直线与圆、圆与圆的位置关系.ppt

1 能根据给定直线 圆的方程判断直线与圆的位置关系 能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系 2 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 3 初步了解用代数方法处理几何问题的思想 1 直线与圆的位置关系 思考探究 在求过一定点的圆的切线方程时 应注意什么 提示 应首先判断这点与圆的位置关系 若点在圆上 则该点为切点 切线只有一条 若点在圆外 切线应有两条 谨防漏解 注意切线斜率不存在的情况 2 圆与圆的位置关系两圆 x a1 2 y b1 2 r1 0 与 x a2 2 y b2 2 r2 0 1 直线4x 3y 40和圆x2 y2 100的位置关系是 A 相交B 相离C 相切D 无法确定 解析 d 8 10 r 直线与圆相交 答案 A 2 圆x2 y2 2x 0与x2 y2 4y 0的位置关系是 A 相离B 外切C 相交D 内切 解析 圆的方程分别化为 x 1 2 y2 1 x2 y 2 2 4 O1O2 而r1 r2 3 r2 r1 O1O2 r1 r2 两圆相交 答案 C 3 设直线过点 0 a 其斜率为1 且与圆x2 y2 2相切 则a的值为 A B 2C 2D 4 解析 设切线方程为y a x 即x y a 0 d a 2 答案 B 4 设圆x2 y2 4x 5 0的弦AB的中点P 3 1 则直线AB的方程是 解析 由x2 y2 4x 5 0知圆心C 2 0 kAB 1 直线AB的方程为y 1 x 3 即x y 4 0 答案 x y 4 0 5 过点 4 8 作圆 x 7 2 y 8 2 9的切线 则切线的方程为 解析 由于 3 点 4 8 在圆上 从而切线方程为x 4 答案 x 4 直线和圆的位置关系的判定有两种方法1 第一种方法是方程的观点 即把圆的方程和直线的方程联立组成方程组 转化为一元二次方程 再利用判别式 来讨论位置关系 即 0 直线与圆相交 0 直线与圆相切 0 直线与圆相离 2 第二种方法是几何的观点 即将圆心到直线的距离d与半径r比较来判断 即dr 直线与圆相离 若过点A 4 0 的直线l与曲线 x 2 2 y2 1有公共点 则直线l的斜率的取值范围为 A B C D 思路点拨 课堂笔记 法一 由题意可知当斜率不存在时 直线与圆无交点 所以设直线方程为y k x 4 即kx y 4k 0 直线l与曲线 x 2 2 y2 1有公共点 圆心到直线的距离小于等于半径 即d 1 得4k2 k2 1 k2 所以 k 法二 数形结合 画出图形也可以判断C正确 答案 C 1 判断两圆的位置关系常用几何法 即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系 一般不采用代数法 2 若两圆相交 则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2 y2项即可得到 3 两圆公切线的条数 1 两圆内含时 公切线条数为0 2 两圆内切时 公切线条数为1 3 两圆相交时 公切线条数为2 4 两圆外切时 公切线条数为3 5 两圆相离时 公切线条数为4 因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系 反过来知道两圆公切线的条数 也可以判断出两圆的位置关系 2009 四川高考 若 O x2 y2 5与 O1 x m 2 y2 20 m R 相交于A B两点 且两圆在点A处的切线互相垂直 则线段AB的长度是 思路点拨 课堂笔记 由题意 O1与 O在A处的切线互相垂直 则两切线分别过另一圆的圆心 所以O1A OA 又 OA O1A 2 OO1 5 而A B关于OO1轴对称 所以AB为Rt OAO1斜边上高的2倍 即 AB 2 4 答案 4 若圆x2 y2 4与圆x2 y2 2ay 6 0 a 0 的公共弦长为2 则a 解析 将x2 y2 2ay 6 0和x2 y2 4两式相减 得y 由 消去y得x2 a 0 2 2 解得a 1 答案 1 1 求过圆上的一点 x0 y0 的切线方程先求切点与圆心连线的斜率k 由垂直关系知切线斜率为 由点斜式方程可求切线方程 若切线斜率不存在 则由图形写出切线方程x x0 2 求过圆外一点 x0 y0 的圆的切线方程 1 几何方法当斜率存在时 设为k 切线方程为y y0 k x x0 即kx y y0 kx0 0 由圆心到直线的距离等于半径 即可得出切线方程 2 代数方法当斜率存在时 设切线方程为y y0 k x x0 即y kx kx0 y0 代入圆方程 得一个关于x的一元二次方程 由 0 求得k 切线方程即可求出 特别警示 过圆外一点作圆的切线有两条 若在解题过程中只解出一个答案 说明另一条直线的斜率不存在 千万别发生遗漏 已知圆C x2 y2 2x 4y 3 0 1 若不过原点的直线l与圆C相切 且在x轴 y轴上的截距相等 求直线l的方程 2 从圆C外一点P x