2019北京大兴区高三上期末数学理试题及答案.pdf

1 11 2019 北京大兴区高三 上 期末 数 学 理 本试卷共 4 页 150 分 考试时长 120 分钟 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第一部分第一部分 选择题 共 40 分 一 选择题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 一 选择题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 1 设集合 2Axx R 2 3 Bxxx 0R 则AB等于 A 0 B 2 C 2 3 D 0 2 2 已知0ab 则下列不等式成立的是 A 11 ab B ab C lglgab D 22 ab 3 在复平面内 复数z对应的点的坐标为 2 1 则 1 z 等于 A 2 B 3 C 5 D 10 4 执行如图所示的程序框图 若输出的S的值为 4 5 则输入i的值为 A 4 B 5 C 6 D 7 5 已知数列 n a 则 存在常数c 对任意的 m n N 且m n 都有 nm aa c nm 是 数列 n a 为等差数 列 的 2 11 俯视图俯视图 侧视图侧视图正视图正视图 2 2 11 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 6 某三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥的体积为 A 2 3 B 4 3 C 8 3 D 2 7 已知i j k为共面的三个单位向量 且 ij 则 ikjk的取值范围是 A 3 3 B 2 2 C 21 21 D 12 12 8 A B 两种品牌各三种车型 2017 年 7 月的销量环比 与 2017 年 6 月比较 增长率如下表 A 品牌车型 A1A2 A3 环比增长率 7 29 10 47 14 70 根据此表中的数据 有如下四个结论 A1车型销量比 B1车型销量多 A 品牌三种车型总销量环比增长率可能大于 14 70 B 品牌三种车型车总销量环比增长率可能为正 A 品牌三种车型总销量环比增长率可能小于 B 品牌三种车型总销量环比增长率 其中正确的结论个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 第二部分 第二部分 非选择题 共 110 分 二 填空题共 6 小题 每题 5 分 共 30 分 二 填空题共 6 小题 每题 5 分 共 30 分 9 抛物线 2 xy 的焦点到准线的距离等于 10 29 1 x x 展开式中 常数项的值为 B 品牌车型 B1B2 B3 环比增长率 8 49 28 06 13 25 3 11 11 在ABC 中 已知abcba2 222 则C 12 若存在满足 250 220 xy xy 的非负非负 实数 00 xy 使 00 0 xyc 成立 则c的取值范围 是 13 直 线 lyk xk 与 圆 22 1 1Cxy 交 于A B两 点 当ABC 的 面 积 最 大 时 k的 值 为 14 设函数 2 2 x a xa f x fax xa 若0a 则 f x的最大值为 若函数 yf xb有两个零点 则b的取值范围是 三 解答题共三 解答题共 6 小题 共小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题 13 分 已知函数1 3 sin sin 4 xxxf 求 f x的最小正周期 求 f x在区间 2 12 上的最大值和最小值 16 本小题 13 分 自由购是通过自助结算方式购物的一种形式 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况 随机抽取了 100 人 统计结果整理如下 现随机抽取 1 名顾客 试估计该顾客年龄在 30 50 且未使用自由购的概率 从被抽取的年龄在 50 70 使用自由购的顾客中 随机抽取 3 人进一步了解情况 用X 表示这 3 人中年龄 在 50 60 的人数 求随机变量X的分布列及数学期望 为鼓励顾客使用自由购 该超市拟对使用自由购的顾客赠送 1 个环保购物袋 若某日 该超市预计有 5000 人购物 试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋 17 本小题 14 分 如图 边长为2的正方形ABCD和高为1的等腰梯形BDEF所在的平面互相垂直 EFBD 1 2 EFBD AC与BD交于点O 