系统工程模型和模型化.ppt

第四章系统模型与模型化 第一节 系统建模第二节 解释结构模型化技术第三节 主成分和聚类分析第四节 系统定量分析模型第五节 系统预测和优化技术 1 基本概念及意义模型 对现实系统某一方面抽象表达的结果 应能反映 抽象或模仿 出系统某个方面的组成部分 要素 及其相互关系 说明 系统模型一般不是系统对象本身 而是现实系统的描述 模仿或抽象 系统是复杂的 系统的属性也是多方面的 对于大多数研究目的而言 没有必要考虑系统的全部属性 因此 系统模型只是系统某一方面本质属性的描述 本质属性的选取完全取决系统工程研究的目的 所以 对同一个系统根据不同的研究目的 可以建立不同的系统模型 模型化 构建系统模型的过程及方法 要注意兼顾到现实性和易处理性 第一节 系统建模 意义 对系统问题进行规范研究的基础和标志 经济 方便 快速 可重复 思想 或 政策 试验 经过了分析人员对客体的抽象 因而必须再拿到现实中去检验 2 模型的分类与模型化的基本方法 A 概念模型A1 思维或意识模型A11 字句模型A12 描述模型A13 符号模型A2 图表模型A21 数学模型A22 仿真模型A3形象模型A4 物理模型A41 图像模型A42 类比模型A5 模型的分类P65 模型的分类 B 分析模型B1 通常用数学关系式表达 仿真模型B2 主要基于 计算机导向 博弈模型B3 主要基于 人的行为导向 判断模型B4 基于专家调查的判断 C 结构模型C1数学模型C2仿真模型C3 尽量使用数学模型的好处 它是定量分析的基础 它是系统预测和决策的工具 它可变性好 适应性强 分析问题速度快 省时 省钱 而且便于使用计算机 因此是所有模型中使用最广泛的一种模型 另外 需要说明的是建立一个简明的适用系统模型 将为你进行系统的分析 评价和决策提供可靠的依据 因此 建造系统模型 尤其是建造抽象程度很高的系统数学模型 是一种创造性劳动 因此有人讲 系统建模既是一种技术 又是一种 艺术 系统模型的特征 系统模型反映着实际系统的主要特征 但它又高于实际系统而具有同类问题的共性 因此 同一种模型也可以代表多个系统 一个适用的系统模型应该具有如下三个特征 1 它是现实系统的抽象或模仿 2 它是由反映系统本质或特征的主要因素构成的 3 它集中体现了这些主要因素之间的关系 建模的主要方法 推理法 对白箱S 可以利用已知的定律和定理 经过一定的分析和推理 得到S模型 实验法 对允许实验的黑箱或灰箱S 可以通过实验方法测量其输入和输出 然后按照一定的辨识方法 得到S模型 统计分析法 对不允许实验的黑箱或灰箱系统 可采用数据收集和统计分析的方法来建造S模型 类似法 依据不同事物具有的同型性 建造原S的类似模型 混合法 上述几种方法的综合运用 针对不同的系统对象 可用以下方法建造系统的数学模型 主要建模方法 1 推理法 1 对象 比较简单的白箱系统 2 方法 利用自然科学的各种定理 定律 如物理 化学 数学 电学的定理 定律 和社会科学的各种规律 如经济规律 经过一定的分析和推理 可以得到S的数学模型 生产优化安排的数学模型某化工厂生产A B两种产品 已知 生产A产品一公斤需耗煤9T 电力4000度和3个劳动日 可获利700元 生产B产品一公斤需耗煤4T 电力5000度和10个劳动日 可获利1200元 因条件限制 这个厂只能得到煤360T 电力20万度和劳动力300个 问 如何安排生产 即生产A B产品各多少 才能获利最多 请建立解决此问题的数学模型 建模的主要方法 解 这是在一定条件求极值的数学问题 可运用数学中的线性规划方法 运筹学方法 建立线性规划模型 先将给出的数据整理成下表 建模的主要方法 设生产A B产品各为x1 x2公斤 则此问题变为求x1 x2满足下列条件 9x1 4x2 3604x1 5x2 2003x1 10 x2 300 x1 0 x2 0 1 使得总获利最大 max7x1 12x2 2 显然 1 为约束条件 2 为目标函数 