p 2000 1 本例计算程序 计算结果 r 10p 8081 4152039r 14p 7349 0709218r 12p 7701 624974将计算结果与7704相比较 得出12 为该金融工具的内生收益率 注 上例也可以直接用SAS函数yield irr 1 7704 2000 2000 2500 4000 函数irr的用法 IRR freq c0 cl cn freq表示每年产生现金流次数 c0 cn为现金流 作业 从前面给出的例子 给出函数yield irr的编程步骤 到期收益率 谓到期收益 是指将债券持有到偿还期所获得的收益 包括到期的全部利息 到期收益率又称最终收益率 是投资购买国债的内部收益率 即可以使投资购买国债获得的未来现金流量的现值等于债券当前市价的贴现率 它相当于投资者按照当前市场价格购买并且一直持有到满期时可以获得的年平均收益率 到期收益率计算公式 例题 如果票面金额为1000元的两年期债券 第一年支付60元利息 第二年支付50元利息 现在的市场价格为950元 求该债券的到期收益率为多少 以半年为给付期的债券的收益定价 其中 P为价格 C为半年期的票息 y为到期收益率的一半 n为期数 Par为面值 到期价值 已知P 可以用试错法求到期收益率 因此 试错法计算到期收益率步骤 1 给出一个收益率 2 用步骤1给出的收益率计算每笔现金流的现值 3 加总步骤2得出的现金流现值 4 将步骤3得出的现金流总现值与金融工具的价格作比较 当步骤3得出的现金流总现值比金融工具的价格大时 选择一个比步骤1大的收益率重复以上步骤 反之 选择一个更小的收益率进行重复 试错法计算到期收益率通用程序 出错否 dataa delete Run macroa r n d par dataa1 p1 0 doi 1 toiflasobsthen p2 例3 2假定发行者每6个月支付1000000美元给证券持有者并连续支付30次 到期后的支付额为20000000美元 发行时 发行者筹得资金为19696024美元 计算得知 资金总成本率为5 10 半年期 利用通用程序 a r n d par 取值如下 a 0 05 30 1000000 20000000 a 0 0505 30 1000000 20000000 a 0 051 30 1000000 20000000 计算结果 Obsp1p2prr1n115372451 034627548 9720000000 0010 05 0030215285221 194561926 6019847147 7910 15 053015198759 444497265 3719696024 8110 25 1030将计算结果与该金融工具的价格19696024美元比较 5 10 为其到期收益率 半年期 作业 上面的调用通用函数的方法虽然可行 但是一种替代的方法是通过循环控制的想法一步实现 开始取较小值的r 然后令r递增 知道得到的小于给定的债券价格时 循环结束 从而得到最终的债券到期收益率的近似值 近似的精确程度可以通过递进的步长来控制 设计这样的程序 检查时间 下周一 注 上例也可以直接用SAS函数yield yieldp 20000000 2000000 20000000 2 30 0 5 19696024 函数yieldp用法 YIELDP A c n K k0 p 其中A表示面值 c为小数形式表示的名义年票息率 n为年付息次数 K为从现在起至到期日生于付息次数 k0为现在到下一个付息日的时间 p为价格 计算结果一致 回原来利用函数计算页面 Yieldp函数介绍 票面利率概述 票息 Couponrate 票面利率是指在债券上标识的利率 一年的利息点票面金额的比例 是它在数额上等于债券每年应付给债券持有人的利息总额与债券总面值相除的百分比 票面利率的高低直接影响着证券发行人的筹资成本和投资者的投资收益 一般是证券发行人根据债券本身的情况和对市场条件分析决定的 债券的付息方式是指发行人在债券的有效期间内 向债券持有者分批支付利息的方式 债券的付息方式也影响投资者的收益 票面利率固定的债券通常每年或每半年付息一次 Coupon亦指息票 即附于债券上 供持有人支取利息的凭证 企业债券必须载明债券的票面利率 票面利率的高低在某种程度上不仅表明了企业债券发行人的经济实力和潜力 也是能否对购买的公众形成足够的吸引力的因素之一 债券价格 到期收益率与票面利率之间的关系可作如下概括 票面利率 到期收益率 债券价格 票面价值票面利率 到期收益率 债券价格 票面价值票面利率 到期收益率 债券价格 票面价值 当前收益率 证券的当前收益率定义 票息率 面值 债券当前价格 有效利率 有效利率是指能够真实反映全部中长期贷款成本的年费用率例 已知一笔为期7年的l亿美元贷款 年利率10 协议规定宽限期为3年 偿付期为4年 分4次等额还本 该借款人在签约后立即一次性提款 