概率论与数理统计-3.1二维随机变量及其分布.ppt

1 第三章多维随机变量及其分布 3 1二维随机变量及其分布 3 2边缘分布 3 3条件分布 3 4随机变量的独立性 3 5两个随机变量函数的分布 2 前几节我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量 又称为一维随机变量 然而在许多实际问题中 常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量 例如E 抽样调查15 18岁青少年的身高X与体重Y 以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况 此时 我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质 更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系 因此 我们将二者作为一个整体来进行研究 记为 X Y 称为随机向量 又称多维随机变量 3 类似于对一维随机变量的学习 对于多维随机变量 我们也将讨论如何通过分布函数 分布律及概率密度等概念来描述其取值的概率规律性 并认识几种常见的分布 因方法类同 我们将以二维随机变量为主 展开讨论 学习时 应善于同一维随机变量情形进行比较 注意对两个随机变量的相互关系的反映 4 3 1二维随机变量及其分布1 二维随机变量的分布函数2 二维离散型随机变量3 二维连续型随机变量 5 1 二维随机变量的分布函数 定义3 1 1设 X Y 是二维随机变量 对于任意实数x y 二元函数F x y P X x Y y P X x Y y 称为二维随机变量 X Y 的联合分布函数 简称为 X Y 的分布函数 6 二维随机变量 X Y 的取值可看作平面上的随机点 显然 分布函数F x y 在平面上任意点 x y 处的函数值就是随机点 X Y 落在以 x y 为顶点而位于该点左下方的整个无穷区域内的概率 如图3 1 1所示 7 由前面的几何解释 容易得到随机点 X Y 落在矩形区域D内的概率 其中 则 8 二维随机变量联合分布函数F x y 的性质 1 F x y 分别关于x和y单调不减 9 3 关于x或y都是右连续的 即 二维随机变量也分为离散型和连续型两种常见的形式 下面分别进行讨论 10 2 二维离散型随机变量 定义3 1 2若二维随机变量 X Y 的所有可能的取值是有限对或可列无限对不同值 则称 X Y 是二维离散型随机变量 称 为 X Y 的联合概率分布 简称为概率分布或分布律 11 二维离散型随机向量 X Y 的分布律可用下列表格给出 12 具有下列性质 二维离散型随机变量 X Y 的分布函数与概率分布之间有如下关系式 13 例将一枚均匀的硬币抛掷4次 X表示正面向上的次数 Y表示反面朝上次数 求 X Y 的概率分布 解X的所有可能取值为0 1 2 3 4 Y的所有可能取值为0 1 2 3 4 因为X Y 4 所以 X Y 概率非零的数值对为 XY0413223140 P X 0 Y 4 0 54 1 16 P X 4 Y 0 0 54 1 16 X01234 Y01234 联合概率分布表为 00001 160001 40006 160001 40001 160000 14 1 找出随机变量X和Y的所有取值结果 得到 X Y 的所有取值数对 2 利用古典概型或概率的性质计算每个数值对的概率 3 列出联合概率分布表 离散型二维随机向量联合概率分布确定方法 15 例二维随机向量 X Y 的概率分布为 求 1 常数a的取值 2 P X 0 Y 1 3 P X 1 Y 1 解 1 由 pij 1得 a 0 1 2 P X 0 Y 1 P X 0 Y 0 P X 0 Y 1 P X 1 Y 0 P X 1 Y 1 0 1 0 2 0 1 0 2 0 6 3 P X 1 Y 1 P X 1 Y 0 P X 1 Y 1 P X 0 Y 0 P X 0 Y 1 P X 1 Y 0 P X 1 Y 1 0 75 16 解 X Y 的可能取值为 0 0 0 1 1 0 1 1 则 17 故 X Y 的联合分布律为 18 解P X i Y j P X i P Y j X i 1 4 1 i 1 4i i j 于是 X Y 的分布律为 19 3 二维连续型随机变量 与一维情形类似 我们有如下定义 定义3 1 3设二维随机变量 X Y 的联合分布函数为F x y 若存在非负可积函数f x y 使得对于任意实数x y 都有则称 X Y 为二维连续型随机变量 函数f x y 称为 X Y 的联合概率密度函数 简称概率密度或密度函数 20 密度函数f x y 的性质 1 非负性 2 归一性 3 当f x y 连续时 4 若D是Oxy平面上的任一区域 则随机点 X Y 落在D内的概率为 21 4 的几何解释 在几何上 二元函数f x y 表示三维空间的一个曲面 则 4 式表示随机点 X Y 落入区域D内的概率等于以D为底 以曲面f x y 为顶的曲顶柱体的体积 22 特别地 若D表示矩形区域 则 23 解 1 由 得 所以k 6 2 24 解由 则 当x 1 y 1时 所以 X Y 的联合分布函数 25 例 设二维随机向量 X Y 具有概率密度 1 求分布函数F x y 2 求概率P Y X 解 1 2 将 X Y 看着平面上随机点的坐标 G是xoy平面上直线y x下方的部分 26 常见的两种二维连续型随机变量的分布 均匀分布 定义3 1 4 设D是平面上的有界区域 其面积为A 若二维随机变量 X Y 的概率密度为 则称 X Y 服从区域D上的均匀分布 27 可以验证 均匀分布的密度函数f x y 满足密度函数的两个性质 与前面类似 服从区域D上的均匀分布的二维随机变量 X Y 落在D中任一区域D1的概率与D1的面积成正比 与D1的位置和形状无关 28 二维正态分布 定义3 1 5 如果 X Y 的联合密度函数为 其中 1 2 1 0 2 0 1 为常数 则称 X Y 服从参数为 1 2 1 2 的二维正态分布 记为 29 可以验证 二维正态分布的密度函数f x y 满足密度函数的两个性质 其图像如图3 1 3 30 1 若 X Y 的密度函数为 求 1 常数A 2 P X 2 Y 1 3 P X x Y y 解 1 所以 A 6 A 6 1 4 P X Y D 其中D为2x 3y 6 练习 5 P X Y D 其中D为y x 1 y x 1 y 0所围区域 31 所以 P X 2 Y