这是一个典型的线性规划模型 建模的主要方法 建模的主要方法 C 20 24 最优生产计划为 A产品 20公斤B产品 24公斤最大获利为42800元 图解法 1 对象 用推理法难以建模的复杂的白箱系统 2 方法 利用不同事物具有的同型性 建造原系统的类似模型 机械系统的电路类似模型在机械系统与电路系统分别用推理法建造出数学模型 用微分方程描述的动力学方程 以后发现 它们具有同型性 即具有相似的数学描述并在参数上一一对应 其运动也都具有振荡的特性 因此 电路系统可以认为是机械系统的一种类似模型 反之亦然 2 类似法 建模的主要方法 系统的数学模型 M d2x dt2 D dx dt Kx F t L d2q dt2 R dq dt 1 C q E t 变量及参数 属性 距离x电荷q速度dx dt电流dq dt外力F t 电压E t 质量M电感L阻尼系数D电阻R弹簧系数K电容C系统行为 机械振荡电振荡 3 实验法和统计分析法 1 对象 可实验和不可实验的黑箱和灰箱系统 2 方法 通过实验或者查阅历史统计资料 找出系统的输入和输出数据 然后运用自控中的传递函数方法或其他的数学方法 如回归分析 时序分析等方法 建立系统输出与输入之间的关系 系统的数学模型 建模的主要方法 粮食生产系统 投入 播种面积x1 t 有效灌溉面积x2 t 化肥投放量x3 t 气候x4 t xn t 产出 粮食总产量y t 通过实验 可以找到粮食总产量y t 与各种投入因素x1 t x2 t xn t 之间的数量关系 构造出数学模型y t f x1 x2 xn 或y t a0 a1x1 t a2x2 t anxn t 建造一个粮食生产系统的数学模型 3 建模一般过程 1 明确建模目的和要求 2 弄清系统或子系统中的主要因素及其相互关系 3 选择模型方法 4 确定模型结构 5 估计模型参数 6 模型试运行 7 对模型进行实验研究 8 对模型进行必要修正 本课程需要考虑的系统模型 ISM InterpretativeStructuralModeling SS StateSpace SD SystemDynamics CA ConflictAnalysis 新进展 软计算或 拟人 方法 人工神经网络 遗传算法等 智能优化技术 粒子群 混沌方法 支持向量机 第二节 解释结构模型化技术 ISM 一 系统结构模型化基础 1 概念 结构 结构模型 结构模型化 结构分析 2 系统结构表达及分析方法 理解系统结构的概念 构成系统诸要素间的关联方式或关系 及其有向图 节点与有向弧 和矩阵 可达矩阵等 这两种常用的表达方式 系统结构模型化基础 比较有代表性的系统结构分析方法有 关联树 如问题树 目标树 决策树 法 解释结构模型化 ISM 方法 系统动力学 SD 结构模型化方法等 本部分要求大家主要学习和掌握ISM方法 实用化方法 规范方法 案例 影响物流企业联盟伙伴选择的因素 二 解释结构模型原理 解释结构模型属于静态的定性模型 理论基础是图论的重构理论 通过一些基本假设和图 矩阵的有关运算 可以得到可达性矩阵 然后再通过人 机结合 分解可达性矩阵 使复杂的系统分解成多级递阶结构形式 在总体设计 区域规划 技术评估和系统诊断方面应用广泛 要研究一个由大量单元组成的 各单元之间又存在着相互关系的系统 就必须了解系统的结构 一个有效的方法就是建立系统的结构模型 而结构模型技术已发展到100余种 1 系统结构的表达方式 1 集合表达法系统 S S1 S2 S3 Sn 二元关系 要素之间的某种关系R 二元关系表示 因果 隶属 大小 先后等关系 二元关系具有传递性 考虑传递次数和强连接关系 系统二元关系表达 Rb Si Sj SiRSj Si Sj S i j 1 n 2 有向图表示P71图论基本知识 图 邻接 关联 有向图有向图表示 节点 有向边 通路 路长 回路 强连接回路 某系统由七个要素 S1 S2 S7 组成 经过两两判断认为 S2影响S1 