无需支付承担费 他需要按贷款额的0 5 一次性支付管理费 每年还需支计其他费用5万美元 求有效利率 精确计算法 虑到货币的时间价值 计算有效利率要使用下面的公式 上式中 L为贷款额现值 M为一次性支付的费用 n为付息次数 C1 C2 C3 Cn分别为第一次 第二次 第n次还本付息和支付其他费用的金额 r为有效利率 以前面的例子为例说明 L 1亿美元M 0 5 1亿 0 005亿美元C1 C2 C3 1亿 10 5万 1005万美元C4 2500万 l亿 10 5万 3505万美元C5 2500万 0 75亿 10 5万 3255万美元C6 2500万 0 5亿 10 5万 3005万美元C7 2500万 0 25亿 10 5万 2755万美元 10 9 5 10 5 r 10 19 有效利率的作用 有效利率从合并利息 费用 利息计算方法和其他贷款要求助财务开支等方面 而区别于表面利率 有效利率还应该包括强制储蓄的成本成借款人的团体资金贡献 因为这些也是资金成本 我们在计算有效利率时不考虑交易成本 借款人获得贷款时的金融或非金融成本 如开一个银行账户 交通 照顾小孩 或机会成本 因为这些指标受市场影响变化太大 然而 设计信贷和储蓄业务的发放时尽量减少小型信贷机构和客户的交易成本很重要 影响有效利率的因素 影响因素字面利息率 利息计算方法 衰减余额或平息法 贷款初期利息的支付 作为向借款人发放的本金的扣除额或在贷款期限利息的支付 起始阶段或在贷款过程中收取的手续费 支付担保 保险 或团体资金的金额 强制储蓄或补偿余额 以及由小型信贷机构或另一个机构 银行 信贷联盟 向借款人支付的相应利息 支付频率 贷款期限 贷款数额 基点 基点BasisPoint bp 在金融方面的的含义指的是债券和票据利率改变量的度量单位 一个基点等于1个百分点的1 即0 01 因此 100个基点等于1 一浮动利率债券的利率可能比LIBOR高10个基点 100个基点相当于1 该债券的利率可能比普遍使用的LIBOR利率高0 1 LIBOR LIBOR是LondonInterbankOfferedRate的缩写 中文称 伦敦银行同业拆放利率 指欧洲货币市场上 银行与银行之间的一年期以下的短期资金借贷利率 同业拆放有两个利率 拆进利率 BidRate 表示银行愿意借款的利率 拆出利率 OfferedRate 表示银行愿意贷款的利率 同一家银行的拆进和拆出利率相比较 拆进利率永远小于拆出利率 其差额就是银行的得益 浮动利息率 浮动利率是一种在借贷期内可定期调整的利率 根据借贷双方的协定 由一方在规定的时间依据某种市场利率进行调整 一般调整期为半年 浮动利率因手续繁杂 计算依据多样而增加费用开支 因此 多用于3年以上的及国际金融市场上的借贷 浮动利率的设定 浮动利率 参考利率 指数利差 在美国市场上 一般拆进利率在前 拆出利率在后 如 3 25 3 50 而在英国市场上 一般是拆出利率在前 拆进利率在后 如 3 50 3 25 现在LIBOR已经作为国际金融市场中大多数浮动利率的基础利率 以银行从市场上筹集资金进行转贷的融资成本 贷款协议中议定的LIBOR 通常是几家指定的参考银行在规定的时间 一般是伦敦时间上午11 00 报价的平均利率 计算方法如何 抽样的统计方法 课本中所给出的有效年利率计算 银行存款中有名义年利率和有效年利率 这两种利率中较高的一个是有效年利率 有效年利率与周期性利率之间的换算关系 其中 m为每年支付的频率 例3 5半年期周期性利率为4 时有效年收益率为1 042 1 8 16 如果利息按季支付 那么周期性利率为2 时有效年利率为8 24 计算程序 macroa r m data i 1 计算结果 r 2 i 0 08243216 注 上例也可以直接用SAS函数r compound 1 1 02 0 25 函数compound的用法 COMPOUND a f r n 其中a表示期初值 f表示期末值 r为有效年利率 n为年付息次数 也可以用excel函数r EFFECT 0 08 4 EFFECT nominal rate npery 三种收益率之间的关系 债券当前收益率定义如下 表3 2三种收益率之间的关系 例3 6计算一种票息率为6 价格为700 89美元的18年期债券的当前收益率和到期收益率 假定这种债券5年内第一次被赎回的价格为1030美元 该债券的票息为每6个月支付30美元 连续支付10次 求该债券第一个赎回日的收益率 利用通用程序 a r n d par 取值如下 a 0 056 10 30 1030 a 0 0585 10 30 1030 a 0 061 10 30 1030 a 0 0635 10 30 1030 a 0 066 10 30 1030 a 0 0685 10 30 1030 a 0 071 10 30 1030 a 0 0735 10 