2010中考数学相似三角形精选.doc

2010数学中考相似三角形精选（2010哈尔滨）已知：在ABC中ABAC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，BAEBDF，点M在线段DF上，ABEDBM （1）如图1，当ABC45时，求证：AEMD； （2）如图2，当ABC60时，则线段AE、MD之间的数量关系为： 。（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MPBM，连接CP，若AB7，AE，求tanACP的值（2010珠海）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFEB.(1) 求证：ADFDEC(2) 若AB4,AD3,AE3,求AF的长.（1）证明：四边形ABCD是平行四边形 ADBC ABCD ADF=CED B+C=180 AFE+AFD=180 AFE=B AFD=C ADFDEC(2)解：四边形ABCD是平行四边形ADBC CD=AB=4 又AEBC AEAD 在RtADE中，DE= ADFDEC AF=26（2010年长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上， cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动设运动时间为t秒（1）用t的式子表示OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当OPQ与PAB和QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比 解：(1) CQt，OP=t，CO=8 OQ=8tSOPQ（0t8） 3分(2) S四边形OPBQS矩形ABCDSPABSCBQ32 5分四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于32 6分（3）当OPQ与PAB和QPB相似时, QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是QPB90 又BQ与AO不平行 QPO不可能等于PQB，APB不可能等于PBQ根据相似三角形的对应关系只能是OPQPBQABP 7分解得：t4 经检验：t4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）此时P（，0）B（，8）且抛物线经过B、P两点，抛物线是，直线BP是： 8分设M（m, ）、N(m，) M在BP上运动 与交于P、B两点且抛物线的顶点是P当时， 9分 当时，MN有最大值是2设MN与BQ交于H 点则、SBHMSBHM ：S五边形QOPMH3:29当MN取最大值时两部分面积之比是3：29 10分 (2010湖北省荆门市)23(本题满分10分)如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BCCA43，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点(1)求证：ACCDPCBC；(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，PCD的面积最大？并求这个最大面积S第23题图答案23解：(1)AB为直径，ACB90又PCCD，PCD90而CABCPD，ABCPCDACCDPCBC；3分第23题图(2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BEPC于点EP是AB中点，PCB45，CEBEBC2又CABCPB，tanCPBtanCABPE从而PCPEEC由(1)得CDPC7分(3)当点P在AB上运动时，SPCDPCCD由(1)可知，CDPCSPCDPC2故PC最大时，SPCD取得最大值；而PC为直径时最大，SPCD的最大值S5210分（2010年眉山）25如图，RtAB C 是由RtABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC 交斜边于点E，CC 的延长线交BB 于点F（1）证明：ACEFBE；（2）设ABC=，CAC =，试探索、满足什么关系时，ACE与FBE是全等三角形，并说明理由答案：25（1）证明：RtAB C 是由RtABC绕点A顺时针旋转得到的， AC=AC ，AB=AB ，CAB=C AB （1分） CAC =BAB ACC =ABB （3分）又AEC=FEBACEFBE （4分） （2）解：当时，ACEFBE （5分） 在ACC中，AC=AC ， （6分） 在RtABC中， ACC+BCE=90，即， BCE= ABC=， ABC=BCE （8分） CE=BE 由（1）知：ACEFBE， ACEFBE（9分）1、（2010年杭州市）如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又BDAC，点B，A，E在同一条直线上. (1) 求证：ABDCAE；(2) 如果AC =BD，AD =BD，设BD = a，求BC的长. 答案：(1) BDAC，点B，A，E在同一条直线上， DBA = CAE,又 , ABDCAE. (2) AB = 3AC = 3BD，AD =2BD ，(第22题) AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2， D =90, 由（1）得 E =D = 90, AE=BD , EC =AD = BD , AB = 3BD ，在RtBCE中，BC2 = (AB + AE )2 + EC2 第（17）题DCAFBEG= (3BD +BD )2 + (BD)2 = BD2 = 12a2 , BC =a . （2010年天津市）（17）如图，等边三角形中，、分别为、边上的点，与交于点，于点， 则的值为 （2010宁夏16关于对位似图形的表述，下列命题正确的是 （只填序号） 相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； 位似图形一定有位似中心； 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形； 位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比（2010山西26在直角梯形OABC中，CBOA，COA90，CB3，OA6，BA3分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD5，OE2EB，直线DE交x轴于点F求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由ABDE（第26题 图1）FCOMNxy圖1NyPGHxABCDEOFM26. 解 (1) 如图1，作BHx轴于点H，则四边形OHBC为矩形， OH=CB=3，AH=OA-OH=6-3=3， 在RtABH中，BH=6， 点B的坐标为(3，6)。 (2) 如图1，作EGx轴于点G，则EG/BH， OEGOBH，= ，又OE=2EB， =，=，OG=2，EG=4，点E的坐标为(2，4)。 又点D的坐标为(0，5)，设直线DE的解析式为y=kx+b，则，解得k= -， b=5。直线DE的解析式为：y= -x+5。 (3) 答：存在。 j 如图1，当OD=DM=MN=NO=5时，四边形ODMN为菱形。作MPy轴于点P， 则MP/x轴，MPDFOD，=。 又当y=0时，-x+5=0，解得x=10。F点的坐标为(10，0)，OF=10。 在RtODF中，FD=5，=， MP=2，PD=。点M的坐标为(-2，5+)。 点N的坐标为(-2，)。yPNPxABCDEOFM圖2 k 如图2，当OD=DN=NM=MO=5时，四边形ODNM 为菱形。