S3影响S4 S4影响S5 S7影响S2 S4和S6相互影响 这样 该系统的基本结构可用要素集合S和二元关系集合Rb来表达 其中 S S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 Rb S2 S1 S3 S4 S4 S5 S7 S2 S4 S6 S6 S4 例4 1的集合和有向图表示 有向图 对称性关系的单元ei和ej具有强连接性 例 一个孩子的学习问题1 成绩不好2 老师常批评3 上课不认真4 平时作业不认真5 学习环境差6 太贪玩7 父母常打牌8 父母不管9 朋友不好10 给很多钱11 缺乏自信 3 矩阵表达 邻接矩阵 表示要素间基本二元关系 输入要素 源点 列为0输出要素 汇点 行为0可达矩阵 表示要素间直接和间接二元关系 求法 利用推移特性和布尔代数法则主要区别 1 1 1 A1 A I A2 A I 2 Ar 1 A I r 1Ar A I r则可达矩阵M Ar 1 Ar 邻接矩阵 用来表示关系图中各单元之间的直接连接状态的矩阵A 设系统S共有n个单元S e1 e2 en 则其中 邻接矩阵的特点 矩阵元素按布尔运算法则进行运算 与关系图一一对应 举例 一个4单元系统的关系图和邻接矩阵 可达矩阵 若D是由n个单元组成的系统S e1 e2 en 的关系图 则元素为的n n矩阵M 称为图D的可达性矩阵 可达性矩阵标明所有S的单元之间相互是否存在可达路径 如从出发经k段支路到达 称到可达且 长度 为k 一般对于任意正整数r n 若ei到ej是可达的且 长度 为r 则Ar中第i行第j列上的元素等于1 对有回路系统来说 当k增大时 Ak形成一定的周期性重复 对无回路系统来说 到某个k值 Ak 0 性质 可达性矩阵的计算方法假定任何单元ei到它本身是可达的 则由于因此 可计算的偶次幂 如果则 例 故 其他矩阵P45 缩减矩阵 将具有强连接关系的要素对 删除某个要素的行和列后所构成的新矩阵 骨架矩阵 具有最少二元关系个数的邻接矩阵叫M的最小实现二元关系矩阵 1 建立递阶结构模型的规范方法 建立反映系统问题要素间层次关系的递阶结构模型 可在可达矩阵M的基础上进行 一般要经过区域划分 级位划分 骨架矩阵提取和多级递阶有向图绘制等四个阶段 这是建立递阶结构模型的基本方法 现以P42 3 1所示问题为例说明 与图3 1对应的可达矩阵 其中将Si简记为i 为 三 建立递阶结构模型的方法 1234567 1234567 M 1 区域划分 区域划分即将系统的构成要素集合S 分割成关于给定二元关系R的相互独立的区域的过程 首先以可达矩阵M为基础 划分与要素Si i 1 2 n 相关联的系统要素的类型 并找出在整个系统 所有要素集合S 中有明显特征的要素 有关要素集合的定义如下 可达集R Si 系统要素Si的可达集是在可达矩阵或有向图中由Si可到达的诸要素所构成的集合 记为R Si 其定义式为 看行 可以达到那些点R Si Sj Sj S mij 1 j 1 2 n i 1 2 n先行集A Si 系统要素Si的先行集是在可达矩阵或有向图中可到达Si的诸要素所构成的集合 记为A Si 其定义式为 看列 可以被谁到达 A Si Sj Sj S mji 1 j 1 2 n i 1 2 n共同集C Si 系统要素Si的共同集是Si在可达集和先行集的共同部分 即交集 记为C Si 其定义式为 主要是沿对角线对称的点C Si Sj Sj S mij 1 mji 1 j 1 2 n i 1 2 n 系统要素Si的可达集R Si 先行集A Si 共同集C Si 之间的关系如图4 7所示 图4 7可达集 先行集 共同集关系示意图 Si A Si C Si R Si 起始集B S 和终止集E S 系统要素集合S的起始集是在S中只影响 到达 其他要素而不受其他要素影响 不被其他要素到达 的要素所构成的集合 记为B S B S 中的要素在有向图中只有箭线流出 而无箭线流入 