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泛函分析基础2014 2 泛函分析基础 1 什么是泛函分析 20世纪20年代形成的数学分支 是从变分问题 积分方程和理论物理的研究中发展起来的 它综合运用函数论 几何学 现代数学的观点来研究无限维向量空间上的算子和极限理论 现代泛函分析的奠基人波兰数学家巴拿赫 波兰数学家在泛函分析和拓扑学等方面取得了重要成就 其中的领军人物是巴拿赫 StefanBanach1932年巴拿赫出版了 线性算子论 一书 建立了巴拿赫空间上线性算子理论 证明了一批后来成为泛函分析基础的重要定理 成为泛函分析理论成熟的标志 泛函分析的观点和研究手段推动着其他一些数学分析学科的发展 如在微分方程 概率论 函数论 计算数学 控制论 最优化理论等学科中都有重要的运用 2 为什么给研究生开设泛函分析计算机应用技术解决什么 遇到的问题越来越复杂涉及的知识门类多现代数学的作用越来越突出 例1 例2 例3 例4 信号的稀疏表示理论 视觉皮层对图像的编码模式 傅里叶级数小波变换 神经生理学的研究 例4 信号的稀疏表示理论 X D 例4 3 泛函分析基础的基本内容 1 距离空间 2 赋范线性空间 3 内积空间 4 线性算子与线性泛函 5 投影与逼近 第一章距离空间 距离的概念是现实物理世界中物体之间距离关系的本质特征的数学抽象 直线上两点之间的距离三维空间中两个向量之间的距离曲面上两点之间的距离 第一章距离空间 1 1距离定义 设R表示一个非空集合 若其中任意两元素x y都按一定的规则与一个实数相对应 且满足以下三公理 称为距离公理 则称为x y间的距离 称R为距离空间 其中的元素也称为点 例1 设为非空实数集 对其中任意两个实数x y定义距离 即为通常意义下的距离 称欧氏距离 另外 还可以用另一种方式来定义距离 第一章距离空间 例2 设为n维实向量全体所构成的空间 在其中可定义距离如下 设 为 中任意两元素 则 即为平面上两点间的通常距离 在中也可以定义另一种距离 第一章距离空间 例3 用表示定义在 a b 上所有连续函数的全体 对于任意 可定义距离 第一章距离空间 例4 用表示 a b 上所有平方可积函数的全体 即对任意 都有 则可在中定义距离 对于任意 可定义距离 第一章距离空间 例5 表示满足的实数列的全体 则其中任意两点 间的距离可定义如下 第一章距离空间 1 2收敛概念 设R为距离空间 为R中点列 如果当时 数列则称点列 按距离收敛于x 记为 或 此时 称为收敛点列 x为的极限 1 2 1收敛点列 第一章距离空间 性质 定理1 1在距离空间中 收敛点列的极限是惟一的 定理1 2在距离空间中 距离是两个变元x y的连续函数 定理1 3设为距离空间R中的收敛点列 则必有界 第一章距离空间 1 2 2Cauchy列 设为距离空间R中的收敛点列 则存 使 因为 所以 当时 有 使上式 成立的点列称为Cauchy列 或基本列 第一章距离空间 1 3距离空间的完备性 定义1 在距离空间R中 若任一Cauchy列都在R中有极限 则称距离空间是完备的 定义2 设R R1都是距离空间 如果存在一个由R到R1的映射T 使一切有 其中分别为R R1上的距离 则称T为R到R1的等距映射 这时 称R与R1为等距 第一章距离空间 距离空间的完备化定理 对每个距离空间R 必存在一个完备的距离空间R0 使得R等距于R0中的一个稠密子空间R1 并称R0为R的完备化空间 若除去等距不计 则R0是惟一的 第一章距离空间 1 4距离空间的稠密性与可分性 定义 设A B为距离空间R中的子集 若对任意的总存在B中的点列收敛于x 则称B在A中稠密 简称B在A中稠 稠密性 第一章距离空间 关于稠密性的两种等价的说法 