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第二章控制系统的动态数学模型 本章主要内容 本章基本要求 正确建立控制元部件和系统的微分方程 了解非线性微分方程的线性近似方法 掌握传递函数的定义及其求解方法 熟悉典型环节及其传递函数 掌握系统动态方框图的建立方法 掌握动态方框图的简化以及梅逊公式 掌握反馈系统开环和闭环传递函数的概念 第二章控制系统的动态数学模型 第二章控制系统的动态数学模型 控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量 或变量 之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式 亦 描述能系统性能的数学表达式 或数字 图像表达式 分析法 对系统各部分的运动机理进行分析 物理规律 化学规律 实验法 人为施加某种测试信号 记录基本输出响应 2 1微分方程及其线性近似 一 列写微分方程的一般步骤 1 要先明确输入和输出变量 2 利用对系统的分析 从输入端开始 按信号传递的顺序 依据各变量所遵循的物理学定律 列出各环节的线性化原始方程 3 消去中间变量 得到输入 输出变量间的微分方程 一阶线性定常非齐次微分方程 由牛顿第二定律得 二阶线性定常非齐次微分方程 由牛顿第二定律得 即 二阶非线性微分方程 数学上sin o t 为非线性函数 在 o 0附近可用台劳级数展开 当 o很小时 可忽略高阶小量 即 一 拉氏变换的定义 1 当t0时 x t 在每个有限区间上分段连续 对于函数x t 如果满足下列条件 二 典型函数的拉氏变换 2 单位斜坡函数 t 1 t 3 单位加速度函数 二 典型函数的拉氏变换 t 在a 0时 5 指数函数 e at1 t 4 单位脉冲函数 t 6 正弦函数 sin t 二 典型函数的拉氏变换 小结几个重要的拉氏变换 三 拉氏变换的基本性质和定理 1 线性性质 t 三 拉氏变换的基本性质和定理 2 微分性质 若系统处于零初始条件下 则有 三 拉氏变换的基本性质和定理 例 在零初始条件下求输出的拉氏变换 解 对上方程在零初始条件下求拉氏变换得 利用拉氏反变换便可得到输出的原函数 三 拉氏变换的基本性质和定理 3 积分性质 在零初始条件下 4 延时定理 例 5 位移定理 三 拉氏变换的基本性质和定理 6 终值定理 证明 四 拉氏反变换 采用部分分式展开法求拉氏反变换 1 只含不同单极点的情况 式中 四 拉氏反变换 例2 解 解 四 拉氏反变换 2 含共轭复数极点的情况 通过配方将象函数化成正弦 余弦象函数的形式 再求反变换 四 拉氏反变换 2 含共轭复数极点的情况 例 四 拉氏反变换 3 含重极点的情况 四 拉氏反变换 例1 3 含重极点的情况 也可直接拼凑 四 拉氏反变换 例2 3 含重极点的情况 四 拉氏反变换 例2 3 含重极点的情况 直接拼凑 四 拉氏反变换 一 传递函数的定义 微分方程是在时间域中描述系统动态性能的数学模型 在给定输入量和初始条件时 就可以求解得出系统的输出响应 这种方法虽然比较直观 准确 但是用来分析和设计高阶系统就显得十分累赘 线性微分方程经过拉氏变换 即可得到系统在复数域中的数学模型 称之为传递函数 传递函数不仅可以表征系统的动态特性 而且可以用来研究系统的结构或参数变化对性能的影响 从而使分析和设计工作大为简化 在经典控制理论中广泛应用频率法和根轨迹法 都是建立在传递函数这种数学模型基础之上的 因此 传递函数是经典控制理论中最基本也是最重要的数学模型 线性定常系统在零初始条件下 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 一 传递函数的定义 即系统的传递函数为 若线性定常系统的微分方程一般形式为 一 传递函数的定义 式中 c t 为系统的输出量 r t 为系统的输入量 m n a0 a1 an及b0 b1 bm均为实数 其数值由系统的结构及参数决定 假设c t r t 及其各阶导数的初始值均为零 对微分方程进行拉氏变换得 一 传递函数的定义 若线性定常系统的微分方程一般形式为 