30 1030 a 0 076 10 30 1030 第一个赎回日收益率计算 计算结果 Obsp1p2prr1n1225 048597 308822 35611 25 60102222 380583 349805 72911 75 85103219 760569 749789 50912 26 10104217 187556 496773 68312 76 35105214 659543 582758 24113 26 60106212 176530 997743 17313 76 85107209 737518 731728 46814 27 10108207 340506 777714 11714 77 3510204 985495 125700 11015 27 6010比较得出 债券第一个赎回日的收益率为15 2 清算日处于两个付息日之间的到期收益率计算 清算日处于两个付息日之间的到期收益率计算公式 其中 P为全价 C为半年的票息支付 y为到期收益率的一半 w n为票息支付的次数 Par为到期价值 例3 7假设有一种票息率为10 的公司债券在2003年3月1日到期 该债券的全价为118 788美元 清算日在1997年7月17日 计算该债券的到期收益率 表3 3为该债券的日期与对应现金流 计算程序的第一段有相关数据的输出 表3 3日期与对应的现金流 计算程序 data date0 01mar1997 d date1 17jul1997 d date2 01sep1997 d days02 datdif date0 date2 30 360 美国公司债适合30 360标准 days12 datdif date1 date2 30 360 n 2 2003 1997 w days12 days02 putdays02 days12 n w callsymput n n 创建一个值来自data步的宏变量n callsymput w w 创建一个值来自data步的宏变量w dataa delete macroa r dataa1 p1 0 doi 1to p p1 p2 r 200 计算结果 Obsp1p2prr1wn149 258466 9691116 2277 263 6300 2444411248 994066 2108115 2057 473 7350 2444411于是 当该公司债券半年期利率为3 63 时 能使其现金流的现值等于其全价118 78美元 所以这种债券的到期收益率为7 26 即23 63 注 上例也可以直接用SAS函数YIELD YIELDP 100 0 1 2 12 0 12222 118 788 注意 W值为和半年期相比得到的 但是在yieldp函数中 其计量单位以年为基本计量单位 因此现在开始到下一个付息日的时间间隔为0 12222计算结果一致 利用函数计算 投资组合到期收益率计算 投资组合到期收益率的计算步骤 1 确定投资组合中所有证券的现金流 2 找出一个利率 3 用第二步利率得到的现金流现值和与投资组合的市场价值进行比较 4 根据第三步的比较结果决定是否重复上述计算 例3 9现有三种债券 假定每种债券的票息支付日相同 投资组合的市场价值为57259000美元 投资组合中每种债券的现金流及整个投资组合的现金流由表3 5列出 表3 5三种债券投资组合的现金流 macroa y dataa ap1 0 don 1to9 ap1 ap1 350000 1 datab bp1 0 don 1to13 bp1 bp1 1050000 1 datac cp1 0 don 1to5 cp1 cp1 900000 1 a 0 0476966 dataabc mergeabc p ap bp cp putp run 输出结果 p 57259006 946比较得知 该投资组合的到期收益率为9 53932 即24 76966 注 本例程序与本章开始的计算到期收益率通用程序的功能相同 但算法设计不同 其它计算 浮动利率证券的贴现差额计算公式 浮动利率 参考利率 指数利差 贴现差额计算步骤 1 在假定参考利率在证券到期前保持不变的条件下 计算现金流 2 选出一个差额 3 将现金流贴现 4 将步骤3计算出来的现金流现值与证券的价格作比较 如果现金流的现值等于证券的价格 则贴现差额等于步骤2中假定的差额 例3 10假定有一6年期的浮动利率证券 该证券的价格为99 3098美元 按参考利率加上80个基本点 指数利差 向外支付 参考利率的当前值是10 这种证券的票息率每6个月调整一次 票息率为5 4 到期价值为100美元 计算步骤1 票息率 10 0 8 2 5 4 2 按照步骤1进行计算 由于不是贴水债券 则当前的发行价为100 3 选出利差 计算 到折现值为99 3098停止 4 得到贴现差额 5 备注 从数学角度而言 这个问题没有新意 但是从实务操作而言 