1 若B在A中稠 则对任意的及任意的 总存在B中的点y 使得 反之亦然 2 若B在A中稠 则对任意的 必有 反之亦然 表示以x为中心 以为半径的小球 第一章距离空间 可分性 定义 距离空间R称为可分的 是指在E中存在一个稠密的可列子集 第一章距离空间 问题 1 写出三维空间的几种距离2 距离空间中的开集 闭集 第一章距离空间 1 5距离空间的列紧性 略 第一章距离空间 第二章赋范线性空间 2 1定义和例 1 线性空间的定义 集合E称为实 或复 线性空间 如果 2 定义了E中元素与实 复 数域K中的数之间的 数乘 运算 使对任意的 都有 b c d 第二章赋范线性空间 2 赋范线性空间的定义 设E为实 复 线性空间 若对任意的都 有一个非负的实数与之对应 且满足 则称为x的范数 E为赋范线性空间 E中的元素称为点 a b c 第二章赋范线性空间 由于实数的有序性 可以比较大小 因此范数给了元素一种可以度量大小的概念 显然 任何赋范线性空间都是距离空间 任意两点x y之间的距离都可以通过范数来定义 称为由范数导出的距离 第二章赋范线性空间 例1 在中可定义范数 或 同一集合可定义不同的距离 在同一线性空间中 也可以定义不同的范数 中的距离 第二章赋范线性空间 例2 其中可定义范数 并由它导出距离 第二章赋范线性空间 例3 其中可定义范数 并由它导出距离 第二章赋范线性空间 例4 由它导出距离 第二章赋范线性空间 3 Banach空间 若赋范线性空间按距离 是完备的 则称它为Banach空间 前面都按范数导出的距离完备 所以他们都是Banach空间 第二章赋范线性空间 2 2按范数收敛 1 定义 设E为赋范线性空间 若 则称点列按范数收敛于x 或称强收敛于x 记为 强 第二章赋范线性空间 2 性质 在赋范线性空间E中 若强收敛于x 则有下列性质 为有界数列 是x的连续泛函 b a c d 说明 在赋范线性空间中 线性运算对范数收敛是连续的 第二章赋范线性空间 2 3有限维赋范线性空间 1 定义 若赋范线性空间E存在有限个线性无关的元素 使任意的 都有 则称E为有限维赋范线性空间 称 为该空间的基底 称为x关于该基底的坐标 第二章赋范线性空间 2 性质 a 设E是有限维赋范线性空间 则在E上定义的各种范数都相互等价 b 有限维赋范线性空间必完备且可分 c 赋范线性空间E为有限维的充要条件是E中的任意有界闭集是列紧的 即有界闭集中的任一点列都有收敛子序列 有限维赋范线性空间最典型的例子就是n维向量空间 第二章赋范线性空间 2 4线性算子与线性泛函 集合论中 集合与集合的关系称为映射 泛函分析中 把具有一定性质的元素的集合称为空间 把空间到空间的映射称为算子 通常的算子是指由赋范线性空间到赋范线性空间的映射 常用T表示 D T 表示定义域 N T 表示值域 1 算子 第二章赋范线性空间 1 定义 设E E1都是赋范线性空间 2 4线性算子与线性泛函 则称T为线性算子 如微分算子 积分算子 由矩阵定义的线性变换等都是线性算子 第二章赋范线性空间 则称T为连续算子 如范数 有界集上的积分算子 古典分析中的连续函数等都是连续算子 第二章赋范线性空间 则称T为有界算子 当T又是线性算子时 则称T为有界线性算子 如中的线性变换 闭区间上的积分算子 古典分析中的线性函数等都是有界线性算子 第二章赋范线性空间 设算子T 若存在 使 且对任意 当时 有 则称T为可逆算子 如由矩阵和它的逆矩阵所代表的线性变换是互逆的算子 函数与反函数也是互逆的算子 算子分线性算子和非分线性算子 第二章赋范线性空间 2 线性算子的性质 a 线性算子T若在某一点连续 则T在D T 上处处连续 b 线性算子T有界的充要条件是T连续 c 线性算子T有界的充要条件是T连续 d 