相似三角形的动点问题题型

1 相似三角形的动点问题题型相似三角形的动点问题题型 一 一 动点型动点型 例 1 如图 已知等边三角形 ABC 中 点 D E F 分别为边 AB AC BC 的中点 M 为 直线 BC 上一动点 DMN 为等边三角形 点 M 的位置改变时 DMN 也随之整体移动 1 如图 1 当点 M 在点 B 左侧时 请你判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系 点 F 是否 在直线 NE 上 都请直接写出结论 不必证明或说明理由 2 如图 2 当点 M 在 BC 上时 其它条件不变 1 的结论中 EN 与 MF 的数量关系是 否仍然成立 若成立 请利用图 2 证明 若不成立 请说明理由 3 若点 M 在点 C 右侧时 请你在图 3 中画出相应的图形 并判断 1 的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立 若成立 请直接写出结论 不必证明或说明理由 例 2 如图 在矩形 ABCD 中 AB 12cm BC 8cm 点 E F G 分别从点 A B C 三 点同时出发 沿矩形的边按逆时针方向移动 点 E G 的速度均为 2cm s 点 F 的速度为 4cm s 当点 F 追上点 G 即点 F 与点 G 重合 时 三个点随之停止移动 设移动开始后 第 t 秒时 EFG 的面积为 S cm2 1 当 t 1 秒时 S 的值是多少 2 写出 S 和 t 之间的函数解析式 并指出自变量 t 的取值范围 3 若点 F 在矩形的边 BC 上移动 当 t 为何值时 以点 E B F 为顶点的三角形与以点 F C G 为顶点的三角形相似 请说明理由 2 迁移应用迁移应用 1 如图 已知 ABC 是边长为 6cm 的等边三角形 动点 P Q 同时从 A B 两点出发 分 别沿 AB BC 匀速运动 其中点 P 运动的速度是 1cm s 点 Q 运动的速度是 2cm s 当点 Q 到达点 C 时 P Q 两点都停止运动 设运动时间为 t s 1 当 t 2 时 判断 BPQ 的形状 并说明理由 2 设 BPQ 的面积为 S cm2 求 S 与 t 的函数关系式 3 作 QR BA 交 AC 于点 R 连结 PR 当 t 为何值时 APR PRQ 2 如图 在直角梯形 ABCD 中 AB DC D 90o AC BC AB 10cm BC 6cm F 点 以 2cm 秒的速度在线段 AB 上由 A 向 B 匀速运动 E 点同时以 1cm 秒的速度在线段 BC 上由 B 向 C 匀速运动 设运动时间为 t 秒 0 t 5 1 求证 ACD BAC 2 求 DC 的长 3 试探究 BEF 可以为等腰三角形吗 若能 求 t 的值 若不能 请说明理由 3 如图 在直角梯形 ABCD 中 AD BC B 90 AD 6 BC 8 AB 33 点 M 是 BC 的中点 点 P 从点 M 出发沿 MB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动 到达点 B 后立刻以原速度沿 BM 返回 点 Q 从点 M 出发以每秒 1 个单位长的速度在射线 MC 上 匀速运动 在点 P Q 的运动过程中 以 PQ 为边作等边三角形 EPQ 使它与梯形 ABCD 在射线 BC 的同侧 点 P Q 同时出发 当点 P 返回到点 M 时停止运动 点 Q 也随之停 止 设点 P Q 运动的时间是 t 秒 t 0 1 设 PQ 的长为 y 在点 P 从点 M 向点 B 运动的过程中 写出 y 与 t 之间的函数关系式 不必写 t 的取值范围 2 当 BP 1 时 求 EPQ 与梯形 ABCD 重叠部分的面积 3 随着时间 t 的变化 线段 AD 会有一部分被 EPQ 覆盖 被覆盖线段的长度在某个时 刻会达到最大值 请回答 该最大值能否持续一个时段 若能 直接写出 t 的取值范围 若不能 请说明理由 3 二 动点加动线二 动点加动线 例 1 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 3 AB 5 点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动 到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回 点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动 伴随着 P Q 的运动 DE 保持垂 直平分 PQ 且交 PQ 于点 D 交折线 QB BC CP 于点 E 点 P Q 同时出发 当点 Q 到达 点 B 时停止运动 点 P 也随之停止 设点 P Q 运动的时间是 t 秒 t 0 1 当 t 2 时 AP 点 Q 到 AC 的距离是 2 在点 P 从 C 向 A 运动的过程中 求 APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式 不必写出 t 的取值范围 3 在点 E 从 B 向 C 运动的过程中 四边形 QBED 能否成为直角梯形 若能 求 t 的 值 若不能 请说明理由 4 当 DE 经过点 C 时 请直接写出 t 的值 迁移应用迁移应用 1 如图 已知矩形 ABCD 的边长 AB 3cm BC 6cm 某一时刻 动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以 1cm s 的速度向 B 点匀速运动 同时 动点 N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2cm s 的速度向 A 点匀速运动 问 是否存在时刻 t 使以 A M N 为顶点的三角形与 ACD 相似 若存在 求 t 的值 2 如图 正方形 ABCD 的边长为 4 E 是 BC 边的中点 点 P 在射线 AD 上 过 P 作 PF AE 于 F 1 求证 PFA ABE 2 当点 P 在射线 AD 上运动时 设 PA x 是否存在实数 x 使以 P F E 为顶点的三 角形也与 ABE 相似 若存在 请求出 x 的值 若不存在 说明理由 4 3 如图 已知 A 8 0 B 0 6 两个动点 P Q 同时在 OAB 的边上按逆时针方向 O A B O 运动 开始时点 P 在点 B 位置 点 Q 在点 O 位置 点 P 的运动速 度为每秒 2 个单位 点 Q 的运动速度为每秒 1 个单位 1 在前 3 秒内 求 OPQ 的面积 S 与时间 t 之间的关系式 2 在前 15 秒内 探究 PQ 平行于 OAB 一边的情况 并求平行时点 P Q 的坐标 4 已知 如图 在平面直角坐标系中 ABC 是直角三角形 ACB 点 A C 的坐标 分别为 A 3 0 C 1 0 4 3 AC BC 1 求过点 A B 的直线的函数表达式 2 在 X 轴上找一点 D 连接 DB 使得 ADB 与 ABC 相似 不包括全等 并求点 D 的坐标 3 在 2 的条件下 如 P Q 分别是 AB 和 AD 上的动点 连接 PQ 设 AP DQ m 问是否存在这样的 m 使得 APQ 与 ADB 相似 如存在 请求出 m 的值 如不存在 请 说明理由 5 如图 四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸 片 点 A 在 x 轴上 点 C 在 Y 轴上 将边 BC 折叠 使点 B 落在边 OA 的点 D 处 已知 折叠 CE 且 55 4 3 DA EA y x OA B A CO B