具有优越性 表3 6不同贴现差额的计算结果 dataa delete macroa y z x dataa1 don 1to12 ifn 12thenp dataa mergeaa1 menda a 0 05 0 004 80 a 0 05 0 0042 84 a 0 05 0 0044 88 a 0 05 0 0048 96 a 0 05 0 005 100 procprintdata anoobs run 计算程序 由计算结果得出 贴现差额应为96个基本点 债券价格与必要收益率 略 例3 11表3 7给出了票面价值为1000美元 必要收益率从5 14 的20年期 票息率为9 的债券价格 表3 7必要收益率与债券价格关系 dataa delete macroa y dataa1 p1 45 1 1 1 a 0 03 a 0 035 a 0 04 a 0 045 a 0 05 a 0 055 a 0 06 a 0 065 a 0 07 procprintdata a run 结果 Obsp1p2py11129 62372 4311502 06521040 16306 5571346 7263960 98252 5721213 5574890 67208 2891098 9685828 07171 9291000 0096772 16142 046914 20107722 08117 463839 54118677 0897 222774 31129636 5580 541717 091310599 9366 780666 7114 不含期权债券价格与收益率关系图 procgplotdata a plotp y 1 symbol1v nonei joinr 1c black title2 不含期权债券价格与收益率关系图 labelp 价格 y 必要收益率 run 债券价格时间轨迹 例3 12列出面值为1000美元 期限为20年 票息率为9 必要收益率为12 的债券逼近到期日时的债券价格情况 但是下述程序由错误 尽管结果没有太大差别 title2 dataa don 40to0by 2 p1 45 1 1 1 0 06 n 0 06 p2 1000 1 1 0 06 n p p1 p2 year n 2 output end procprintdata anoobs varyearp1p2p run 生成图表程序 打印列表结果 YearP1P2P20677 08397 22774 3119668 071109 24777 31 182 503890 00972 5000 0001000 001000 00 假定必要收益率不变的情况下 债券价格时间轨迹图程序 dataa seta p0 1000 procgplotdata a plotp year 1p0 year 2 overlay symbol1v nonei joinr 1c black symbol2v nonei joinr 1c black title2 假定必要收益率不变的情况下 贴水债券时间轨迹 labelp 价格 year 剩余到期年数 run 例3 14假设有一种票息率为10 的公司债券 2003年3月到期 到期价值为100美元 清算日在1997年7月17日 若必要收益率为6 5 求债券价格 适用30 360 dataa delete macroa y dataa1 date1 17jul1997 d date2 01sep1997 d days1 datdif date1 date2 30 360 w days1 180 callsymput x w 创建一个值来自data步的宏变量x p1 0 don 1to12 p1 p1 5 1 dataa1 seta1end lasobs iflasobs p2 105 1 计算结果 p 123 51 注 可以用SAS函数直接计算 pv pvp 100 0 1 2 12 0 1222 0 065 函数PVP用法 PVP A c n K k0 y 其中A表示面值 c表示名义年票息率 n为年付息次数 K为生于付息次数 k0为现在到下一次付息日的间隔 y为必要收益率 收益率与发行价 如果选择到期收益率为9 则可以发现该债券的价格适终为1000 即债券为评价销售 如果到期收益率小于9 则成为溢价销售 其他情况为折价销售 由此 可以看出发行价与到期收益率 票息率之间的关系 贴贴水债券介绍 贴现债券又称贴水债券是指在票面上不规定利率 发行时按某一折扣率 以低于票面金额的价格发行 到期时仍按面额偿还本金的债券 即指 以低于面值发行 发行价与票面金额之差额相当于预先支付的利息 债券期满时按面值偿付的债券 债券按付息方式分类 可分为贴现债券 零息债券 附息债券 固定利率债券 浮动利率债券 在国外 贴水发行的折现债券有两种 分别为贴现债券和零息债券 ZeroCouponBonds 