有限维赋范线性空间中的一切线性算子均有界 即连续 第二章赋范线性空间 2 线性泛函 1 概念 当算子的像集为数域时 称算子为泛函 第二章赋范线性空间 根据前面算子的定义 照样可以定义线性泛函 连续泛函 有界线性泛函等 第二章赋范线性空间 2 泛函的例 数组 对任意 a 即为上的一个有界线性泛函 因此 对应于不同的数组 都有一个上的有界线性泛函与之对应 泛函的范数可表示为 第二章赋范线性空间 b 2 泛函的例 在上 对任意 作 都是上的泛函 第二章赋范线性空间 c 2 泛函的例 表示 a b 上的所有连续可微函数构成的赋范线性空间 则对任意 作 为上的一个线性泛函 第二章赋范线性空间 d 2 泛函的例 定义 是一个有界泛函 第二章赋范线性空间 3 泛函的性质 a 设E是赋范线性空间 f是E上的线性泛函 则f有界的充要条件是f的零空间 为E中的完备子空间 第二章赋范线性空间 3 泛函的性质 且 反之 对每一 由上式定义的 必是上的有界线性泛函 且 第二章赋范线性空间 3 泛函的性质 使得任意时 有 且 反之 亦然 第二章赋范线性空间 3 泛函的性质 d 设f是上的任一有界线性泛函 则必存在惟一的 使得任意时 有 且 反之 亦然 第二章赋范线性空间 3 泛函的性质 e 延拓定理 设E为赋范线性空间 L为E的线性子空间 则L上的任一有界线性泛函f 都可以延拓到全空间E上 且保持范数不变 即存在E上的有界线性泛函 满足 第二章赋范线性空间 3 泛函的性质 d 存在定理 设E是具有非零元素的赋范线性空间 则E上有足够的非零有界线性泛函存在 至少对每个 存在有界线性泛函 使得 2 4赋范线性空间中的各种收敛 第二章赋范线性空间 1 元素序列的收敛性 a 强收敛 设E是赋范线性空间 若 则称元素序列强收敛于x 记为 强 第二章赋范线性空间 2 4赋范线性空间中的各种收敛 1 元素序列的收敛性 b 弱收敛 设E是赋范线性空间 若对E上的任一有界泛函f 有 则称元素序列弱收敛于x 记为 弱 第二章赋范线性空间 2 4赋范线性空间中的各种收敛 2 算子序列的收敛性 a 一致收敛 设E E1是赋范线性空间 一致 若 则称算子序列一致收敛 或依范数收敛 于T 记为 第二章赋范线性空间 2 4赋范线性空间中的各种收敛 2 算子序列的收敛性 b 强收敛 设E E1是赋范线性空间 若对任一 有 则称算子序列强收敛于T 记为 强 第二章赋范线性空间 2 4赋范线性空间中的各种收敛 2 算子序列的收敛性 c 弱收敛 设E为赋范线性空间 若对每个及E上 的任一有界线性泛函f 都有 则称算子序列弱收敛于T 记为 弱 第二章赋范线性空间 2 4赋范线性空间中的各种收敛 3 泛函序列的收敛性 a 强收敛 设E为赋范线性空间 为E上的有界线性泛函及泛函序列 若 则称泛函序列强收敛于f 记为 强 第二章赋范线性空间 2 4赋范线性空间中的各种收敛 3 泛函序列的收敛性 a 弱 收敛 则称泛函序列弱 收敛于f 记为 弱 设E为赋范线性空间 为E上的有界线性泛函及泛函序列 若对每个 有 第二章赋范线性空间 3 几点结论 1 上述各种收敛序列的极限都是惟一的 2 各种序列若强收敛则必弱收敛 反之不一定 3 算子序列若一致收敛 依范数收敛 则必强收敛 4 若把泛函序列作为特殊的算子序列 则泛函序列的强 弱 收敛 分别相当于算子序列的一致收敛和强收敛 第三章Hilbert空间 3 1定义和例 1 内积空间 设K是数域 实或复 U是K上的线性空间 若 对任意的 都有惟一的数与之对应 且满足 则称为x y的内积 U为内积空间 内积公理 第三章Hilbert空间 2 内积的性质 1 在内积空间中 可由内积导出范数 Cauchy Schwarz不等式 由上不等式还可得到 第三章Hilbert空间 2 内积的性质 