点H为线段OF上任意一点 20 以下 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 70以 上 使用人数 3 12 17 6 4 2 0 未使用人数 0 0 3 14 36 3 0 4 11 求证 OF 平面ADE 求BF与平面ADE所成角的正弦值 是否存在点H使平面BCH与平面ADE垂直 若存在 求出 OH OF 的值 若不存在 说明理由 18 本小题 13 分 已知函数 lnf xxax 若曲线 yf x 在1x 处的切线方程为 210 xy 求a的值 求函数 yf x 在区间 1 4 上的极值 19 本小题 14 分 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的离心率为 1 2 左顶点为 2 0 A 过椭圆C的右焦点F作互相垂直的两条 直线 12 l l分别交直线 4l x 于 M N两点 AM交椭圆C于另一点P 求椭圆C的方程 求证 直线PN恒过定点 并求出定点坐标 20 本小题 13 分 设有限数列 12 n A a aa n N 定义集合 ij Maa ijn 1 为数列A的伴随集合 已知有限数列 1 0 1 2P 和数列 1 3 9 27Q 分别写出P和Q的伴随集合 已知有限等比数列 2 2 2 2 n An N 求A的伴随集合M中各元素之和S 已知有限等差数列 122019 A a aa 判断 507 0 3 100 是否能同时属于A的伴随集合M 并说明理由 O H F A D E C B 5 11 数学试题答案 一 选择题 共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 一 选择题 共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D B C A D B 二 填空题 共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 二 填空题 共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 1 2 10 84 11 3 4 12 5 5 2 13 7 7 只写一个且正确得 3 分 14 1 0 1 第一个空 3 分 第二个空 2 分 三 解答题 共 6 小题 共 80 分 三 解答题 共 6 小题 共 80 分 15 共 13 分 解 4sin sin 1 3 f xxx 31 4sin cossin 1 22 xxx 3 分 2 2 3sin cos2sin1xxx 3sin2cos2xx 5 分 2sin 2 6 x 6 分 所以 f x的最小正周期 2 2 T 7 分 因为 12 2 x 所以 5 2 0 66 x 2 分 所以当 2 62 x 即 3 x 时 f x取得最大值为2 4 分 当 20 6 x 即 12 x 时 f x取得最小值为0 6 分 16 共 13 分 解 在随机抽取的 100 名顾客中 年龄在 30 50 且未使用自由购的共有 3 14 17 人 1 分 所以 随机抽取 1 名顾客 估计该顾客年龄在 30 50 且未使用自由购的概率为 6 11 17 100 P 4 分 X所有的可能取值为 1 2 3 1 分 12 42 3 6 1 1 5 C C P X C 2 分 21 42 3 6 3 2 5 C C P X C 3 分 30 42 3 6 1 3 5 C C P X C 4 分 所以X的分布列为 5 分 所以X的数学期望为 131 1232 555 EX 6 分 在随机抽取的 100 名顾客中 使用自由购的共有3 121764244 人 1 分 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为 44 50002200 100 3 分 17 共 14 分 证明 因为正方形ABCD中 AC与BD交于点O 所以 1 2 DOBD 因为 1 2 EFBD EF BD 所以 EF DO 且 EF DO 1 分 X1 2 3 P 1 5 1 5 3 5 7 11 所以EFOD为平行四边形 2 分 所以OF ED 3 分 又因为OF 平面ADE ED 平面ADE 所以 OF 平面ADE 4 分 解 取EF中点M 连结MO 因为梯形BDEF为等腰梯形 所以MOBD 又因为平面ABCD 平面BDEF MO 平面BDEF 平面ABCD平面 BDEF BD 所以MO 平面ABCD 1 分 又因为OAOB 所以OAOBOM 两两垂直 如图 建立空间直角坐标系 O xyz 2 分 则 11 