是系统的输入要素 其定义式为 B S Si Si S C Si B Si i 1 2 n 如在于图4 5所对应的可达矩阵中 B S S3 S7 当Si为S的起始集 终止集 要素时 相当于使图4 7中的阴影部分C Si 覆盖到了整个A Si R Si 区域 这样 要区分系统要素集合S是否可分割 只要研究系统起始集B S 中的要素及其可达集 或系统终止集E Si 中的要素及其先行集要素 能否分割 是否相对独立 就行了 利用起始集B S 判断区域能否划分的规则如下 在B S 中任取两个要素bu bv 如果R bu R bv 为空集 则bu bv及R bu R bv 中的要素属同一区域 若对所有u和v均有此结果 均不为空集 则区域不可分 如果R bu R bv 则bu bv及R bu R bv 中的要素不属同一区域 系统要素集合S至少可被划分为两个相对独立的区域 利用终止集E S 来判断区域能否划分 只要判定 A eu A ev eu ev为E S 中的任意两个要素 是否为空集即可 区域划分的结果可记为 S P1 P2 Pk Pm 其中Pk为第k个相对独立区域的要素集合 经过区域划分后的可达矩阵为块对角矩阵 记作M P 为对给出的与图4 5所对应的可达矩阵进行区域划分 可列出任一要素Si 简记作i i 1 2 7 的可达集R Si 先行集A Si 共同集C Si 并据此写出系统要素集合的起始集B S 如表4 1所示 表4 1可达集 先行集 共同集和起始集例表 因为B S S3 S7 且有R S3 R S7 S3 S4 S5 S6 S1 S2 S7 所以S3及S4 S5 S6 S7与S1 S2分属两个相对独立的区域 即有 S P1 P2 S3 S4 S5 S6 S1 S2 S7 这时的可达矩阵M变为如下的块对角矩阵 2 级位划分 区域内的级位划分 即确定某区域内各要素所处层次地位的过程 这是建立多级递阶结构模型的关键工作 设P是由区域划分得到的某区域要素集合 若用L1 L2 Ll表示从高到低的各级要素集合 其中l为最大级位数 则级位划分的结果可写出 P L1 L2 Ll 某系统要素集合的最高级要素即该系统的终止集要素 级位划分的基本做法是 找出整个系统要素集合的最高级要素 终止集要素 后 可将它们去掉 再求剩余要素集合 形成部分图 的最高级要素 依次类推 直到确定出最低一级要素集合 即Li 为此 令LO 最高级要素集合为L1 没有零级要素 则有 L1 Si Si P L0 C0 Si R0 Si i 1 2 n L2 Si Si P L0 L1 C1 Si R1 Si i n Lk Si Si P L0 L1 Lk 1 Ck 1 Si Rk 1 Si i n P78 4 3 式 4 3 中的Ck 1 Si 和Rk 1 Si 是由集合P L0 L1 Lk 1中的要素形成的子矩阵 部分图 求得的共同集和可达集 经过级位划分后的可达矩阵变为区域块三角矩阵 记为M L 如对例4 1中P1 S3 S4 S5 S6 进行级位划分的过程示于表4 2中 表4 2级位划分过程表 对该区域进行级位划分的结果为 P1 L1 L2 L3 S5 S4 S6 S3 同理可得对P2 S1 S2 S7 进行级位划分的结果为 P L1 L2 L3 S1 S2 S7 这时的可达矩阵为 3 提取骨架矩阵 提取骨架矩阵 是通过对可达矩阵M L 的缩约和检出 建立起M L 的最小实现矩阵 即骨架矩阵A 这里的骨架矩阵 也即为M的最小实现多级递阶结构矩阵 对经过区域和级位划分后的可达矩阵M L 的缩检共分三步 即 检查各层次中的强连接要素 建立可达矩阵M L 的缩减矩阵M L 如对原例M L 中的强连接要素集合 S4 S6 作缩减处理 把S4作为代表要素 去掉S6 后的新的矩阵为 去掉M L 中已具有邻接二元关系的要素间的超级二元关系 得到经进一步简化后的新矩阵M L 如在原例的M L 中 已有第二级要素 S4 S2 到第一级要素 S5 S1 