特征值与特征向量的应用PPT.ppt

第一节特征值与特征向量 一特征值与特征向量的概念 二特征值和特征向量的求法 第一节特征值与特征向量 三特征值和特征向量的性质 一 特征值与特征向量的概念 定义 若 则 称为 的特征值 称为 的特征向量 注 并不一定唯一 阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组 特征向量 特征值问题只针对与方阵 有非零解的 值 即满足 的 都是方阵 的特征值 定义 称以 为未知数的一元 次方程 为 的特征方程 定义 称以 为变量的一元 次多项式 为 的特征多项式 定理 设 阶方阵的特征值为 则 证明 当是 的特征值时 的特征多项 式可分解为 令 得 即 证明 因为行列式 它的展开式中 主对角线上元素的乘积 是其中的一项 由行列式的定义 展开式中的其它项至 多含 个主对角线上的元素 含的项只能在主对角线上元素的乘积项中 故有 比较 有 因此 特征多项式中 定义 方阵 的主对角线上的元素之和称为方阵 的迹 记为 二 特征值和特征向量的性质 推论 阶方阵 可逆 的 个特征值全不为零 若数 为可逆阵的 的特征值 特别 单位阵 的一个特征值为 三 应用举例 若 为可逆阵 的特征值 则 的一个特征值为 证 阶方阵 的满足 则 的特征值为 或 3 求下列方阵的特征值与特征向量 四 特征向量的性质 定理 互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关 定理 互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征 向量并在一块 所得的向量组仍然线性无关 一相似矩阵的定义 性质 二矩阵可相似对角化的条件 三应用举例 第二节矩阵相似对角化 一 定义 定义 设 都是 阶矩阵 若有可逆矩阵 使得 则称 是 的相似矩阵 或者说矩阵 与 相似 可逆矩阵 称为把 变成 的相似变换矩阵 记作 二 性质 1 反身性 2 对称性 3 传递性 则 则 4 则 5 则 6 且 可逆 则 定理 若 阶矩阵 与 相似 则 与 有相同的特征多项式 从而 与 有相同的特征值 推论 若 阶矩阵 与对角矩阵 相似 若能寻得相似变换矩阵 使 对 阶方阵 称之为把方阵 对角化 三 相似对角化 定理的推论说明 如果 阶矩阵 与对角矩阵 相 似 则 的主对角线上的元素就是 的全部特征值 设存在 可逆 使得 有 于是有 因为 可逆 故 关的特征向量 反之 即 设 可逆 且 则 若 有 个线性无关的特征向量 所以 即 与对角矩阵 相似 定理 阶矩阵 能与对角矩阵 相似 有 阶线性无关的特征向量 推论 如果 阶矩阵 有 个不同的特征值 则矩阵 可相似对角化 内积的定义与性质 定义 设 维实向量 称实数 为向量 与 的内积 记作 注 内积是向量的一种运算 用矩阵形式表示 有 施密特 Schmidt 正交化法 设 是向量空间 的一个基 要求向量空 间 的一个标准正交基 就是要找到一组两两正交的单 位向量 使 与 等价 此问题称为把 这组基标准正交化 1 正交化 令 就得到 的一个标准正交向量组 的一组标准正交基 如果 上述方法称为施密特 Schmidt 正交化法 2 标准化 令 是 的一组基 则 就是 定理对称矩阵的特征值为实数 说明 本节所提到的对称矩阵 除非特别说明 均指实对称矩阵 定理对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交 定理若 阶对称阵 的任重特征值对应的线性 无关的特征向量恰有个 不证 定理若 为 阶对称阵 则必有正交矩阵 使得 实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 根据上述结论 利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵 其具体步骤为 2 1 二 利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 例设矩阵 求一个