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1第一型曲线积分 本节将研究定义在平面或空间曲线段上的第一型曲线积分 此类积分的典型物理背景是求非均匀分布的曲线状物体的质量 二 第一型曲线积分的计算 一 第一型曲线积分的定义 返回 一 第一型曲线积分的定义 的质量 段时物体的质量的计算问题 时 上述和式的极限就应是该物体的质量 由上面看到 求物质曲线段的质量 与求直线段的质 量一样 也是通过 分割 近似求和 取极限 来得 到的 下面给出这类积分的定义 的第一型曲线积分 并且记作 量可由第一型曲线积分 1 或 2 求得 都存在 则 也存在 且 则 且 使得 6 第一型曲线积分的几何意义 上定义的连续非负函数 由第一型曲线的定义 易见 的部分的面积就是 二 第一型曲线积分的计算 定理20 1设有光滑曲线 的连续性与积分中值定理 有 所以 这里 则有 令 现在证明 都有 上一致连续 即对任给的 使当时 从而 所以 因此当在 4 式两边取极限后 即得所要证的 3 式 上有连续的导函数时 3 式成为 再由定积分定义 上有连续导函数时 3 式成为 试计算第一型曲线积分 解 试计算第一型曲线积分 解 其计算公式为 被平面所截得的圆周 解由对称性知 所以 解由对称性知 其中 而内摆线的参数方程为 因此 包围部分的面积A 解图中直影线部分为被围柱面在第一卦限的部分 在第一卦限部分正是以曲线L为准线母线平行于z 积分的几何意义可知它的面积为 L的参数方程为 因此 曲线状物体对于x y轴的转动惯量分别为 注由第一型曲线积分的 对于y轴的转动惯量 解 和 复习思考题 使得 其中s是曲线L的弧长 其中 3 证明以下第一型曲面的轮换
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