和第三级要素 S3 S7 到第二级要素的邻接二元关系 即S4RS5 S2RS1和S3RS4 S7RS2 故可去掉第三级要素到第一级要素的超级二元关系 S3R2S5 和 S7R2S1 即将M L 中3 5和7 1的 1 改为 0 得 进一步去掉M L 中自身到达的二元关系 即减去单位矩阵 将M L 主对角线上的 1 全变为 0 得到经简化后具有最小二元关系个数的骨架矩阵A 如对原例有 4 绘制多级递阶有向图D A 根据骨架矩阵A 绘制出多级递阶有向图D A 即建立系统要素的递阶结构模型 绘图一般分为如下三步 分区域从上到下逐级排列系统构成要素 同级加入被删除的与某要素 如原例中的S4 有强连接关系的要素 如S6 及表征它们相互关系的有向弧 按A 所示的邻接二元关系 用级间有向弧连接成有向图D A 原例的递阶结构模型 以可达矩阵M为基础 以矩阵变换为主线的递阶结构模型的建立过程 M M P M L M L M L A D A S1 S2 S7 S3 S4 S5 S6 第1级第2级第3级 初步分析 规范分析 综合分析 2 ISM实用化方法P45 ISM实用化方法原理图 ISM实用化方法P52 核心 是对系统要素间的关系 尤其是因果关系 进行层次化处理 最终形成具有多级递阶关系和解释功能的结构模型 图 第1步 找出影响系统问题的主要因素 并寻求要素间的直接二元关系 给出系统的邻接矩阵 第2步 考虑二元关系的传递性 建立反映诸要素间关系的可达矩阵 第3步 依据可达矩阵 找到特色要素 进行区域划分 第4步 在区域划分基础上继续层次划分 第5步 提取骨架矩阵 分为三步 1 去强连接要素得缩减矩阵 2 去越级二元关系 3 去单位阵得骨架矩阵 第6步 作出多级递阶有向图 作图过程为 1 分区域逐级排列系统要素 2 将缩减掉的要素随其代表要素同级补入 并标明其间的相互作用关系 3 用从下到上的有向弧来显示逐级要素间的关系 4 补充必要的越级关系 第7步 经直接转换 建立解释结构模型 ISM方法的评价 1 优点 可以把模糊不清的思想 看法转化为直观的具有良好结构关系的模型特别适用于变量众多 关系复杂而结构不明晰的系统分析中 也可用于方案的排序 2 缺点 级与级间不存在反馈回路系统各要素间的逻辑关系在一定程度上还依赖于人们的经验能够胜任协调人角色的人员目前尚不多见 第三节 主成分和聚类分析 主成分分析是一种系统分析方法 在社会系统研究中 多变量问题是经常会遇到的 变量太多 无疑会增加分析问题的难度与复杂性 而且在许多实际问题中 多个变量之间是具有一定的相关关系的 因此 人们会很自然地想到 能否在相关分析的基础上 用较少的新变量代替原来较多的旧变量 而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来变量所反映的信息 主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法 从数学角度来看 这是一种降维处理技术 1 基本原理 假定有n个样本 每个样本共有p个变量 构成一个n p阶的数据矩阵 当p较大时 在p维空间中考察问题比较麻烦 为了克服这一困难 就需要进行降维处理 定义 记x1 x2 xP为原变量指标 z1 z2 zm m p 为新变量指标 系数Lij确定的原则 zi与zj i j i j 1 2 m 相互无关 z1是x1 x2 xP的一切线性组合中方差最大者 z2是与z1不相关的x1 x2 xP的所有线性组合中方差最大者 zm是与z1 z2 zm 1都不相关的x1 x2 xP 的所有线性组合中方差最大者 新变量指标z1 z2 zm称为原变量指标x1 x2 xP的第一 第二 第m主成分 说明 Lij其实就是X相关矩阵的m个较大的特征值所对应的特征向量 2 计算步骤 计算相关系数矩阵Rrij i j 1 2 p 为原变量xi与xj的相关系数 rij rji 其计算公式为 计算特征值与特征向量解特征方程 