延长NM交x轴于点P，则MPx轴。 点M在直线y= -x+5上，设M点坐标为 (a，-a+5)，在RtOPM中，OP 2+PM 2=OM 2， a2+(-a+5)2=52，解得a1=4，a2=0(舍去)，yPNxABCDEOFM圖3 点M的坐标为(4，3)，点N的坐标为(4，8)。 l 如图3，当OM=MD=DN=NO时，四边形OMDN为 菱形。连接NM，交OD于点P，则NM与OD互相 垂直平分，yM=yN=OP=，-xM+5=，xM=5， xN= -xM= -5，点N的坐标为(-5，)。 综上所述，x轴上方的点N有三个，分别为N1(-2，)， N2(4，8)，N3(-5，)。（2010河北省）24（本小题满分10分）图15-2ADOBC21MN图15-1ADBMN12图15-3ADOBC21MNO在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交于点O，1=2=45（1）如图15-1，若AO=OB，请写出AO与BD 的数量关系和位置关系；（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图15-2，其中AO=OB求证：AC=BD，ACBD；（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到图15-3，求的值解：（1）AO=BD，AOBD； 图4ADOBC21MNEF（2）证明：如图4，过点B作BECA交DO于E，ACO=BEO又AO=OB，AOC= BOE，AOCBOEAC=BE 又1=45， ACO=BEO=135DEB=452=45，BE=BD，EBD=90AC=BD 延长AC交DB的延长线于F，如图4BEAC，AFD=90ACBDAOBC1D2图5MNE（3）如图5，过点B作BECA交DO于E，BEO =ACO又BOE =AOC ， BOEAOC 又OB=kAO，由（2）的方法易得 BE=BD （2010河南）4如图，ABC中，点DE分别是ABAC的中点，则下列结论：BC=2DE；（第4题）ADEABC；其中正确的有（ ）（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个A (苏州2010中考题28)(本题满分9分)刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图、图中，B=90，A=30，BC=6cm；图中，D=90，E=45，DE=4 cm图是刘卫同学所做的一个实验：他将DEF的直角边DE与ABC的斜边AC重合在一起，并将DEF沿AC方向移动在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合) (1)在DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐 (填“不变”、“变大”或“变小”) (2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题： 问题：当DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行? 问题：当DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形? 问题：在DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得FCD=15?如果存在， 求出AD的长度；如果不存在，请说明理由 请你分别完成上述三个问题的解答过程答案：28（1）变小.（2）问题：解：连结设在中，即时，问题：解：设在中，（）当为斜边时，由得，（）当为斜边时，由得，（不符合题意，舍去）.（）当为斜边时，由得，方程无解.另解：不能为斜边.中至少有一条线段的长度大于6.不能为斜边.由（）、（）、（）得，当时，经线段的长度为三边长的三角形是直角三角形.问题：解法一：不存在这样的位置，使得理由如下：假设由得作的平分线，交于点，则不存在这样的位置，使得解法二：不存在这样的位置，使得假设由得作垂足为且为公共角，又即整理后，得到方程（不符合题意，舍去）， （不符合题意，舍去）.图2不存在这样的位置，使得16. （上海）如图2，ABC中，点D在边AB上，满足ACD =ABC，若AC = 2，AD = 1，则DB = _3_. BFGHADEC1（2010绵阳）10如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，G是BD的中点GABDCO若AD = 3，BC = 9，则GO : BG =（ A ）A1 : 2 B1 : 3C2 : 3 D11 : 20（2010绵阳）14如图，ABCD，A = 60，C = 25，G、H分别为CF、CE的中点，则1 = 答案：145（2010浙江湖州）15如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点若ABC与A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是_答案：第15题x109876543211234567891011A1B1C1ABCy2（2010，安徽芜湖）如图，直角梯形ABCD中，ADC=90,ADBC,点E在BC上，点 F在AC上，(1)求证：ADFCAF （2）当AD=8,DC=6,点E、F分别是BC、AC的中点时，求直角梯形ABCD的面积【答案】证明： （1）在梯形ABCD中，ADBCDAF=ACED FC=AEBDFC=DAF+ADF, AEB= A C E+CAEADF=CAEADFCAF(2) AD=8,DC=6，ADC=90，AC=10又F是AC的中点，AF=5ADFCAF CE=E是BC的中点 BC=直角梯形ABCD的面积=(+8)6=3（2010，安徽芜湖）如图，BD是O的直径，OAOB,M是劣弧上一点，过点M作O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于点N。（1）求证：PM=PN；（2）若BD=4,PA=AO,过B点作BCMP交O于C点，求BC的长【答案】（1）证明：连结OM, MP是O的切线，OMMP OMD +DMP=90OAOB，OND +ODM=90MNP=OND, ODN=OMD DMP=MNPPM=PN（2）解：设BC交OM于E, BD=4, OA=OB=2, PA=OA=3PO=5BCMP, OMMP, OMBC, BE=BCBOM +MOP=90,在RtOMP中，MPO +MOP=90BOM=MPO.又BEO=OMP=90OMPBEO ,BE= BC=4（2010，浙江义乌）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P，点P在第一象限PAx轴于点A，PBy轴于点B一次函数的图象分别交轴、轴于点C、D，且SPBD4，（1）求点D的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当时，一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围. yxPBDAOC【答案】（1）在中，令得 点D的坐标为（0，2）（2） APOD RtPAC RtDOC AP6又BD由SPBD4可得BP2P(2，6) 把P(2，6)分别代入与可得一次函数解析式为：y2x+2 ，反比例函数解析式为： （3）由图可得x25（2010，浙江义乌）如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代数式表示，并求出当S36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由 CBAOyx图1DM图2O1A1OyxB1C1DM【分析】第（1）问，已知O、A两点的坐标点O（0，0）、A（2，0），发现对称轴为x1；