1 0 0 0 1 0 10 0 0 10 0 1 0 1 22 ABCDEF 1 0 1 2 BF 1 1 0 DA 1 0 1 2 DE 设平面ADE的法向量为 nx y z 则 0 0 DA n DE n 即 0 1 0 2 xy yz 令x 1 则 1 1 2 yz 所以 1 1 2 n 1 4 分 设直线BF与平面ADE所成角为 11 0 4 5 22 sin cos 15 5 3 22 BF n BF n BFn 所以直线BF与平面ADE所成角的正弦值为 4 5 15 6 分 设OH OF 1 分 8 11 则 1 0 2 OH 1 1 2 CH 1 0 CB 1 设平面BCH的法向量为 mx y z 则 0 0 CH m CB m 即 1 0 2 0 xyz xy 令x 1 则 1y 2 z 2 所以 2 1 1 2 m 2 分 若平面BCH与平面ADE垂直 则 0m n 3 分 由 2 1 10 4 得 2 9 所以线段 OF 上存在点H使平面BCH与平面ADE垂直 OH OF 的值为 2 9 4 分 18 共 13 分 解 因为 lnf xxax 所以 1 2 a fx xx 所以 1 1 2 fa 2 分 因为 yf x 在1x 处的切线方程为210 xy 所以 11 22 a 3 分 解得0a 4 分 因为 lnf xxax 1 4 x 所以 12 22 axa fx xxx 2 分 当21a 即 1 2 a 时 0fx 在 1 4 恒成立 所以 yf x 在 1 4 单调递增 所以 yf x 在 1 4 无极值 4 分 当22a 即1a 时 0fx 在 1 4 恒成立 所以 yf x 在 1 4 单调递减 所以 yf x 在 1 4 无极值 6 分 9 11 当122a 即 1 1 2 a 时 7 分 x fxf x 变化如下表 x 2 1 4 a2 4a 2 4 4 a fx 0 f x 单调递减 极小值 单调递增 8 分 因此 f x的减区间为 2 1 4 a 增区间为 2 4 4 a 所以当 2 4xa 时 f x有极小值为22 ln 2 aaa 无极大值 9 分 19 共 14 分 解 由题意2a 1 分 离心率 1 2 c e a 所以1c 2 分 所以 222 3bac 3 分 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy 4 分 由题意 设 1 1 lyk x 2 1 1 lyx k 1 分 令4x 得 4 3 Mk 3 4 N k 3 分 又 2 0 A 所以直线AM的方程为 2 2 k yx 4 分 由 22 2 2 3412 k yx xy 消元 得 222 3 2 12xkx 即 2222 3 44120kxk xk 5 分 设 PP P xy 则 2 2 412 2 3 p k x k 所以 2 2 62 3 p k x k 6 分 所以 2 22 626 33 kk P kk 7 分 又 3 4 N k 10 11 所以直线PN的斜率为 22 2 22 2 63 63 3 3 3 62 66 2 4 3 PN k kk kk k kkkk k 8 分 所以直线PN的方程为 33 4 2 yx kk 即 3 2 2 yx k 9 分 直线PN恒过定点 2 0 10 分 20 共 13 分 解 数列P的伴随集合为 1 0 1 2 3 数列Q的伴随集合为 4 10 12 28 30 36 3 分 两个集合都对 3 分 只写对一个集合给 2 分 先证明对任意ik 或jl 则 1 1 ijkl aaaaijnkln 假设 1 1 ijkl aaaaijnkln 当ik 且jl 因为 ijkl aaaa 则 jl aa 即22 jl 所以jl 与jl 矛盾 同理 当ik 且jl 时 也不成立 1 分 当ik 且jl 时 不妨设ik 因为 ijkl aaaa 则2222 ijkl 所以1222 j ik il i 2 分 左边为奇数 右边为偶数 所以1222 j ik il i 3 分 综上 对任意ik 或jl 则 1 1 ijkl aaaaijnkln 所以求集合M中各元素之和时 每个 1 i ain 均出现1n 次 4 分 所以 2 1 222 n Sn 11 11 1 2 12 1 1 22 12 n n nn 5 分 假设 507 0 3 100 同时属于数列A的伴随集合M 设数列A的公差为 d d 0 则 11 22 33 0 50 3 7 100 ij ij ij aa aa aa 即 111 122 133 220 50 22 3 7 22 100 aijd aijd aijd 1 分 得 2211 50 3