零息债券 在国外 通常短期国库券 TreasuryBills 是到期时仅以面值支付都是贴现债券 上世纪80年代国外出现了一种新的 债券 它是 零息 的 即没有息票 也不支付利息 实际上 投资者在购买这种债券时就已经得到了利息 零息债券的期限普遍较长 最多可到20年 它以低于面值的贴水方式发行 投资者在债券到期日可按债券的面值得到偿付 贴水债券的优缺点 1 优点 购买贴现债券有利于投资者利用再投资效果增加资产运营的价值 其次 即使存在收益率 期限相同的贴现债券和附息债券 在债券面额都是100元的情况下 受投资者资金额的限制 购买贴现债券也比较合算 因为少量资金拥有者也可进入市场 也能取得同样收益率 2 不足 中长期资金市场的利率走势较难判断 而贴现债券的收益是在发行时就固定的 如果做中长期的贴现债券 万一利率出现了意想不到的变化 对投资者或发行人都会产生不利的影响 所以 中长期贴现债券很少使用 贴水债券中的调整发行价 有前面的计算案例可知 如果是贴水发行债券 则票息率低于到期收益率 此类债券当债券临近到期日时 价格会上升 于是价格表现为一种上升的趋势 上升的趋势来源有两点 票息和利息 为了做到平价发行债券 需要对债券的价格做调整 具体算法见课本的例题 首次发行贴水债券的债务处理过程 1 计算年利息 即申报的毛收入 为调整后的发行价格与发行时到期收益率的乘积 2 计算票面利息 3 计算当年摊还的发行贴水额 为年利息 毛收入 与票面利息之差 4 计算调整后的发行价格 为当年摊还的首次发行贴水额与原发行价格之和 例3 15票息率为4 半年付一次息 的5年期债券 以7683美元的价格发行 赎回价值为10000美元 假设该债券的到期收益率为10 求调整后的发行价格 dataa p 7683 don 1to10 year n 2 t p 0 05 c 10000 0 02 b t c p b p putyear p t c b output end labelyear 持有年限 t 申报的毛收入 c 票面利息 b 调整的发行贴水 p 调整后的发行价格 run datab seta optionsnocenter procprintdata blabelnoobs varyeartcbp title 以持续收益法调整发行价格 title options run 输出结果 持有年限年利息 毛收入 票面利息当期摊还的发行贴水调整后的发行价格0 5384 150200184 1507867 151 0393 358200193 3588060 511 5403 025200203 0258263 532 0413 177200213 1778476 712 5423 835200223 8358700 543 0435 027200235 0278935 573 5446 779200246 7799182 354 0459 118200259 1189441 474 5472 073200272 0739713 545 0485 677200285 6779999 22 债券久期计算 久期是反映债券价格波动的一个指标 它对到期时间进行加权平均 权重等于各期现金流的现值占总债券现金流现值的比例 久期实际表示的是投资者收回初始投资的理论平均时间 久期与修正久期计算 麦考雷 Macaulay 久期的计算公式 麦考雷久期 以期间计 麦考雷久期 年 麦考雷久期 以期间计 k其中 PVCFt为以t期对应的市场普遍收益率进行贴现得到的债券在第t期的现金流现值 n为债券持有期内现金流的期间总数 TPV为债券各期现金流的总现值 k为每年支付现金流的次数 久期随着市场利率的下降而上升 随着市场利率的上升而下降 这说明两者存在反比关系 此外 在持有期间不支付利息的金融工具 其久期等于到期期限或偿还期限 那些分期付息的金融工具 其久期总是短于偿还期限 是由于同等数量的现金流量 早兑付的比晚兑付的现值要高 金融工具到期期限越长其久期也越长 金融工具产生的现金流量越高 其久期越短 到期时间 息票率 到期收益率是决定债券价格的关键因素 与久期存在以下的关系 1 零息票债券的久期等于到它的到期时间 2 到期日不变 债券的久期随息票据利率的降低而延长 3 息票据利率不变 债券的久期随到期时间的增加而增加 4 其他因素不变 债券的到期收益率较低时 息票债券的久期较长 修正久期 其中 PVCFt为以t期对应的市场普遍收益率进行贴现而得债券在第t期的现金流现值 n为债券持有期内现金流的期间总数 TPV为债券各期现金流的总现值 Y为到期收益率的一半 久期的用途 久期的计算就当是在算加权平均数 其中变量是时间 权数是每一期的现金流量 价格就相当于是权数的总和 因为价格是用现金流贴现算出来的 这样一来 久期的计算公式就是一个加权平均数的公式了 因此 它可以被看成是收回成本的平均时间 