离散型随机变量及其分布.ppt

2 2离散型随机变量的概率分布及其分布函数 一 离散型随机变量的概念 二 离散型随机变量的分布函数 三 常见的离散型随机变量的概率分布 定义 若随机变量X的可能取值是有限多个或无穷可列多个 则称X为离散型随机变量 一 离散型随机变量的概念 设X是一个离散型随机变量 它可能取的值是x1 x2 为了描述随机变量X 我们不仅需要知道随机变量X的取值 而且还应知道X取每个值的概率 离散随机变量的概率分布 称此式为X的分布律 列 或概率分布 设离散型随机变量的所有可能取值是 而取值的概率为 即 一般列成概率分布表 概率分布的性质 这样 我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律 从中任取3个球 取到的白球数X是一个随机变量 X可能取的值是0 1 2 取每个值的概率为 例1 且 F x 是分段阶梯函数 在X的可能取值xk处发生间断 间断点为第一类跳跃间断点 二 离散型随机变量的分布函数 注意右连续 注意 离散型随机变量的概率分布分以下几步来求 1 确定随机变量的所有可能取值 2 设法 如利用古典概率 计算取每个值的概率 3 列出随机变量的概率分布表 或写出概率函数 P 抽得的两件全为次品 求分布律举例 例1设有一批产品20件 其中有3件次品 从中任意抽取2件 如果用X表示取得的次品数 求随机变量X的分布律及事件 至少抽得一件次品 的概率 解 X的可能取值为0 1 2 P 抽得的两件全为正品 P X 1 P X 2 P 只有一件为次品 P X 0 故X的分布律为 而 至少抽得一件次品 X 1 X 1 X 2 P X 1 P X 1 P X 2 注意 X 1 与 X 2 是互不相容的 实际上 这仍是古典概型的计算题 只是表达事件的方式变了 故 例2 从1 10这10个数字中随机取出5个数字 令X 取出的5个数字中的最大值 试求X的分布律 具体写出 即可得X的分布律 解 X的可能取值为 5 6 7 8 9 10 并且 求分布率一定要说明k的取值范围 设随机变量X的分布律为 试确定常数b 解 由分布律的性质 有 例3 1 0 1分布 注 其分布律可写成 三 常见的离散型随机变量的概率分布 凡是随机试验只有两个可能的结果 应用场合 常用0 1分布描述 如产品是否合格 人口性别统 计 系统是否正常 电力消耗是否超负荷等等 例 设一个袋中装有3个红球和7个白球 现在从中随机抽取一球 如果每个球抽取的机会相等 并且用数 1 代表取得红球 0 代表取得白球 则随机抽取一球所得的值是一个离散型随机变量 其概率分布为 即X服从两点分布 2 二项分布 背景 n重Bernoulli试验中 每次试验感兴趣的事件A在n次试验中发生的次数 X是一离散型随机变量 若P A p 则 称X服从参数为n p的二项分布 也叫Bernolli分布 记作 0 1分布是n 1的二项分布 例3 1 1一大批产品的次品率为0 1 现从中取出15件 试求下列事件的概率 B 取出的15件产品中恰有2件次品 C 取出的15件产品中至少有2件次品 由于从一大批产品中取15件产品 故可近似看作是一15重Bernoulli试验 解 所以 例3 1 2某公交公司有车辆300台 每台出故障的概率是0 01 求至少有295辆车能正常运行的概率 解 观察每辆车是否正常运行是只有两个结果的试验 观察300辆车是否正常运行可看作是做了300重Bernoulli试验 至多有5辆车出故障的概率为 令X 出故障的车辆数 则X b 300 0 01 至少有295辆车能正常运行 即至多有5辆车出故障 设 0为一常数 n是任意正整数 设npn 则对任一固定的非负整数k 有 考虑到直接计算上式较麻烦 当n很大p很小时 有下列近似计算公式 这就是下面的泊松定理 Poisson定理 实际应用中 当n较大 p较小 np适中时 即可用泊松公式近似替换二项概率公式 若某人做某事的成功率为1 他重复努力400次 则至少成功一次的概率为 成功次数服从二项概率 有百分之一的希望 就要做百分之百的努力 在一定时间间隔内 一匹布上的疵点个数 大卖场的顾客数 应用场合 电话总机接到的电话次数 一个容器中的细菌数 放射性物质发出的粒子数 一本书中每页印刷错误的个数 某一地区发生的交通事故的次数 市级医院急诊病人数 等等 1 泊松分布与二项分布的关系 这两个分布的数学模 说明 型都是Bernoulli概型 Poisson分布是二项分布当n很大p很小时的近似计算 2 Poisson分布主要用于描述一些稀有事件 如地震 火山爆发 特大洪水等等 例3 1 3 进货问题 由某商店过去的销售记录知道 海尔彩电每月的销售数可用参数为 5的泊松分布来描述 为了以95 以上的把握保证月底不脱销 问商店在月底至少应进多少台 解 设每月的销售数为X 月底进N台 则 即求满足P X N 0 95的最小的N 由于P X N 1 P X N 即求 查表知 N 1 10 所以 即要以95 以上的把握保证月底不脱销 月底至少应进9台商品 4 几何分布 设用机枪射击一次击落飞机的概率为 无限次地射击 则首次击落飞机时所需射击的次数服从参数为的几何分布 记 即 容易验证 若在前m次射击中未击落飞机 那么 在此条件下 为了等到击落时刻所需要等待时间也服从同一几何分布 该分布与m无关 这就是所谓的无记忆性 5 超几何分布 设有产品件 其中正品件 次品件 从中随机地不放回抽取件 记X为抽到的的正品件数 求X的分布律 此时抽到件正品的概率为 k 0 1 称X服从超几何分布 记 可以证明超几何分布的极限分布就是二项分布 因此在实际应用中