即为系统的传递函数 一 传递函数的定义 传递函数是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念 微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型 在给定外作用和初始条件下 解微分方程可以得到系统的输出响应 系统结构和参数变化时分析较麻烦 用拉氏变化法求解微分方程时 可以得到控制系统在复数域的数学模型 传递函数 定义 传递函数是系统数学模型的又一种形式 也是一种表示系统输入输出关系的模型形式 它表示了系统本身的特性而与输入信号无关 它仅能表示输入输出关系 而无法表示出系统的内部结构 在初始值u2 0 0时 上述微分方程的拉氏变换为 经整理得RC网络的传递函数为 一 传递函数的定义 定义式法 二 典型环节及其传递函数 系统的传递函数为 比例 或放大 环节 G s K 理想 积分环节 G s 1 s 理想 微分环节 G s s 一阶 惯性环节 G s 1 Ts 1 一阶微分环节 G s s 1 二阶 振荡环节 G s 1 T2s2 2 Ts 1 二阶微分环节 G s 2s2 2 s 1 二 典型环节及其传递函数 电阻 电感 电容元件 二 典型环节及其传递函数 电阻 电感 电容元件 二 典型环节及其传递函数 电阻 电感 电容元件 二 典型环节及其传递函数 无源电子网络之一 RC无源滤波网络 S域模型法 二 典型环节及其传递函数 无源电子网络之二 二 典型环节及其传递函数 无源电子网络之二 二 典型环节及其传递函数 无源电子网络之二 二 典型环节及其传递函数 u0 S域模型法 二 典型环节及其传递函数 永磁式直流测速机 二 典型环节及其传递函数 拉氏变换后得 同一元部件可有不同的传递函数 电动势才与输出电压相等 于是有 二 典型环节及其传递函数 永磁式直流测速机 由电机电枢回路的电压方程得 注意负载效应问题 二 典型环节及其传递函数 永磁式直流测速机 机械转动系统 根据牛顿定律可得 二 典型环节及其传递函数 经拉氏变换得角速度的传递函数 则减速器转矩的传递函数为 减速比 减速器 二 典型环节及其传递函数 轴 轴 轴 且在不考虑功率损耗时有 二 典型环节及其传递函数 二 典型环节及其传递函数 弹簧 阻尼器 质量 等效弹性刚度 f t kx t F s kX s F s X s k F s DsX s F s X s Ds F s Ms2X s F s X s Ms2 二 典型环节及其传递函数 F s kX s DsX s F s X s k Ds f t k x t x1 t 并联的弹性刚度等于各弹性刚度之和 F s X s kDs k Ds 串联弹性刚度等于各弹性刚度的倒数之和的倒数 弹簧 阻尼器 质量 等效弹性刚度 二 典型环节及其传递函数 二 典型环节及其传递函数 三 对传递函数的七点说明 1 传递函数只适用于线性系统 而不适用于非线性系统 因为传递函数是在拉氏变换的基础上导出的 而拉氏变换是一种线性积分变换 只适用于线性微分方程 非线性系统不能用线性微分方程来描述 也就不能用传递函数表示 2 传递函数中的各项系数与微分方程中的各项系数对应相等 完全由系统的内部结构 参数决定 而与输入量的大小和形式无关 故传递函数与微分方程一样 均可作为系统的动态数学模型 3 传递函数的结构形式及参数虽然相同 但输入 输出的物理量不同 则代表的物理意义不同 从另一方面说 两个完全不同的系统 例如一个是机械系统 一个是电子系统 只要它们的控制性能一样 就可以有完全相同的传递函数 这就是在实验室做模拟实验的理论基础 4 一个传递函数 G s C s R s 只能表示一个输入量对一个输出量的关系 对同一部件可有不同的传递函数 至于信号传递通道中的中间变量 用一个传递函数无法全面反映 三 对传递函数的七点说明 5 传递函数只表明线性系统的零状态响应特性 它是由系统工作状态相对静止时得出的 这时可认为 对于相对给定的平衡点 系统输出量和输入量的初始值均为零 这才符合传递函数的定义 6 传递函数分子多项式的阶次总是低于至多等于分母多项式的阶次 即m n 