y 向圆引一条切线 切点为M O为坐标原点 且有 PM PO 求点P的轨迹方程 思路点拨 课堂笔记 1 将圆C配方得 x 1 2 y 2 2 2 由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零 设直线方程为x y a 0 由 得 a 1 2 即a 1 或a 3 直线方程为x y 1 0 或x y 3 0 2 由于 PC 2 PM 2 CM 2 PM 2 r2 PM 2 PC 2 r2 又 PM PO PC 2 r2 PO 2 x 1 2 y 2 2 2 x2 y2 2x 4y 3 0即为所求 1 直线被圆截得弦长的求法 1 几何方法运用弦心距d 半径r及弦的一半构成直角三角形 计算弦长 AB 2 2 代数方法设直线y kx m与圆 x a 2 y b 2 r2相交于A B两点 将直线方程与圆的方程联立后 整理出关于x的方程 求出xA xB xA xB 则 AB 2 在研究弦长及弦中点问题时 可设弦AB两端点的坐标分别为A x1 y1 B x2 y2 1 若OA OB O为原点 则可转化为x1x2 y1y2 0 再结合根与系数的关系等代数方法简化运算过程 这在解决垂直关系问题中是常用的 2 若弦AB的中点为 x0 y0 圆的方程为x2 y2 r2 则 该法叫平方差法 常用来解决与弦的中点 直线的斜率有关的问题 已知点P 0 5 及圆C x2 y2 4x 12y 24 0 1 若直线l过P且被圆C截得的线段长为4 求l的方程 2 求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程 思路点拨 课堂笔记 1 法一 圆C的标准方程为 x 2 2 y 6 2 16 则圆心C 2 6 半径r 4 如图所示 AB 4 D是AB的中点 CD AB AD 2 AC 4 在Rt ACD中 可得CD 2 当直线l的斜率存在时 设所求直线的斜率为k 则直线l的方程为y 5 kx 即kx y 5 0 由点C到直线AB的距离公式 2 得k k 时 直线l的方程为3x 4y 20 0 又直线l的斜率不存在时 也满足题意 此时方程为x 0 所求直线的方程为3x 4y 20 0或x 0 法二 当直线l的斜率存在时 设所求直线的斜率为k 则直线的方程为y 5 kx 即y kx 5 联立直线与圆的方程消去y得 1 k2 x2 4 2k x 11 0 设方程 的两根为x1 x2 由根与系数的关系得 由弦长公式得 x1 x2 4 将 式代入 解得k 此时直线方程为3x 4y 20 0 又k不存在时也满足题意 此时直线方程为x 0 所求直线的方程为x 0或3x 4y 20 0 2 设过P点的圆C的弦的中点为D x y 则CD PD 即 0 x 2 y 6 x y 5 0 化简得所求轨迹方程为x2 y2 2x 11y 30 0 高考中主要考查方程中有参数的直线与圆的位置关系的判断 利用相切 相交的条件求参数的范围 利用相切 相交求切线长或弦长 难度不是太大 多以选择 填空题为主 考题印证 2009 陕西高考 过原点且倾斜角为60 的直线被圆x2 y2 4y 0所截得的弦长为 A B 2C D 2 解析 直线的方程为y x 圆心为 0 2 半径r 2 由点到直线的距离公式得弦心距等于1 从而所求弦长等于2 2 答案 D 自主体验 已知集合A x y y x 0 集合B x y x2 y a 2 1 若A B B 则a的取值范围是 A 2 B 2 C 2 2 D 2 2 解析 A B B B A 圆x2 y a 2 1与直线y x 0相切或相离 且a 0 1 a 2或a 2 a 2 答案 B 1 2009 重庆高考 直线y x 1与圆x2 y2 1的位置关系是 A 相切B 相交但直线不过圆心C 直线过圆心D 相离 解析 计算圆心 0 0 到直线y x 1的距离d 0 圆半径r 1 d r 相交且不过圆心 答案 B 2 两圆x2 y2 6x 16y 48 0与x2 y2 4x 8y 44 0的公切线条数为 A 1B 2C 3D 4 解析 将两圆方程化为标准方程为 x 3 2 y 8 2 121 x 2 2 y 4 2 64 O1 3 8 r1 11 O2 2 4 r2 8 O1O2 13 3 O1O2 19 两圆相交 从而公切线有两条 答案 B 3 若直线l ax by 1与圆C x2 y2 1有两个不同交点 则点P a b 与圆C的位置关系是 A 点的圆上B 点在圆内C 点在圆外D 不能确定 解析 由题意知d 1 从而点P a b 在圆外 答案 C 4 2010 南通模拟 设直线2x 3y 1 0和圆x2 y2 2x 3 0相交于A B两点 则弦AB的垂直平分线方程是 解析 圆心坐标为C 1 0 弦AB的垂直平分线斜率为 故其方程为y x 1 即3x 2y 3 0 答案 3x 2y 3 0 5 以点 2 1 为圆心 与直线3x 4y 5 0相切的圆的方程为 解析 半径r 3 圆的方程为 x 2 2 y 1 2 9 答案 x 2 2 y 1 2 9 6 已知 圆C x2 y2