决定久期即影响债券价格对市场利率变化的敏感性包括三要素 到期时间 息票利率和到期收益率 在债券分析中 久期已经超越了时间的概念 投资者更多地把它用来衡量债券价格变动对利率变化的敏感度 并且经过一定的修正 以使其能精确地量化利率变动给债券价格造成的影响 修正久期越大 债券价格对收益率的变动就越敏感 收益率上升所引起的债券价格下降幅度就越大 而收益率下降所引起的债券价格上升幅度也越大 可见 同等要素条件下 修正久期小的债券比修正久期大的债券抗利率上升风险能力强 但抗利率下降风险能力较弱 债券组合的久期计算公式 债券组合的久期 其中 债券i市值总和在债券组合市值总和中所占的比重 债券i的修正久期 债券组合中债券的个数 例3 16面值为100美元 票息率为10 的5年期债券 收益率为10 计算久期 以年计 及修正久期 dataa c2 0 tc2 0 don 1to10 t n ifn 10thenc 5 elseifn 10thenc 105 a 1 1 0 05 n c1 c 1 0 05 n tc1 t c1 c2 c2 c 1 0 05 n tc2 tc2 t c 1 0 05 n ifn 10thend tc2 c2 2 md d 1 0 05 output end datab seta dropc2tc2n labelt 时间 c 现金流 a 1美元的现值 c1 现金流的现值 tc1 t pvcf d 久期 以年计 md 修正久期 procprintdata blabelnoobs title 久期及修正久期 vardmd run 输出结果 久期 以年计 修正久期4 053913 86087 注 修正久期可直接用SAS函数计算 Modifdur DURP 100 0 1 2 10 0 5 0 1 函数DURP用法 DURP A c n K k0 y 其中A表示面值 c表示名义年票息率 n为年付息次数 K为生于付息次数 k0为现在到下一次付息日的间隔 y为收益率 例3 19面值为100美元 票息率为10 到期收益率为10 的5年期债券 以平价出售 计算久期 macrod i y p dataa x 100 输出结果 d 8 1078216756 修正久期的近似计算 近似久期 其中 V 为收益率下降证券的估计价格 V 为收益率上升证券的估计价格 V0为证券初始价格 为证券收益率的变化 例3 20票息率为7 到期收益率为10 的20年期债券 以74 26美元的价格出售 收益率上升或下降20个基本点的价格变化如下所示 试计算近似修正久期 V 75 64468623V 72 917291682V0 74 261370469 0 002 半年变化10个基本点 收益率上升或下降20个基本点的债券初始价格计算程序 dataa delete macroa n y cupon par dataa1 p1 0 doi 1 to dataa setaa1 putp menda a 40 0 05 0 035 100 a 40 0 052 0 035 100 a 40 0 048 0 035 100 run p 74 261370469p 71 611134614p 77 068604183 近似久期计算程序 macromd Vu Vd V y dataa md 输出结果 MD 9 15701589结果接近精确值md 9 1802370384 精确值计算程序 macrod y cupon period p0 dataa c2 0 tc2 0 don 1to ifn 输出结果为 md 9 1802370384 债券的凸度 凸性是指在某一到期收益率下 到期收益率发生变动而引起的价格变动幅度的变动程度 凸性是对债券价格曲线弯曲程度的一种度量 凸性的出现是为了弥补久期本身也会随着利率的变化而变化的不足 因为在利率变化比较大的情况下久期就不能完全描述债券价格对利率变动的敏感性 凸性越大 债券价格曲线弯曲程度越大 用修正久期度量债券的利率风险所产生的误差越大 修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系 即到期收益率变化时债券价格的稳定性 在同等要素条件下 修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强 但抗利率下降风险能力较弱 可以通过一种简单的情形来解释 凸度 久期描述了价格 收益率曲线的斜率 凸性描述了曲线的弯曲程度 凸性是债券价格对收益率的二阶导数 是对债券久期利率敏感性的测量 在价格 收益率出现大幅度变动时 它们的波动幅度呈非线性关系 由持久期作出的预测将有所偏离 凸性就是对这个偏离的修正 凸性的性质 1 凸性随久期的增加而增加 若收益率 久期不变 票面利率越大 凸性越大 利率下降时 凸性增加 2 对于没有隐含期权的债券来说 凸性总大于0 即利率下降 债券价格将以加速度上升 