2 平行四边形公式 在内积空间中 由内积导出的范数满足平行四边形公式 第三章Hilbert空间 2 内积的性质 3 极化恒等式 若赋范线性空间中的范数满足平行四边形公式 则可由范数来表示内积 特别地 在实空间则有 第三章Hilbert空间 2 内积的性质 定理 赋范线性空间成为内积空间的充要条件是它的范数满足平行四边形公式 4 内积的连续性 在内积空间中 内积 x y 关于两个变元x y都是连续的 即当时 有 第三章Hilbert空间 3 Hilbert空间 若内积空间U按范数完备 则称U为 Hilbert空间 简记为H空间 H空间是一个特殊的Banach空间 特殊性在于它的范数由内积导出 第三章Hilbert空间 4 例 1 任意的 它们的内积定义为 由它导出的范数 第三章Hilbert空间 4 例 2 其中定义内积 由它导出的范数 若为复函数 则定义内积 第三章Hilbert空间 4 例 3 其中定义内积 由它导出的范数 第三章Hilbert空间 3 2正交分解与投影定理 1 正交的概念 定义2 设 若x与M中的一切元素正交 则称x与M正交 记为 第三章Hilbert空间 3 2正交分解与投影定理 1 正交的概念 即 定义4 设 则U中与M正交的所有元素的全体称为M的正交补 记为 第三章Hilbert空间 3 2正交分解与投影定理 1 正交的概念 则称为x在M上的投影 上式称为关于M的正交分解 第三章Hilbert空间 3 2正交分解与投影定理 2 性质 1 设U为内积空间 若 则 称为内积空间中的 商高定理 第三章Hilbert空间 3 2正交分解与投影定理 2 性质 3 设U为内积空间 对任意的 其正交 补必为U的闭线性子空间 4 设U为内积空间 为线性子空间 若为x在M上的投影 则 下确界 第三章Hilbert空间 什么是下确界 infimum 一般说 使成立的所有常数M中 把M的最大值 叫做函数的下确界 什么是上确界 supremum 最小的上界 下确界 即最大的下界 如 第三章Hilbert空间 3 投影定理 定理条件中的H空间还可以推广到内积空间 投影定理示意图 第三章Hilbert空间 1 定义 3 3正交系 规范正交系 定义1 若在H空间中有一组非零元素 其中 任何两个不同元素都正交 即 则称它们为正交系 第三章Hilbert空间 定义2 若在H空间中的一个正交系 每个元素的范数都为1 则称它们为规范正交系 即 若元素为规范正交系 则 1 定义 3 3正交系 规范正交系 第三章Hilbert空间 2 例 3 3正交系 规范正交系 1 中 元素组 即为规范正交系 第三章Hilbert空间 2 例 3 3正交系 规范正交系 2 中 元素列 即为规范正交系 第三章Hilbert空间 2 例 3 3正交系 规范正交系 3 中 规定内积 则三角函数系 即为规范正交系 第三章Hilbert空间 中 若规定内积 则三角函数系 即为规范正交系 3 3正交系 规范正交系 第三章Hilbert空间 3 性质 3 3正交系 规范正交系 1 设为H空间中的规范正交系 则x在M上的投影为 且 第三章Hilbert空间 3 性质 3 3正交系 规范正交系 2 设为H空间中的规范正交系 称为Bessle不等式 则对任一 有 即 第三章Hilbert空间 3 4完全规范正交系的完全性与完备性 1 定义 定义1 若内积空间U中的规范正交系 对任意的 有 即不存在与所有正交的非零元素 则称此规范正交系是完全的 第三章Hilbert空间 3 4完全规范正交系的完全性与完备性 1 定义 定义2 若内积空间U中的规范正交系 对任意的 都有 则称此规范正交系是完备的 上式也称Parseval等式 也称广义商高定理 第三章Hilbert空间 3 4完全规范正交系的