这是因为实际物理系统或元件中总是含有较多的惯性元件 以及能源又是有限的缘故 传递函数分母中S的最高阶次等于输出量导数的最高阶次 如果S的最高阶次为n 则系统称为n阶系统 三 对传递函数的七点说明 三 对传递函数的七点说明 2 4系统方框图 一 系统方框图 方框图模型是控制系统的又一种数学模型 特点 具有图示模型的直观 能表明系统各元件的功能及信号的流向 方框图具有数学性质 可以进行代数运算和等效变换 系统方框图与原理图是不一致的 二 系统方框图组成 信号线 表示信号传递通路与方向 方框 表示对信号进行的数学变换 方框中写入元件或系统的传递函数 比较点 对两个以上的信号进行加减运算 引出点 表示信号引出或测量的位置 同一位置引出的信号数值和性质完全相同 2 4系统方框图 R s C s E s 三 系统方框图的绘制 绘制系统方框图的步骤 2 4系统方框图 例1 试建立图示机械系统的方框图 或结构图 解 2 4系统方框图 三 系统方框图的绘制 例1 试建立图示机械系统的方框图 或结构图 三 系统方框图的绘制 2 4系统方框图 例1 试建立图示机械系统的方框图 或结构图 三 系统方框图的绘制 2 4系统方框图 例2 试建立图示汽车简化力学模型的方框图 K1 Ds 三 系统方框图的绘制 2 4系统方框图 例2 试建立图示汽车简化力学模型的方框图 F1 K1 Ds 三 系统方框图的绘制 2 4系统方框图 这里主要介绍利用S域模型建立电子网络方框图的方法 U 三 系统方框图的绘制 2 4系统方框图 例4 试建立图示电子网络的方框图 或结构图 三 系统方框图的绘制 2 4系统方框图 三 系统方框图的绘制 2 4系统方框图 一 系统方框图的等效变换法则 1 各前向通路的传函保持不变 2 各回路的传函保持不变 一 系统方框图的等效变换法则 一 系统方框图的等效变换法则 前向通道的传函G s 反馈通道的传函H s 开环传函G s H s 闭环传函 s 一 系统方框图的等效变换法则 1 G s 一 系统方框图的等效变换法则 二 由系统方框图求系统传递函数的方法 1 利用方框图的等效变换求系统传递函数 Cs 1 R1 1 利用方框图的等效变换求系统传递函数 注意 分支点与相加点尽量避免相互跨越 1 利用方框图的等效变换求系统传递函数 例3 教材P69的例2 6 2 利用梅逊公式求系统传递函数 信号流图的基本性质 节点标志系统的变量 节点标志的变量是所有流向该节点信号的代数和 信号在支路上沿箭头单向传递 前向通路 信号从输入节点到输出节点传递时 每个节点只通过一次的通路 叫前向通路 前向通路上各支路增益之乘积称前向通路总增益 一般用Pk表示 回路 起点和终点在同一节点 而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称回路 回路上各支路增益之乘积称回路增益 一般用La表示 不接触回路 回路之间没有公共节点时 称不接触回路 梅逊公式 Pk是指从输入端到输出端第k条前向通路的传递函数 为特征式 1 La LbLc LdLeLf 式中 La是指所有不同回路的 回路传递函数 之和 LbLc是指两两互不接触回路的 回路传递函数 之和 LdLeLf是指所有三个互不接触回路的 回路传递函数 之和 2 利用梅逊公式求系统传递函数 2 利用梅逊公式求系统传递函数 k是指特征式 中 将与第k条前向通路相接触的 回路传递函数 所在的项代以零值 或除去 以后的余式 梅逊公式 2 利用梅逊公式求系统传递函数 2 利用梅逊公式求系统传递函数 2 利用梅逊公式求系统传递函数 解法三 自动控制系统在工作过程中会受到外加信号的作用 其中一种信号是控制信号或输入信号 另一种信号则是干扰信号或扰动信号 输入信号加在系统的输入端 而干扰信号多作用于受控对象 一典型的闭环控制系统为 一 系统开环传递函数的概念 如将图中H s 的输出通路断开 即断开系统的主反馈通路 这时前向通路传递函数与反馈通路传递函数的乘积G1 s G2 s H s 称为系统的开环传递函数 1 r t 作用下的闭环传递函数 令n t 0 则输出c t 与输入r t 之间的传递函数 称为系统在r t 作用下的闭环传递函数 二 系