分别求出对应于特征值的特征向量 E D eig A P70 计算主成分及累计贡献率一般取累计贡献率达85 95 的特征值所对应的前n个主成分 计算主成分载荷及得分 3 举例 计算步骤 1 将表中数据作标准化处理 并计算相关系数矩阵 2 由相关系数矩阵计算特征值 以及各个主成分的贡献率与累计贡献率P69 3 对于特征值 4 6610 2 0890 1 0430分别求出其特征向量e1 e2 e3 再用公式计算各变量x1 x2 x9在主成分z1 z2 z3上的载荷 计算机实现 4 求主成分 主成分是根据载荷阵 对原指标求线性组合Fi 4 讨论的问题 1 基于相关系数矩阵还是基于协方差矩阵做主成分分析 当分析中所选择的经济变量具有不同的量纲 变量水平差异很大 应该选择基于相关系数矩阵的主成分分析 2 选择几个主成分 主成分分析的目的是简化变量 一般情况下主成分的个数应该小于原始变量的个数 关于保留几个主成分 应该权衡主成分个数和保留的信息 3 如何解释主成分所包含的经济意义 5 应用场合 1 主成分分析能降低所研究的数据空间的维数 即用研究m维的Y空间代替p维的X空间 m p 而低维的Y空间代替高维的x空间所损失的信息很少 2 有时可通过因子负荷aij的结构 弄清X变量间的某些关系 3 多维数据的一种图形表示方法 根据主成分的得分 画出n个样品在二维平面上的分布况 由图形可直观地看出各样品在主分量中的地位 4 由主成分分析法构造回归模型 即把各主成分作为新自变量代替原来自变量x做回归分析 5 用主成分分析筛选回归变量 程序 样本按照行排列 变量是列排列 主成分x stdr std x 求各变量的标准差 n m size x sddata x stdr ones n 1 标准化变换 p princ egenvalue princomp sddata 调用主成分分析p3 p 1 3 输出前三个主成分系数sc princ 1 3 输出前三个主成分得分egenvalue 输出特征根per 100 egenvalue sum egenvalue 输出各个主成分贡献率 根据前三个主成分得分 使用贡献率加权得到FF per 1 1 princ 1 per 2 1 princ 2 per 3 1 princ 3 6 思考主成分分析与因子分析的差异 参见材料中的实证研究中的例子 SPSS 聚类分析 聚类分析 一个数据集合分组成几个聚类样品聚类在统计学中又称为Q型聚类 变量聚类在统计学又称为R型聚类 注意 在聚类分析中反映样品或变量间关系亲疏程度的统计量称为聚类统计量 常用的聚类统计量分为距离和相似系数两种 1 距离 用于对样品的聚类 常用欧氏距离 在求距离前 需把指标进行标准化 2 相似系数 常用于对变量的聚类 一般采用相关系数 系统聚类 基本思想 首先定义样品间距离及类与类之间的距离 开始时每个样品各看成一类 将距离最近的两类合并 重新计算新类与其它类的距离 再将距离最近的两类合并 再计算新类与其它类的距离 这样一步步的进行下去 每一步减少一类 直至所有的样品都合并成一类为止 整个聚类过程可作成聚类图或树状谱 treediagram 按树状谱作出适当的分类 类与类之间的距离有各种不同的定义方法 距离定义方法 最短距离法 singlelinkage 类与类之间距离定义为两类间样品距离的最小值 最长距离法 completelinkage 类与类之间距离定义为两类间样品距离的最大值 重心法 centroidmethod 类与类之间距离定义为两类的重心之间的距离 类平均法 averagelinkage 类与类之间距离定义为两类间样品距离的平均值 聚类分析程序 样本按照行排列 x n m size x stdr std x 求各变量的标准差xx x stdr ones n 1 标准化变换y pdist xx 计算各样本间距离 欧氏距离 z linkage y 进行聚类 最短距离法 h dendrogram z 画聚类谱系图t