当利率上升时 债券价格以减速度下降 3 含有隐含期权的债券的凸性一般为负 即价格随着利率的下降以减速度上升 或债券的有效持续期随利率的下降而缩短 随利率的上升而延长 因为利率下降时买入期权的可能性增加了 凸性的作用 凸性度量的是债券价格与利率之间的变化强弱 加速度 的大小 反映了债券价格对于利率因素的反应灵敏程度 相同的产品 可能其到期收益率一致 债券价格一致 但是由于现金流的派付方式不同 可以导致不同的凸性 由于未来利率变动的不确定性 因此有必要对于产品的凸性进行定价或指定政策进行监管 凸性的作用 续 市场中的债券价格果真有反应出债券凸性的价值吗 KahnandLochoff 1990 使用1981年至1986年的美国公债为样本 发现债券凸性在某些情况下会给投资人带来超额投资报酬 也就是说即使投资人以较高的价格购入具有高债券凸率的债券 其投资报酬仍然要比投资于低凸率债券为佳 这显示出交易市场对于债券凸性的定价并不正确 因此存在有超额获利空间 LaceyandNawalkha 1993 则提出了不同的结论 这两位学者以1976到1987年的美国公债为样本作分析 结果并未发现高债券凸性会带给投资人超额的报酬 表示其已被市场正确的定价 凸性在国内的应用情况 国内的研究结果发现 债券凸性在解释国内公债超额报酬的能力上并不显著 再度验证国内公债市场投资人对于债券凸性并未做出合理定价 这表示市场投资人或可针对债券凸性找出套利机会 在这个方面有很多未尽的问题值得研究 比如考虑了债券凸度的债券定价体系等问题 在已有的国外文献中已有人提出有关的公式 但是此类问题往往没有固定的 唯一的答案 债券凸度计算 凸度 分期限计算 凸度 按年计算 凸度 分期限计算 零票息债券的凸度 其中 PVCFt为以第t期对应的收益率贴现得到的第t期现金流现值 n为总的时期数 Y为到期收益率的一半 PVTCF为以到期收益率贴现得到的各期现金流总现值 为每年付息的次数 例3 21假设面值为100美元 5年期的票息率为8 的债券 每半年付息 假设该债券的初始收益率为10 计算该债券的凸度 macrod y cupon period p0 dataa c2 0 tc2 0 don 1to ifn 计算结果 凸度 以半年记 concave 78 29424228凸度 以年计 yearlyconcave 19 57356057 注 也可以用SAS函数直接计算 convx convxp 100 0 08 2 10 0 5 0 1 函数convxp的用法 CONVXP A c n K k0 y 其中A表示面值 c表示名义年票息率 n为年付息次数 K为生于付息次数 k0为现在到下一次付息日的间隔 y为收益率 例3 22假设面值为100美元 5年期的零息票债券 年收益率为10 计算凸度 macroconcave n y dataa concave 计算结果 凸度concave 99 77324263 计算凸度引起的价格变化 凸度引起价格变化百分比的估计值 例3 24面值为100美元 期限为15年的票息率为8 的债券 每半年付息 其初始收益率为10 若收益率由10 增长到13 计算凸度引起的价格变化 首先计算年凸度 只需要将上面凸度计算程序中的宏参数值改为 d 0 05 4 30 100 即可求得年凸度为94 3571 macrovp x y dataa caused 0 5 计算结果 凸度引起的价格变化为caused 4 2460695 美元凸度 美元凸度 凸度 初始价格 为确定美元引起的价格变化幅度 可以利用以下公式 凸度解释的价格变化幅度 例3 25期限为15年的票息率为8 的债券 收益率为10 计算每100美元面值债券的美元凸度 首先计算凸度和初始价格 凸度 94 36初始价格 84 627548973凸度前面已经计算过 初始价格的计算程序为 dataa delete macroa n y cupon par dataa1 p1 0 doi 1 to iflasobs p2 计算的初始价格为p 84 627548973 计算美元凸度程序 macroanlaye x y p dataa concave 计算结果 美元凸度concave 7985 4555211100基点的价格变化vp 0 3992727761200基点的价格变化vp 1 5970911042 近似凸度 近似凸度 其中 V 为收益率下降证券的估计价格 V 为收益率上升证券的估计价格 V0为证券初始价格 为证券收益率的变化 例3 26面值为100美元 期限为20年 票息率为7 的债券 到期收益率为10 假设发生20个基点的变化 计算凸度 已知条件 V 75 64V 72 92V0 74 26 0 002 macroconcave Vu Vd V y dataa yearlyconcoave 计算结果 concoave 134 66199838精确计算凸度 