cluster z 3 将全部样本分为三类find t 2 找出属于第二类的样本编号 设某地区有八个观测点的数据 根据最短距离法聚类分析 clusterdata x 6 X 7 9039 778 4912 9419 2711 052 0413 29 7 6850 3711 3513 319 2514 592 7514 87 9 4227 938 208 1416 179 421 559 76 9 1627 989 019 3215 999 101 8211 35 10 0628 6410 5210 0516 188 391 9610 81 BX zscore X 标准化数据矩阵Y pdist X 用欧氏距离计算两两之间的距离D squareform Y 欧氏距离矩阵Z linkage Y 最短距离法T cluster Z 3 等价于 T clusterdata X 3 find T 3 第3类集合中的元素 H T dendrogram Z 画聚类图CLASS CLASSIFY SAMPLE TRAINING GROUP 作业 将这些省 自治区进行聚类分析 第四节 状态空间模型 动态系统行为研究 输入输出法 状态变量法状态空间分析研究 研究系统的内部结构 系统的特性可以考虑使用传递函数来表示 即输出 输入 状态空间分析法 在状态空间中 以系统的状态变量或状态向量来描述系统 揭示系统状态之间的相互联系 此法可以用于线性或者非线性系统 状态空间方程实例连续系统 宏观经济模型离散系统 1人才系统 2宏观经济模型 3人口迁移模型 1 基本概念 系统状态 表征动态系统运动的信息 状态变量 确定系统状态的一组数目最少的独立变量 状态向量 任何一组状态变量的列向量表示 状态向量的每个取值称为系统的一个状态 状态方程 描述系统状态变量和激励与状态变量一阶导数关系的微分方程组 输出方程 描述系统状态变量和激励与输出响应关系的代数方程组 状态空间 状态变量所有取值的集合 状态轨迹 状态在状态空间随时间变化所形成的轨迹 2 状态空间系统方程建模 两类系统 可以建立数学方程连续系统 工程系统 微分方程描述 离散系统 如银行存款本利和 差分方程描述 社会经济系统大多为离散系统 9100 deweb index htm 变量类型 系统方程 连续系统系统方程 t f X t u t t 状态方程Y t g X t u t t 输出方程离散系统系统方程X k 1 AX k BU k 状态方程Y k CX k DU k 输出方程 在MATLAB中 用函数ss 来建立控制系统的状态空间模型 ss 函数的调用格式为 sys ss a b c d 函数的返回变量sys为连续系统的状态空间模型 函数输入参数a b c d分别对应于系统的A B C D参数矩阵 连续系统标准的状态方程 微分 已知系统微分方程列写状态空间方程 P68 例 解 输出方程 状态方程 选状态变量 a 010 001 3 7 5 b 0 0 1 c 100 d 0 sys ss a b c d T 1 sys1 ss a b c d num den ss2tf a b c d T x0 100 initial sys1 x0 零输入响应曲线 T 1 num den ss2tf a b c d T sys tf num den 传递函数 状态方程和输出方程 已知传递函数 a 010 001 1 2 3 b 0 0 1 c 121 d 0 sys ss a b c d pauseT 1 num den ss2tf a b c d T sys tf num den 传递函数 T 1 sys1 ss a b c d num den ss2tf a b c d T x0 100 initial sys1 x0 零输入响应曲线 x1 x2 x3 例 已知系统的状态空间描述为 利用MATLAB将上述模型表示出来 上机 a 2 25 5 1 25 0 5 2 25 4 25 1 25 0 25 0 25 0 5 1 25 1 1 25 1 75 0 25 0 75 b 4 2 2 0 c 0 2 0 2 d 0 sys ss a b c d T 1 num den ss2tf a b c d T x0 1000 initial sys x0 零输入响应曲线 状态空间转换为传递函数模型 T 1 num den ss2tf a b c d T sys tf num den 另外 还可以建立系统的单位阶跃响应曲线close sys feedback sys 1 step close sys 改为impulse则为冲击响应曲线 a 20 0 3 b 23 23 c 40 48 d 0 离散系统标准的状态方程 差分 P69 输出方程 状态方程 选状态变量 耐用消费品新旧更替模型 同时看P73例题 考察一个国家某类耐用消费品 冰箱 洗衣机等 拥有情况 假设家庭购买新冰箱并一直使用到其损坏或者报废 故任一时刻 全国有一个用了不同时间的冰箱拥有量的分布 为建立系统模型 做如下假定 1 假定以一年为单位考察不同使用年限的冰箱的拥有量 2 任何已使用了i年的冰箱至少还能使用一年的概率为 对新冰箱可能较大 对旧冰箱可能较小 3 假设冰箱的最长寿命为n年 4 第k年新购买的冰箱数目为 根据上述假定 设表示第k年使用了i年的冰箱数目 则 综合上面的分析可以得到如下的模型 使用年数小于1年的冰箱数等于该年内所购新冰箱数 即 离散系统的分类 1 自由系统 所谓自由系统 即没有输入的差分系统 u 0 此时 X k 1 A X k X K 1 A k 1X 0 P71例3 8 假设输入之和为500 求解X 100 解1 n input 请输入仿真的时点 超过10便稳定 n A 0 40 30 3 0 60 30 1 0 60 10 3 X 500 0 0 Y A n X 汽车租赁公司的运营P76例题转换 例子 汽车租赁公司在3个相邻的城市运营 在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还 在A市租赁在A B C市归还的比例分别为0 6 0 3 0 1在B市租赁在A B C市归还的比例分别为0 2 0 7 0 1在C市租赁在A B C市归还的比例分别为0 1 0 3 0 6公司开业时将600辆汽车平均分配到3个城市 建立运营中汽车数量在3个城市间转移的模型 讨论时间充分长以后的变化趋势 假设 x1 k x2 k x3 k 第k个租赁期末公司在A B C市的汽车数量 模型及其求解 时间充分长后3个城市的汽车数量趋向稳定 稳定值与初始分配无关 n input 请输入仿真的时点 超过10便稳定 n A 0 60 20 1 0 30 70 3 0 10 10 6 X 600 0 0 Y A n X 随机数学模型 n input 请输入仿真步长 n X 600 0 0 A 0 60 20 1 0 30 70 3 0 10 10 6 fori 1 n Y i A i X end plot Y ED eig A 找出最大特征根对应的特征向量600 E 1 sum E 1 权重乘以初始值 离散系统的分类 2 强制系统P72 所谓强制系统 即有输入的差分系统 u 0 此时 X k 1 A X k B U k X K 1 A k 1X 0 举例 我们的线性方程组求解 求解 A 0 0 3 0 1 0 200 3 0 1 0 30 B 1 4 0 5 1 4 X 0 0 0 n input 循环次数n fori 1 nX i 1 A X i B endX i 1 第五节 系统预测和优化技术 1 时间序列分析预测方法2 回归分析预测法3 马尔科夫预测4 灰色预测5 系统智能优化 是根据时序变动的方向和程度进行的外延和类推 用以预测下一时期或以后若干时期可能达到的水平 平滑预测法包括移动平均法和指数平滑法两种 其具体是把时间序列作为随机变量 运用算术