以年计 yearlyconcave 132 077 精确计算凸度的程序 macrod y cupon period p0 dataa c2 0 tc2 0 don 1to ifn 结果 精确计算凸度 以年计 yearlyconcave 132 077 抵押支持债券贷款利率计算 例3 27一宗4年期抵押贷款 设未来5年每年的贷款利率分别为8 10 12 13 11 计算抵押贷款利率 dataa I 1 0 08 1 0 1 1 0 12 1 0 13 1 0 11 0 2 1 PutI run 抵押贷款利率I 0 1078658 绩效衡量 债券组合的到期收益率 其中 Rp为组合到期收益率 V1为期末组合市价 V0为期初组合市价 D为评估期内组合对客户的现金分配 例3 28一个债券投资组合期初与期末市场价格分别为1亿美元和1 12亿美元 在评估期内分给投资人500万美元的利息收入 收益率计算 macror v1 v0 d data r 计算结果 r 0 17 例3 29第1至4月的组合子期收益率分别为12 25 15 和 2 则月平均收益率为5 算术平均时序收益率程序 macror r1 r2 r3 r4 n dataa r 计算结果 r 0 05 几何平均时序收益率程序 macror r1 r2 r3 r4 n dataa r 计算结果 r 0 039185933 美元权重收益率 美元权重收益率就是内生收益率 例3 30一个7月初市价为100000美元的组合 7 9月每月抽回资金5000美元 没有客户的追加现金投入 9月底组合市价为110000美元 计算程序 data don 0 07to0 10by0 001 p 5000 1 n 5000 1 n 2 115000 1 n 3 r n ifabs p 100000 100thenputp r end run 计算结果 p 99941 704989r 0 081 算术平均收益率 算术平均收益率计算简单 不同时间段的权重都相同 算术平均收益率指标有时不太合理 会产生误解 参考下面例子 例3 31一年中 前四个月的收益情况分别是一月 50 二月50 三月 50 四月50 如果只关注这四个月的投资收益情况 算术平均收益率 50 50 50 50 4 0 换句话说 平均收益率是0 但是看一下数据会知道 在这四个月中该投资者是亏损的 所以 算术收益率带来的是错误的结论 如果在十二月底投资 1 000 000 根据前四个月收益数据 四月底的资本剩余为 562 500 计算公式如下 算术平均收益率存在的问题可以由几何平均收益率解决 几何平均收益率 实际中几何收益率常常有两种形式 价值加权 value weighted 几何平均 时间加权 time weighted 几何平均 价值加权收益率 或者称作美元加权收益率dollar weightedrateofreturn 是在一系列现金流中找到一个公共的收益率 一般情况下 可以用下面的公式计算收益率r 这里是在t时刻来自证券组合的净现金流量 收益现金流减去支出现金流 t 1 T 是组合一开始的市场价值 是结束时刻的市场价值 例3 32分别计算下面两个投资的价值加权和时间加权收益率 1 起始投资额为50 即投资组合起始时的市场价值为50 一年后 投资组合的价值为100 首先计算年度价值加权收益率 以表示 解为 100 现在计算年度时间加权收益率 以表示 则 2 起始投资额为50 六个月后 净现金流为 25 现金流出 一年后投资组合的价值为100 首先计算年度价值加权收益率 以表示 解为 40 69 现在计算年度时间加权收益率 以表示 则 其中和分别是前六个月和后六个月的时间加权收益率 于是 得到年度时间加权收益率为 例3 33第1至4月的组合子期收益率分别为12 25 15 和 2 则月平均收益率为5 算术平均时序收益率程序 macror r1 r2 r3 r4 n dataa r 计算结果 r 0 05 时间加权几何平均时序收益率程序 macror r1 r2 r3 r4 n dataa r 计算结果 r 0 039185933 变化利率的定价方法 data delete run datax1 doi 1to10 r 1 i 100 lnr log r output end run datax2 setx1 sumlogr lnr prodlogr 1 exp sumlogr run datax3 c 5 par 100 setx2end lastobs coup c prodlogr totalcoup coup iflastobsthenprice totalcoup par prodlogr putprice run 结果以及作业 price 99 690362254NOTE 从数据集WORK X2读取了10个观测 NOTE 数据集WORK X3有10个观测和10